Dấu của tam thức bậc hai (Lý thuyết Toán lớp 10) - Cánh diều

Với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 3: Dấu của tam thức bậc hai sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Dấu của tam thức bậc hai (Lý thuyết Toán lớp 10) - Cánh diều

Lý thuyết Dấu của tam thức bậc hai

1. Dấu của tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai f(x) = $a{x}^2+bx+c$ (a ≠ 0), $∆=b^2-4ac$.

+ Nếu $∆$ < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x $\in ℝ$

+ Nếu $∆$ = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x $\in ℝ\backslash \left\{\frac{-b}{2a}\right\}$

+ Nếu $∆$ > 0 thì f(x) có hai nghiệm $x_1,x_2(x_1<x_2)$. Khi đó:

- f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x thuộc các khoảng (-∞; $x_1$); ($x_2$; +∞)

- f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x thuộc khoảng ($x_1$; $x_2$)

2. Ví dụ

2.1. Ví dụ 1

Xét dấu của tam thức bậc hai

a) f(x) = 4$x^2$- x + 1

b) f(x) = $x^2$+ 2x + 1

Hướng dẫn giải

a) Tam thức bậc hai f(x) = 4$x^2$- x + 1 có $∆=b^2-4ac={(-1)}^2-4.4.1$ = -15 < 0, hệ số a = 4 > 0 nên f(x) > 0 với mọi x $\in ℝ$.

b) Tam thức bậc hai f(x) = $x^2$ + 2x + 1 có $∆=b^2-4ac$ = $2^2$- 4.1.1 = 0, hệ số a = 1 > 0, nghiệm kép $x_0=-1$ nên f(x) > 0 với mọi x $\in ℝ$ \ {- 1}.

2.2. Ví dụ 2

Lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai f(x) = $x^2$ - 4x + 3

Hướng dẫn giải

Tam thức bậc hai f(x) = $x^2$ - 4x + 3 có $∆=b^2-4ac$ = ${\left(-4\right)}^2$- 4.1.3 = 4 > 0 có hai nghiệm phân biệt $x_1$ = 1; $x_2$ = 3; hệ số a = 1 > 0.

Ta có bảng xét dấu như sau:

Bài tập Dấu của tam thức bậc hai

Bài 1. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu náo sai?

a) $x^2$ - 2x - 3 > 0 khi và chỉ khi x $\in$ (-∞; -1) $\cup$ (3; +∞)

b) $x^2$ - 2x - 3 < 0 khi và chỉ khi x$\in$[-1; 3]

Hướng dẫn giải

a) Phương trình $x^2$ - 2x - 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt $x_1$ = -1; $x_2$ = 3; có a = 1 > 0 nên f(x) = $x^2$ - 2x - 3 > 0 khi và chỉ khi x$\in$(-∞; -1) $\cup$ (3; +∞) . Do đó, phát biểu a đúng.

b) Phương trình $x^2$ - 2x - 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt $x_1$ = -1; $x_2$ = 3; có a = 1 > 0 nên f(x) = $x^2$ - 2x - 3 < 0 khi và chỉ khi x$\in$(-1; 3). Do đó, phát biểu b sai.

Bài 2. Tìm nghiệm và lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai với đồ thị được cho ở mỗi hình.

Hướng dẫn giải

a)

Ta thấy đồ thị cắt trục Ox tại điểm (2; 0) nên phương trình f(x) = 0 có duy nhất nghiệm x = 2

Ta thấy đồ thị nằm trên trục hoành nên ta có bảng xét dấu:

b)

Ta thấy đồ thị cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt (-4; 0) và (-1; 0) nên phương trình

f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt $x_1$ = -4; $x_2$ = -1

Trong các khoảng (-∞; -4) và (-1; +∞) thì đồ thị nằm dưới trục hoành nên f(x) < 0, trong khoảng (-4; -1) thì đồ thị nằm trên trục hoành nên f(x) > 0.

Bảng xét dấu:

c)

Ta thấy đồ thị cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt (-1; 0) và (2; 0) nên phương trình

f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt $x_1$ = -1; $x_2$ = 2

Trong các khoảng (-∞; -1) và (2; +∞) thì đồ thị nằm trên trục hoành nên f(x) > 0

Trong khoảng (-1; 2) thì đồ thị nằm dưới trục hoành nên f(x) < 0.

Bảng xét dấu:

Bài 3.Tìm giá trị nguyên của x để tam thức $f\left(x\right)=2x^2-7x-9$ nhận giá trị âm.

Hướng dẫn giải

Ta có : $f\left(x\right)=2x^2-7x-9$ $\iff$

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu $f\left(x\right)<0\iff -1<x<\frac{9}{2}$. Mà x nguyên nên x $\in$ {0;1;2;3;4}.

Như vậy, với x nguyên x $\in$ {0;1;2;3;4} thì $f\left(x\right)=2x^2-7x-9$ < 0.

Bài 4. Khi nào thì tam thức bậc hai $f\left(x\right)=x^2+\left(\sqrt{5}-1\right)x-\sqrt{5}$ nhận giá trị dương.

Hướng dẫn giải

Ta có : $f\left(x\right)=x^2+\left(\sqrt{5}-1\right)x-\sqrt{5}=0\iff$

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu $f\left(x\right)>0\iff x\in \left(-\infty ;-\sqrt{5}\right)\cup \left(1;+\infty \right)$.

Học tốt Dấu của tam thức bậc hai

Các bài học để học tốt Dấu của tam thức bậc hai Toán lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Bài 3: Dấu của tam thức bậc hai

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 10 Bài 4: Bất phương trình bậc hai một ẩn

• Lý thuyết Toán 10 Bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

• Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 3

• Lý thuyết Toán 10 Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0⁰ đến 180⁰. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác

• Lý thuyết Toán 10 Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều
• Giải SBT Toán 10 Cánh diều
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---