Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 2 Cánh diều

Với tổng hợp lý thuyết Toán lớp 10 Chương 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn hay nhất, chi tiết sách Cánh diều sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 2 Cánh diều

Lý thuyết tổng hợp Toán 10 Chương 2

1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

• Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là bất phương trình có một trong các dạng sau:

ax + by < c;            ax + by > c

ax + by ≤ c;            ax + by ≥ c

trong đó: x, y là các ẩn,

a, b, c là các số cho trước (tham số) với a, b không đồng thời bằng 0.

• Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by < c (*).

Mỗi cặp số (x₀; y₀) sao cho ax₀ + by₀ < c gọi là một nghiệm của bất phương trình (*).

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tập hợp các điểm có toạ độ là nghiệm của bất phương trình (*) được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.

Nghiệm và miền nghiệm của các bất phương trình dạng ax + by > c; ax + by ≤ c và ax + by ≥ c được định nghĩa tương tự.

• Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, đường thẳng d: ax + by = c chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Một trong hai nửa mặt phẳng (không kể d) là miền nghiệm của bất phương trình ax + by < c, nửa mặt phẳng còn lại (không kể d) là miền nghiệm của bất phương trình ax + by > c.

• Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

Bước 1. Vẽ đường thẳng d: ax + by = c. Đường thẳng d chia mặt phẳng toạ độ thành hai nửa mặt phẳng.

Bước 2. Lấy một điểm M(x₀; y₀) không nằm trên d (thường lấy gốc toạ độ O nếu c ≠ 0). Tính ax₀ + by₀ và so sánh với c.

Bước 3. Kết luận:

+ Nếu ax₀ + by₀ < c thì nửa mặt phẳng chứa điểm M (không kể d) là miền nghiệm của bất phương trình ax + by < c.

+ Nếu ax₀ + by₀ > c thì nửa mặt phẳng chứa điểm M (không kể d) là miền nghiệm của bất phương trình ax + by > c.

2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

• Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là một hệ gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y. Mỗi nghiệm chung của các bất phương trình trong hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đó.

• Miền nghiệm của hệ bất phương trình là giao của các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

• Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

+ Trong cùng mặt phẳng toạ độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ bằng cách gạch bỏ phần không thuộc miền nghiệm của nó.

+ Phần không bị gạch sau cùng là miền nghiệm cần tìm.

• Giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của biểu thức bậc nhất F(x , y) = ax + by trong miền đa giác A₁A₂…A_n là giá trị của F(x , y) tại một trong các đỉnh của đa giác đó.

Bài tập tổng hợp Toán 10 Chương 2

Bài 1. Điểm nào trong các điểm A(3 ; –2), B(3 ; 5), C(2 ; 1) nằm trên miền nghiệm của bất phương trình 4x – 3y < 5?

Hướng dẫn giải:

Lần lượt thay toạ độ các điểm vào bất phương trình, ta có:

4x_A – 3y_A = 4 . 3 – 3 . (–2) = 18 < 5 là mệnh đề sai. Do đó A không nằm trên miền nghiệm của bất phương trình đã cho.

4x_B – 3y_B = 4 . 3 – 3 . 5 = –3 < 5 là mệnh đề đúng. Do đó B nằm trên miền nghiệm của bất phương trình đã cho.

4x_C – 3y_C = 4 . 2 – 3 . 1 = 5 < 5 là mệnh đề sai. Do đó C không nằm trên miền nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vậy điểm B nằm trên miền ngiệm của bất phương trình đã cho.

Bài 2. Cho bất phương trình 2x + y > 3. Khẳng định nào sau đây là đúng:

A. Bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

B. Bất phương trình đã cho vô nghiệm.

C. Bất phương trình đã cho có vô số nghiệm.

D. Bất phương trình đã cho có tập nghiệm là [3 ; +∞).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là B

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn 2x + y > 3 có vô số nghiệm, được biểu diễn bởi vô số điểm nằm trên nửa phẳng có biên là đường thẳng 2x + y = 3.

Bài 3. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau:

a)$\frac{x}{3}+\frac{y}{2}<-1$

b) $x-\frac{3y}{2}\le 0$

c) $\frac{x+y}{2}\ge \frac{2x-y+1}{3}$> 

Hướng dẫn giải:

a) Dựng đường thẳng $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=-1$.

Thay giá trị (0 ; 0) vào bất phương trình, ta có $\frac{0}{2}+\frac{0}{3}=0<-1$ là mệnh đề sai.

Miền nghiệm là miền không chứa điểm (0 ; 0), không tính đường thẳng biên.

b) Dựng đường thẳng $x-\frac{3y}{2}=0$.

Lấy điểm (–1 ; 1) ta có: $-1-\frac{3.1}{2}=-\frac{5}{2}\le 0$ là mệnh đề đúng.

Miền nghiệm là miền chứa điểm (–1 ; 1) kể cả đường thẳng biên.

c) $\frac{x+y}{2}\ge \frac{2x-y+1}{3}$ ⇔3.(x + y) $\ge$ 2.(2x – y + 1) ⇔ x – 5y ≤ –2

Dựng đường thẳng x – 5y = –2.

Thay giá trị (0 ; 0) vào bất phương trình, ta có 0 – 0 = 0 ≤ –2 là mệnh đề sai.

Miền nghiệm là miền không chứa điểm (0 ; 0), kể cả đường thẳng biên.

Bài 4. Một gian hàng trưng bày bàn và ghế rộng 60m². Diện tích để kê một chiếc ghế là 0,5m², một chiếc bàn là 1,2m². Gọi x là số ghế và y là số bàn được kê (x ≥ 0, y ≥ 0)

a) Viết bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y cho phần mặt sàn để kê bàn ghế.

b) Chỉ ra ba nghiệm của bất phương trình trên.

Hướng dẫn giải:

a) Diện tích kê x chiếc ghế và y chiếc bàn là 0,5x + 1,2y (m²).

Diện tích này không thể lớn hơn 60m² nên ta được bất phương trình cần tìm:

0,5x + 1,2y ≤ 60 hay 5x + 12y ≤ 600.

b) Lấy ví dụ các cặp giá trị (10 ; 10), (30; 15), (24; 40), ta có:

5 . 10 + 12 . 10 = 170 ≤ 600 là mệnh đề đúng.

5 . 30 + 12 . 15 = 330 ≤ 600 là mệnh đề đúng.

5 . 24 + 12 . 40 = 600 ≤ 600 là mệnh đề đúng.

Vậy (10 ; 10), (30; 15), (24; 40) là ba nghiệm của bất phương trình 5x + 12y ≤ 600.

Bài 5. Biểu diễn miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau:

a) $\left\{\begin{array}{l}x-2y>0\\ x+3y>-2\\ x-y\le 2\end{array}\right.$                                                   

b) $\left\{\begin{array}{l}y-2x>10\\ x>-5\\ y>5\\ x+y<5\end{array}\right.$

Hướng dẫn giải:

a) Dựng các đường thẳng x – y = 2; x – 2y = 0 và x + 3y = –2.

Điểm (1 ; 0) là nghiệm của cả ba bất phương trình x – 2y  > 0; x + 3y > –2 và x – y ≤ 2.

Miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch trong hình dưới.

(Đường nét liền là miền nghiệm gồm cả biên, đường nét đứt là không gồm biên)

b) Dựng các đường thẳng y – 2x = 10; x = –5; y = 5 và x + y = 5.

Xét điểm (–4 ; 6) là nghiệm của cả bốn bất phương trình x – 2y > 10; x > –5; y > 5 và        x + y < 5.

Miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch trong hình dưới.

Bài 6. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}+\frac{y}{3}>0\\ \frac{x}{3}+\frac{y}{2}-1\le 0\\ x-\frac{3y}{2}<1\end{array}\right.$                                      

Hướng dẫn giải:

Ta có hệ bất phương trình được rút gọn: $\left\{\begin{array}{l}3x+2y>0\\ 2x+3y\le 6\\ 2x-3y<2\end{array}\right.$

Dựng các đường thẳng:

d₁: 3x + 2y = 0;

d₂: 2x +3y = 6;

d₃: 2x – 3y =2.

Do tọa độ điểm (1; 1) thỏa mãn các bất phương trình trong hệ nên miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ lần lượt là những nửa mặt phẳng không bị gạch chứa điểm (1; 1) không kể cả đường thẳng d₁, d₃ và kể cả đường thẳng d₂.

Miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch trong hình dưới.

Bài 7. Biểu diễn trên hệ toạ độ miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}y+2x\le 8\\ x\le 4\\ x-2y\ge 3\\ x+y\ge 1\end{array}\right.$ .

Từ đó tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x , y) = –x – y với (x ; y) thoả mãn hệ bất phương trình trên.

Hướng dẫn giải:

Dựng các đường thẳng y + 2x = 8, x = 4, x – 2y = 3, x + y = 1.

Do tọa độ điểm (3; 0) thỏa mãn các bất phương trình trong hệ nên miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ lần lượt là những nửa mặt phẳng không bị gạch chứa điểm (3; 0) không kể cả đường thẳng d₁ và kể cả đường thẳng d₂.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác giới hạn bởi 4 điểm:

$\left(\frac{5}{3};-\frac{2}{3}\right)$; $\left(\frac{19}{5};\frac{2}{5}\right)$; (4 ; 0); (4 ; –3).

Lần lượt tính giá trị của F(x , y) tại các đỉnh của tứ giác, ta có:

$F\left(\frac{5}{3};-\frac{2}{3}\right)=-1$;     $F\left(\frac{19}{5};\frac{2}{5}\right)=\frac{-21}{5}$;             F(4 ; 0) = -4;          F(4 ; -3) = -1

Vậy, giá trị lớn nhất của F là -1 đạt được tại $\left(\frac{5}{3};-\frac{2}{3}\right)$ và (4 ; -3); giá trị nhỏ nhất của F là $-\frac{21}{5}$ đạt được tại $\left(\frac{19}{5};\frac{2}{5}\right)$.

Bài 8. Một hộ dân dự định dùng tối đa 8ha rừng để trồng cây keo và cây bạch đàn. Nếu trồng keo thì mỗi ha cần 20 công và thu về 300 triệu đồng, nếu trồng bạch đàn thì mỗi ha cần 30 công và thu về 400 triệu đồng. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu để thủ được lãi cao nhất, với tổng số công không quá 180?

Hướng dẫn giải:

Gọi x (ha) là diện tích trồng keo, y (ha) là diện tích trồng bạch đàn.

Điều kiện x ≥ 0, y ≥ 0.

Tổng diện tích không quá 8 ha, tức là x + y ≤ 8 (ha).

Số công cần cho x ha keo là 20x (công)

Số công cần cho y ha bạch đàn là 30y (công)

Vì tổng số công không quá 180 nên ta có bất phương trình 20x + 30y ≤ 180 hay 2x + 3y ≤ 18.

Số tiền thu được là T = 300x + 400y (triệu đồng).

Ta cần tìm x, y thoả mãn hệ bất phương trình$\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 8\\ 2x+3y\le 18\end{array}\right.$

sao cho T = 300x + 400y đạt giá trị lớn nhất.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình được biểu diễn bởi miền tứ giác OABC với            O(0 ; 0), A(0 ; 6), B(6 ; 2), C(8 ; 0).

Xét giá trị của T tại các đỉnh của tứ giác, ta có:

Tại O(0 ; 0), với x = 0 và y = 0 thì T = 300.0 + 400.0 = 0;

Tại A(0 ; 6), với x = 0 và y = 6 thì T = 300.0 + 400.6 = 2 400;

Tại B(6 ; 2), với x = 6 và y = 2 thì T = 300.6 + 400.2 = 2 600;

Tại C(8 ; 0), với x = 8 và y = 0 thì T = 300.8 + 400.0 = 2 400.

Suy ra giá trị lớn nhất là T = 2 600 khi x = 6, y = 2 (toạ độ điểm B).

Vậy cần trồng 6 ha keo và 2 ha bạch đàn để thu được lợi nhuận lớn nhất.

Bài 9. Một cửa hàng có kế hoạch nhập về hai loại máy tính A và B có giá lần lượt là 10 triệu đồng và 20 triệu đồng, với số vốn ban đầu không quá 4 tỉ đồng. Lãi thu về khi bán mỗi máy loại A là 2,5 triệu đồng, mỗi máy loại B là 4 triệu đồng. Cửa hàng ước tính nhu cầu tiêu thụ không quá 250 máy. Tìm số lượng máy tính mỗi loại mà cửa hàng cần nhập về để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Hướng dẫn giải:

Gọi số máy mỗi loại A, B cần nhập về lần lượt là x, y (x ≥ 0, y ≥ 0 và $x,y\in \mathbb{N}$).

Do nhu cầu không quá 250 máy nên x + y ≤ 250.

Số vốn bỏ ra để nhập máy về là 10x + 20y (triệu đồng).

Ta có 4 tỉ đồng = 4 000 triệu đồng.

Vì số vốn không quá 4 tỉ nên 10x + 20y ≤ 4 000 hay x + 2y ≤ 400.

Lãi thu về khi bán hết hàng là T = 2,5x + 4y (triệu đồng).

Ta cần tìm x, y thoả mãn hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 250\\ x+2y\le 400\end{array}\right.$ với $x,y\in \mathbb{N}$.

sao cho T = 2,5x + 4y đạt giá trị lớn nhất.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình được biểu diễn bởi miền tứ giác OABC với            O(0 ; 0), A(0 ; 200), B(100 ; 150), C(250 ; 0).

Xét giá trị của T tại các đỉnh của tứ giác, ta có:

Tại O(0 ; 0), với x = 0 và y = 0 thì T = 2,5.0 + 4.0 = 0;

Tại A(0; 200), với x = 0 và y = 200 thì T = 2,5.0 + 4.200 = 800;

Tại B(100; 150), với x = 100 và y = 150 thì T = 2,5.100 + 4.150 = 850;

Tại C(250; 0), với x = 250 và y = 0 thì T = 2,5.250 + 4.0 = 625.

Suy ra giá trị lớn nhất là T = 850 đạt được khi x = 100, y = 150 (toạ độ điểm B).

Vậy cửa hàng cần nhập 100 máy loại A và 150 máy loại B để đạt lợi nhuận lớn nhất.

Bài 10. Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kg thịt bò chừa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kg thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn, giá thịt bò là 250 nghìn/kg và thịt lợn là 160 nghìn/kg. Tính xem gia đình cần mua bao nhiêu kg mỗi loại thịt để chi phí là ít nhất.

Hướng dẫn giải:

Giả sử mỗi ngày gia đình này mua x kg thịt bò và y kg thịt lợn.

Điều kiện 0 ≤ x ≤ 1,6; 0 ≤ y ≤ 1,2.

Lượng protein và lipit trong thức ăn hàng ngày lần lượt là:

P = 800x + 600y ≥ 900 (đơn vị)

L = 200x + 400y ≥ 400 (đơn vị)

Từ đó, ta có hệ bất phương trình: $\left\{\begin{array}{l}0\le x\le 1,6\\ 0\le y\le 1,2\\ 8x+6y\ge 9\\ 2x+4y\ge 4\end{array}\right.$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình được giới hạn bởi tứ giác ABCD, trong đó:

A(0,225 ; 1,2), B(1,6 ; 1,2), C(1,6 ; 0,2), D(0,6 ; 0,7).

Số tiền mua thức ăn hàng ngày là:

T = 250x + 160y (nghìn đồng)

Xét giá trị của T tại các đỉnh của tứ giác ABCD, ta có:

Tại A(0,225 ; 1,2), với x = 0,225 và y = 1,2 thì T = 250.0,225 + 160.1,2 = 248,25;

Tại B(1,6 ; 1,2), với x = 1,6 và y = 1,2 thì T = 250.1,6 + 160.1,2 = 592;

Tại C(1,6 ; 0,2), với x = 1,6 và y = 0,2 thì T = 250.1,6 + 160.0,2 = 432;

Tại D(0,6 ; 0,7), với x = 0,6 và y = 0,7 thì T = 250.0,6 + 160.0,7 = 262.

Giá trị nhỏ nhất của T là 248,25 đạt được khi (x ; y) = (0,225; 1,2).

Vậy gia đình cần mua 0,025 kg thịt bò và 1,2 kg thịt lợn.

Học tốt Toán 10 Chương 2

Các bài học để học tốt Chương 2 Toán lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Bài tập cuối chương 2

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 10 Bài 1: Hàm số và đồ thị

• Lý thuyết Toán 10 Bài 2: Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng

• Lý thuyết Toán 10 Bài 3: Dấu của tam thức bậc hai

• Lý thuyết Toán 10 Bài 4: Bất phương trình bậc hai một ẩn

• Lý thuyết Toán 10 Bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều
• Giải SBT Toán 10 Cánh diều
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---