Hoán vị. Chỉnh hợp (Lý thuyết Toán lớp 10) - Cánh diều

Với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 2: Hoán vị. Chỉnh hợp sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Hoán vị. Chỉnh hợp (Lý thuyết Toán lớp 10) - Cánh diều

Lý thuyết Hoán vị. Chỉnh hợp

I. Hoán vị

1. Định nghĩa

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ∈ N^*).

Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

Ví dụ: Từ 3 chữ số 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau ?

Hướng dẫn giải

Mỗi cách sắp xếp ba chữ số đã cho để lập thành một số có ba chữ số khác nhau là một hoán vị của ba chữ số đó.

Ta có các số sau : 357 ; 375 ; 537 ; 573 ; 735 ; 753.

Vậy có 6 số có ba chữ số khác nhau lập từ ba chữ số 3, 5, 7.

2. Số các hoán vị

Kí hiệu P_n là số các hoán vị của n phần tử. Ta có P_n = n . (n – 1) … 2.1

Quy ước : Tích 1.2…n được viết là n! (đọc là n giai thừa), tức là n! = 1 . 2 … n.

Như vậy P_n = n!.

Ví dụ: Có ba bạn học sinh Nam, Long, Vinh. Giáo viên muốn xếp ba bạn này vào 3 vị trí chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp.

Hướng dẫn giải

Xếp ba bạn Nam, Long, Vinh vào 3 vị trí chỗ ngồi là một hoán vị của 3 bạn.

Ta có P₃ = 3! = 1.2.3 = 6.

Vậy có 6 cách xếp 3 bạn Nam, Long, Vinh vào ba vị trí chỗ ngồi.

II. Chỉnh hợp

1. Định nghĩa

Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Mỗi kết quả của việc lấy k phần tử từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

Ví dụ: Một nhóm có 10 học sinh trong đó có 3 bạn học sinh ưu tú là: Long, Hoa, Trung. Giáo viên muốn chọn ra 2 trong 3 bạn để bầu làm nhóm trưởng và nhóm phó.

Hỏi có bao nhiêu cách để chọn.

Hướng dẫn giải

Có các cách để chọn 2 bạn một bạn làm nhóm trưởng, một bạn làm nhóm phó trong ba bạn là : Long – Hoa ; Hoa – Long ; Long – Trung ; Trung – Long ; Hoa – Trung ; Trung – Hoa.

Vậy có 6 cách để chọn một học sinh nam và một học sinh nữ trong 3 bạn để làm phóm trưởng và nhóm phó.

2. Số cách chỉnh hợp

Kí hiệu $A_n^k$ là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n).

Ta có: $A_n^k$ = n.(n – 1)…(n – k + 1).

Ví dụ: Có 6 chữ số {1; 2; 3 ; 4 ; 5; 6}. Hỏi từ 6 chữ số trên ta lập được bao nhiêu số có 3 chữ số đôi một khác nhau.

Hướng dẫn giải

Từ 6 chữ số, ta lấy ba chữ số sau đó sắp xếp để được một số có ba chữ số khác nhau.

Khi đó, số các số tạo thành là một chỉnh hợp chập 3 của 6 chữ số.

Ta có $A_6^3$ = 6.5.4 = 120.

⇒ Có 120 số được tạo thành.

Vậy từ 6 chữ số trên ta lập được 120 số có 3 chữ số đôi một khác nhau.

Bài tập Hoán vị. Chỉnh hợp

Bài 1: Một nhóm có 7 học sinh, giáo viên muốn chọn ra ba bạn, trong đó một bạn làm nhóm trưởng và một bạn làm nhóm phó và một bạn làm thư ký. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

Hướng dẫn giải

Mỗi cách chọn lần lượt 3 bạn trong 7 bạn, một bạn làm nhóm trưởng, một bạn làm nhóm phó và một bạn làm thư kí là một chỉnh hợp chập 3 của 7 học sinh.

Ta có : $A_7^3$ = 7.6.5 = 210.

Vậy có 210 cách chọn ra 3 trong 7 bạn, một bạn làm nhóm trưởng, một bạn làm nhóm phó và một bạn làm thư ký.

Bài 2: Có 4 bạn Hùng, Long, Dũng, Minh. Giáo viên muốn xếp 4 bạn vào 4 tổ khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 4 bạn vào 4 tổ khác nhau.

Hướng dẫn giải

Xếp 4 bạn Hùng, Long, Dũng, Minh vào 4 tổ khác nhau là một hoán vị của 4 bạn đó.

Ta có P₄ = 4! = 24.

⇒ Có 24 cách sắp xếp 4 bạn vào 4 tổ khác nhau.

Vậy có 24 cách xếp 4 bạn Hùng, Long, Dũng, Minh vào 4 tổ khác nhau.

Bài 3: Bạn Minh muốn đặt mật khẩu cho máy tính của mình. Biết 4 kí tự đầu bạn Minh lấy đúng tên của mình, 3 kí tự sau là chữ số. Bạn Minh có bao nhiêu cách đặt mật khẩu.

Hướng dẫn giải

– Vì 4 kí tự đầu Minh lấy đúng tên của mình nên có 1 cách chọn 4 kí tự đầu.

– Vì 3 kí tự sau là chữ số nên ta có số cách chọn lấy 3 trong 10 chữ số sau đó sắp xếp chúng là một chỉnh hợp chập 3 của 10 chữ số $A_{10}^3$ = 720.

Theo quy tắc nhân ta có: 1.720 = 720 cách để Minh chọn đặt mật khẩu.

Vậy bạn Minh có 720 cách đặt mật khẩu cho máy tính của mình.

Học tốt Hoán vị. Chỉnh hợp

Các bài học để học tốt Hoán vị. Chỉnh hợp Toán lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Bài 2: Hoán vị. Chỉnh hợp

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 10 Bài 3: Tổ hợp

• Lý thuyết Toán 10 Bài 4: Nhị thức Newton

• Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5

• Lý thuyết Toán 10 Bài 1: Số gần đúng. Sai số

• Lý thuyết Toán 10 Bài 2: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu không ghép nhóm

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều
• Giải SBT Toán 10 Cánh diều
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---