Ba đường conic (Lý thuyết Toán lớp 10) - Cánh diều

Với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 6: Ba đường conic sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Ba đường conic (Lý thuyết Toán lớp 10) - Cánh diều

Lý thuyết Ba đường conic

I. Đường elip

1. Định nghĩa đường elip

Cho hai điểm F₁, F₂ cố định có khoảng cách F₁F₂ = 2c (c > 0)

Đường elip (còn gọi là elip) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho MF₁ + MF₂ = 2a, trong đó a là số cho trước lớn hơn c.

Hai điểm F₁ và F₂ được gọi là hai tiêu điểm của elip.

2. Phương trình chính tắc của elip

Trong mặt phẳng, xét đường elip (E) là tập hợp các điểm M sao cho MF₁ + MF₂ = 2a, ở đó F₁F₂ = 2c (với a > c > 0).

Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc là trung điểm của F₁F₂, trục Oy là đường trung trực của F₁F₂ và F₂ nằm trên tia Ox (Hình 52). Khi đó, F₁(–c ; 0) và F₂(c ; 0) là hai tiêu điểm của elip (E).

Khi chọn hệ trục tọa độ như trên, phương trình đường elip có thể viết dưới dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, trong đó a > b > 0.

Đây gọi là phương trình chính tắc của elip.

Chú ý: Đối với elip (E) có phương trình chính tắc như đã nêu ở trên, ta có:

+ c² = a² – b², ở đó 2c = F₁F₂.

+ Nếu điểm M(x ; y) thuộc elip (E) thì –a ≤ x ≤ a.

Ví dụ:

a) Phương trình $\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{5^2}=1$ có phải là phương trình chính tắc của elip không?

b) Lập phương trình chính tắc của elip (E) có tiêu điểm F₁(–3 ; 0) và đi qua điểm A(0 ; 2).

Hướng dẫn giải

a) Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, trong đó a > b > 0.

Mà phương trình $\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{5^2}=1$ có a = 3, b = 5 nên a < b.

Suy ra phương trình $\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{5^2}=1$ không phải là phương trình chính tắc của elip.

Vậy phương trình $\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{5^2}=1$ không phải là phương trình chính tắc của elip.

b) Elip (E) có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0).

Do F₁(–3; 0) là một tiêu điểm của (E) nên c = 3.

Điểm A(0; 2) ∈ (E) nên ta có: $\frac{0^2}{a^2}+\frac{2^2}{b^2}=1$ ⇔ b² = 2² = 4

Suy ra a² = b² + c² = 4 + 3² = 13

Do đó phương trình elip (E) là $\frac{x^2}{13}+\frac{y^2}{4}=1$.

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) có tiêu điểm F₁(–3 ; 0) và đi qua điểm A(0 ; 2) là $\frac{x^2}{13}+\frac{y^2}{4}=1$.

II. Đường hypebol

1. Định nghĩa đường hypebol

Cho hai điểm F₁ và F₂ cố định có khoảng cách F₁F₂ = 2c (c > 0).

Đường hypebol (còn gọi là hypebol) là tập hợp các điểm M sao cho |MF₁ – MF₂| = 2a, trong đó a là số nguyên dương cho trước nhỏ hơn c.

Hai điểm F₁ và F₂ được gọi là hai tiêu điểm của hypebol.

2. Phương trình chính tắc của đường hypebol

Chọn hệ trục tọa độ tương tự elip, ta chọn Ox là đường thẳng F₁F₂, trục Oy là đường trung trực của đoạn thẳng F₁F₂ = 2c (c > 0), gốc tọa độ O là trung điểm của đoạn thẳng F₁F₂ (Hình 54).

Khi chọn hệ trục tọa độ như trên, phương trình đường hypebol có thể viết dưới dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, trong đó a > 0, b > 0.

Đây gọi là phương trình chính tắc của hypebol.

Chú ý: Đối với hypebol (H) có phương trình chính tắc như đã nêu ở trên, ta có:

+ c² = a² + b², ở đó 2c = F₁F₂ và điều kiện a > b là không bắt buộc.

+ Nếu điểm M(x ; y) thuộc hypebol (H) thì x ≤ –a hoặc x ≥ a.

Ví dụ:

a) Phương trình $\frac{x^2}{3^2}-\frac{y^2}{5^2}=1$ có phải là phương trình chính tắc của hypebol không?

b) Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) có tiêu điểm F₁(–5 ; 0) và đi qua điểm A(–4 ; 0).

Hướng dẫn giải

a) Phương trình chính tắc của hypebol có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, trong đó a > 0, b > 0.

Mà phương trình $\frac{x^2}{3^2}-\frac{y^2}{5^2}=1$ có a = 3, b = 5 nên $\frac{x^2}{3^2}-\frac{y^2}{5^2}=1$ là phương trình chính tắc của một hypebol.

Vậy phương trình $\frac{x^2}{3^2}-\frac{y^2}{5^2}=1$ là phương trình chính tắc của một hypebol.

b) Hypebol (H) có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

Do F₁(–5 ; 0) là một tiêu điểm của (H) nên c = 5.

Điểm A(–4 ; 0) ∈ (H) nên ta có: $\frac{{\left(-4\right)}^2}{a^2}-\frac{0^2}{b^2}=1$ ⇔ a² = 16

Suy ra c² = a² + b² ⇔ 5² = 16 + b² ⇔ b² = 9

Do đó phương trình hypebol (H) là $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H) có tiêu điểm F₁(–5 ; 0) và đi qua điểm A(–4 ; 0) là $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$.

III. Đường parabol

1. Định nghĩa đường parabol

Cho một điểm F cố định và một đường thẳng ∆ cố định không đi qua F.

Đường parabol (còn gọi là parabol) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng cách đều F và ∆.

Điểm F được gọi là tiêu điểm của parabol. Đường thẳng ∆ được gọi là đường chuẩn của parabol.

2. Phương trình chính tắc của parabol

Cho parabol (P) với tiêu điểm F và đường chuẩn ∆.

Kẻ FH vuông góc với ∆ (H ∈ ∆). Đặt FH = p > 0.

Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng FH và F nằm trên tia Ox (Hình 56)

Khi chọn hệ trục tọa độ như trên, phương trình đường parabol có thể viết dưới dạng y² = 2px (p > 0).

Đây gọi là phương trình chính tắc của parabol.

Chú ý: Đối với parabol (P) có phương trình chính tắc y² = 2px (p > 0), ta có:

+ Tiêu điểm là $F\left(\frac{p}{2};0\right)$ và phương trình đường chuẩn là: x + $\frac{p}{2}$ = 0.

+ Nếu điểm M(x ; y) thuộc parabol (P) thì x ≥ 0.

Ví dụ:

a) Phương trình y² = –2x có phải là phương trình chính tắc của parabol không?

b) Viết phương trình chính tắc của parabol (P) biết (P) có tiêu điểm là F(4 ; 0).

Hướng dẫn giải

a) Phương trình chính tắc của parabol có dạng y² = 2px (p > 0).

Mặt khác phương trình y² = –2x có dạng y² = 2px với p = –1 < 0.

Suy ra phương trình y² = –2x không phải là phương trình của parabol.

b) Vì (P) có tiêu điểm là F(4 ; 0) nên $\frac{p}{2}$ = 4 ⇒ p = 8.

Do đó phương trình chính tắc của parabol (P) là y² = 2.8.x = 16x.

Vậy phương trình chính tắc của parabol (P) là y² = 16x.

IV. Một số ứng dụng thực tiễn của ba đường conic

Ba đường conic có nhiều ứng dụng thực tiễn. Ta nêu ra một vài ứng dụng của ba đường conic

1. Năm 1911, nhà vật lí học người Anh là Emest Rutherford (1871 – 1937) đã đề xuất mô hình hành tinh nguyên tử, trong đó hạt nhân nhỏ bé nằm tại tâm của nguyên tử, còn các electron bay quanh hạt nhân trên các quỹ đạo hình elip như các hành tinh bay quanh Mặt Trời (Hình 57).

2. Trong vật lí, hiện tượng hai sóng gặp nhau tạo nên các gợn sóng ổn định gọi là hiện tượng giao thoa của hai sóng. Các gợn sóng có hình các đường hypebol gọi là các vân giao thoa (Hình 58).

3. Với gương parabol, tia sáng phát ra từ tiêu điểm (tia tới) chiếu đến một điểm của parabol sẽ bị hắt lại (tia phản xạ) theo một tia song song (hoặc trùng) với trục của parabol (Hình 59).

Tính chất trên có nhiều ứng dụng, chẳng hạn:

– Đèn pha: Bề mặt của đèn phan là một mặt tròn xoay sinh bởi một cung parabol quay quanh trục của nó, bóng đèn được đặt ở vị trí tiêu điểm của parabol đó (Hình 60). Các tia sáng phát ra từ bóng đèn khi chiếu đến bề mặt của đèn pha sẽ bị hắt lại theo các tia sáng song song, cho phép chúng ta quan sát được các vật ở xa.

– Chảo vệ tinhcungx có dạng như đèn pha. Điểm thu và phát tín hiệu của máy được đặt ở vị trí tiêu điểm của parabol (Hình 61).

Ví dụ:Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một elip với tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Elip đó có A₁A₂ = 768 800 km và B₁B₂ = 767 640 km. Tìm khoảng cách lớn nhất và bé nhất từ tâm của Trái Đất đến Mặt Trăng.

Hướng dẫn giải

Ta có A₁A₂ = 768 800 và B₁B₂ = 767 640 ⇒ 2a = 768 800 và 2b = 767 640

⇒ a = 384 400 và b = 383 820.

Suy ra c² = a² – b² ⇒ c = $\sqrt{a^2-b^2}$ = $\sqrt{{384400}^2-{383820}^2}$ ≈ 21 108.

Vì vậy, khoảng cách lớn nhất từ tâm Trái Đất đến Mặt trăng là:

a + c ≈ 384 400 + 21 108 = 405 508 (km)

Khoảng cách nhỏ nhất từ tâm Trái Đất đến Mặt trăng là:

a – c ≈ 384 400 – 21 108 = 363 292 (km)

Vậy khoảng cách lớn nhất từ tâm Trái Đất đến Mặt trăng khoảng 405 508 km, và khoảng cách nhỏ nhất từ tâm Trái Đất đến Mặt trăng khoảng 363 292 km.

Bài tập Ba đường conic

Bài 1: Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết một tiêu điểm là (12 ; 0) và điểm (13 ; 0) nằm trên elip.

Hướng dẫn giải

a) Elip (E) có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0).

Do (12 ; 0) là một tiêu điểm của (E) nên c = 12.

Điểm (13 ; 0) ∈ (E) nên ta có: $\frac{{13}^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1$ ⇔ a² = 13² = 169.

Suy ra a² = b² + c² ⇔ 169 = b² + 12² ⇔ b² = 25.

Do đó phương trình elip (E) là $\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{25}=1$.

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) có một tiêu điểm là (12 ; 0) và điểm (13 ; 0) nằm trên elip là $\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{25}=1$.

Bài 2: Cho hypebol (H) có phương trình $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{20}=1$. Tìm tiêu điểm và tiêu cự của hypebol (H).

Hướng dẫn giải

Từ phương trình của hypebol (H): $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{20}=1$ta có a² = 16, b² = 20,

Mặt khác c² = a² + b² ⇒ $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{16+20}=\sqrt{36}=6$.

Do đó hypebol (H) có hai tiêu điểm F₁ (–6 ; 0), F₂ (6 ; 0) và có tiêu cự F₁F₂ = 2c = 2.6 = 12.

Vậy hypebol (H) có hai tiêu điểm F₁ (–6 ; 0), F₂ (6 ; 0) và có tiêu cự F₁F₂ = 2c = 2.6 = 12.

Bài 3 : Cho parabol (P): y² = 7x. Tìm tiêu điểm F, đường chuẩn ∆ của (P).

Hướng dẫn giải

Ta có 2p = 7 nên p = $\frac{7}{2}$ ⇒ $\frac{p}{2}=\frac{7}{4}$.

Khi đó parabol có tiêu điểm F($\frac{7}{4}$ ; 0) và đường chuẩn ∆: $x+\frac{7}{4}=0$.

Vậy parabol có tiêu điểm F($\frac{7}{4}$ ; 0) và đường chuẩn ∆: $x+\frac{7}{4}=0$.

Bài 4: Gương elip trong một máy tán sỏi thận ứng với elip có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{441}+\frac{y^2}{81}=1$ (đơn vị cm)

Tính khoảng cách từ vị trí đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán.

Hướng dẫn giải

Từ phương trình của elip $\frac{x^2}{441}+\frac{y^2}{81}=1$ ta có a² = 441, b² = 81.

Khi đó $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{441-81}=\sqrt{360}$ (cm).

Tiêu cự của elip bằng 2c = 2.$\sqrt{360}$ ≈ 38(cm)

Khoảng cách từ đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán chính là tiêu cự của elip bằng 38 cm.

Vậy khoảng cách từ đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán chính là 38 cm.

Học tốt Ba đường conic

Các bài học để học tốt Ba đường conic Toán lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Bài 6: Ba đường conic

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 10 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

• Lý thuyết Toán 10 Bài 3: Phương trình đường thẳng

• Lý thuyết Toán 10 Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

• Lý thuyết Toán 10 Bài 5: Phương trình đường tròn

• Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 7

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều
• Giải SBT Toán 10 Cánh diều
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---