Giải tam giác. Tính diện tích tam giác (Lý thuyết Toán lớp 10) - Cánh diều

Với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Giải tam giác. Tính diện tích tam giác (Lý thuyết Toán lớp 10) - Cánh diều

Lý thuyết Giải tam giác. Tính diện tích tam giác

1. Tính các cạnh và góc của tam giác dựa trên một số điều kiện cho trước

Như ta đã biết, một tam giác hoàn toàn xác định nếu biết một trong những dữ kiện sau:

- Biết độ dài hai cạnh và độ lớn góc xen giữa hai cạnh đó;

- Biết độ dài ba cạnh;

- Biết độ dài một cạnh và độ lớn hai góc kề với cạnh đó.

Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác dựa trên những dữ kiện cho trước.

Ví dụ:Cho tam giác ABC có AB = 4, BC = 6, AC = $2\sqrt{7}$. Điểm M thuộc đoạn BC sao cho MC = 2MB.

a) Tính cos các góc của tam giác ABC.

b) Tính độ dài cạnh AM.

Hướng dẫn giải:

a) Theo định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

cosB = $\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2AB.BC}=\frac{4^2+6^2-{\left(2\sqrt{7}\right)}^2}{2.4.6}=\frac{1}{2}$

⇒ $\hat{B}$= 60°.

cosC = $\frac{A{C}^2+B{C}^2-A{B}^2}{2AC.BC}=\frac{{\left(2\sqrt{7}\right)}^2+6^2-4^2}{2.2\sqrt{7}.6}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$

cosA = $\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2AB.AC}=\frac{4^2+{\left(2\sqrt{7}\right)}^2-6^2}{2.4.2\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}}{14}$

b) Ta có:

MC = 2MB ⇒ $\frac{MB}{MC}=\frac{1}{2}$ ⇒ $\frac{MB}{BC}=\frac{1}{3}$

⇒ MB = $\frac{1}{3}$BC = $\frac{1}{3}$.6 = 2

Áp dụng định lí cosin trong tam giác AMB ta có:

AM² = AB² + BM² – 2AB.BM.cosB = 4² + 2² – 2.4.2.$\frac{1}{2}$ = 12

⇒ AM = $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

Ví dụ: Cho tam giác ABC có $\hat{B}=35°$; $\hat{C}=50°$và cạnh AC = 15 cm. Tính các cạnh còn lại của tam giác ABC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\hat{A}$+ $\hat{B}$+ $\hat{C}$= 180° (tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra:

$\hat{A}$= 180° - $\hat{B}$- $\hat{C}$= 180° - 35° - 50° = 95°

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$

Suy ra:

BC = $\frac{AC.\sin A}{\sin B}=\frac{15.\sin {95}^0}{\sin {35}^0}$≈ 26,05cm

AB = $\frac{AC.\sin C}{\sin B}=\frac{15.\sin {50}^0}{\sin {35}^0}$ ≈ 20,03cm

Vậy BC = 26,05cm và AB ≈ 20,03 cm.

2. Tính diện tích tam giác

Công thức tính diện tích tam giác:

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Khi đó, diện tích S của tam giác ABC là:

S = $\frac{1}{2}$bc.sinA = $\frac{1}{2}$ca.sinB = $\frac{1}{2}$ab.sinC

Ví dụ: Cho tam giác ABC có BC = $4\sqrt{2}$, $\hat{A}$= 45°, $\hat{B}$= 120°. Tính diện tích tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\hat{A}$+ $\hat{B}$+ $\hat{C}$= 180° (tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra: $\hat{C}$= 180° - $\hat{A}$- $\hat{B}$= 180° - 45° - 120° = 15°

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$

Suy ra:

AC = $\frac{BC.\sin B}{\sin A}=\frac{4\sqrt{2}.\sin {120}^0}{\sin {45}^0}=4\sqrt{3}$;

AB = $\frac{AC.\sin C}{\sin B}=\frac{4\sqrt{3}.\sin {15}^0}{\sin {120}^0}=2\sqrt{6}-2\sqrt{2}$;

Diện tích tam giác ABC là:

S = $\frac{1}{2}$AC.AB.sinA = $\frac{1}{2}.4\sqrt{3}.\left(2\sqrt{6}-2\sqrt{2}\right).\sin {45}^0$= $12-4\sqrt{3}$ (đơn vị diện tích).

Công thức Heron:

Công thức toán học Heron được sử dụng để tính diện tích của một tam giác theo độ dài ba cạnh như sau:

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c, $p=\frac{a+b+c}{2}$. Khi đó, diện tích S của tam giác ABC là:

$S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$.

Trong đó p là nửa chu vi tam giác ABC.

Ví dụ: Chứng minh công thức Heron.

Hướng dẫn giải:

Gọi a, b, c lần lượt là 3 cạnh của tam giác và A, B, C lần lượt là các góc đối diện của các cạnh. Theo hệ quả định lý cosin, ta có:

cosC = $\frac{a^2+b^2+c^2}{2ab}$.

Mà:

sin²C + cos²C = 1

⇒ sinC = $\sqrt{1-{\cos }^{2}C}=\sqrt{1-{\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)}^2}=\frac{\sqrt{4a^2{b}^2-{\left(a^2+b^2+c^2\right)}^2}}{2ab}$

Ta có công thức tính diện tích tam giác ABC:

Với $p=\frac{a+b+c}{2}$.

Suy ra $S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$(đpcm).

Ví dụ: Cho tam giác ABC có BC = 9, CA = 6, AB = 5. Tính diện tích tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

Nửa chu vi tam giác ABC là:

$p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{5+6+9}{2}=10$

Áp dụng công thức Heron, diện tích tam giác ABC là:

$S=\sqrt{p\left(p-AB\right)\left(p-AC\right)\left(p-BC\right)}=\sqrt{10\left(10-5\right)\left(10-6\right)\left(10-9\right)}=10\sqrt{2}$ (đvdt)

3. Áp dụng vào bài toán thực tiễn.

Trong thực tiễn, ta có thể áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vào các bài toán như tính khoảng cách giữa hai vị trí, tính diện tích,... giúp cho việc tính toán trở nên chính xác và nhanh chóng hơn. Chúng ta có thể xem ví dụ sau:

Ví dụ: Đường dây cao thế nối thẳng từ vị trí A đến vị trí B dài 10 km, từ vị trí A đến vị trí C dài 8 km, góc tạo bởi hai đường dây trên bằng 75°. Tính khoảng cách từ vị trí B đến vị trí C (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lí cosin vào tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cosA = 8² + 10² - 2.8.10.cos75° 122,59

BC 11,07

Vậy khoảng cách từ B đến C là khoảng 11,07 km.

Bài tập Giải tam giác. Tính diện tích tam giác

Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 12, BC = 15, AC = 13.

a) Tính số đo các góc của tam giác ABC (làm tròn kết quả đến phút).

b) Tính diện tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

AB² = AC² + BC² – 2AC.BC.$\cos \widehat{ACB}$

⇔ 12² = 13² + 15² – 2.13.15.$\cos \widehat{ACB}$

⇔ $\cos \widehat{ACB}$ = $\frac{{13}^2+{15}^2-{12}^2}{2.13.15}$

⇔ $\cos \widehat{ACB}$= $\frac{25}{39}$

⇒ $\widehat{ACB}$≈ 50°8’

AC² = AB² + BC² – 2AB.BC.$\cos \widehat{ABC}$

⇔ 13² = 12² + 15² – 2.12.15.$\cos \widehat{ABC}$

⇔ $\cos \widehat{ABC}$ = $\frac{{12}^2+{15}^2-{13}^2}{2.12.15}$

⇔ $\cos \widehat{ABC}$ = $\frac{5}{9}$

⇒ $\widehat{ABC}$ ≈ 56°15’

Vì tổng ba góc của một tam giác là 180° nên ta có:

$\widehat{ABC}+\widehat{BAC}+\widehat{ACB}=180°\Rightarrow \widehat{BAC}=180°-\widehat{ACB}-\widehat{ABC}$

$\Rightarrow \widehat{BAC}$ = 180° - 50°8’ - 56°15’ = 72°37’

b) Nửa chu vi tam giác ABC là:

$p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{12+13+15}{2}=20$

Diện tích tam giác ABC là:

$S=\sqrt{p\left(p-AB\right)\left(p-AC\right)\left(p-BC\right)}=\sqrt{20\left(20-12\right)\left(20-13\right)\left(20-15\right)}=20\sqrt{14}$ (đvdt).

Bài 2:Một cây cột điện cao 20m được đóng trên một triền dốc thẳng nghiêng hợp với phương nằm ngang một góc 17°. Người ta nối một dây cáp từ đỉnh cột điện đến cuối dốc. Tính chiều dài của dây cáp biết rằng đoạn đường từ đáy cọc đến cuối dốc bằng 72 m (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).

Hướng dẫn giải:

Bài toán được mô phỏng lại như hình vẽ vớiA, B lần lượt là điểm cuối dốc, chân của triền dốc; C, D lần lượt là chân và đỉnh của cây cột điện.

Suy ra chiều dài của dây cáp là đoạn AD.

Theo bài ra ta có: CD = 20m, AB = 72m, $\widehat{CAB}$= 17°, $\widehat{ABD}$= 90°.

$\widehat{ACB}$ = 180° - $\widehat{CAB}$- $\widehat{ABD}$= 180° - 17° - 90° = 73° (tổng ba góc một tam giác bằng 180°).

$\widehat{ACD}$= 180° - $\widehat{ACB}$= 180° - 73° = 107°

Tam giác ABC vuông tại B ⇒ AC = $\frac{AB}{\cos \widehat{CAB}}=\frac{72}{\cos 17°}$≈ 75,3 (m)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ACD, ta có:

AD² = AC² + CD² – 2AC.CD.$\cos \widehat{ACD}$

= (75,3)² + 20² – 2.75,3.20.cos107° ≈ 6950,7

AD = 83,4m

Vậy chiều dài của dây cáp là 83,4m.

Bài 3: Một hành khách ngồi trong máy bay, bay ở độ cao 10 km nhìn xuống hai thị trấn dưới mặt đất. Góc hợp bởi phương ngang và hai thị trấn lần lượt là 28° và 55° (hình vẽ). Tính khoảng cách giữa hai thị trấn.

Hướng dẫn giải:

Đề bài yêu cầu chúng ta tính độ dài CD.

Ta có $\widehat{CAD}$= 55° - 28° = 27°.

$\widehat{OAC}$= 90° - 55° = 35°.

Và cos$\widehat{OAC}$= $\frac{AO}{AC}$. Do đó, AC = $\frac{AO}{\cos \widehat{OAC}}=\frac{10}{\cos 35°}$≈ 12,2km.

$\widehat{ACO}$ = 180° - $\widehat{AOC}$- $\widehat{OAC}$= 180° - 90° - 35° = 55°

Trong tam giác ACD có $\widehat{ACD}$= 180° - $\widehat{OAC}$= 125°

Và $\widehat{ADC}$= 180° - ($\widehat{ACD}$+ $\widehat{CAD}$) = 180° - (125° + 27°) = 28°.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ACD, ta có:

⇔ CD = $\frac{AC}{\sin 28°}\iff CD=\frac{12,2\sin 27°}{\sin 28°}$≈ 11,79km.

Vậy khoảng cách giữa hai thị trấn là 11,79km.

Học tốt Giải tam giác. Tính diện tích tam giác

Các bài học để học tốt Giải tam giác. Tính diện tích tam giác Toán lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 10 Bài 3: Khái niệm vectơ

• Lý thuyết Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

• Lý thuyết Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ

• Lý thuyết Toán 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

• Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 4

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều
• Giải SBT Toán 10 Cánh diều
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---