Tổ hợp (Lý thuyết Toán lớp 10) - Cánh diều

Với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 3: Tổ hợp sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Tổ hợp (Lý thuyết Toán lớp 10) - Cánh diều

Lý thuyết Tổ hợp

1. Định nghĩa

Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n.

Mỗi tập con gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đó.

Ví dụ : Bạn Mai có 4 chiếc váy màu hồng, màu đỏ, màu trắng, màu tím. Mai muốn chọn 3 trong 4 chiếc váy để mang đi du lịch. Hãy viết các tổ hợp 3 của 4 chiếc áo váy đó.

Hướng dẫn giải

Các tổ hợp chập 3 của 4 chiếc váy là :

Hồng – đỏ – trắng ; Hồng – đỏ – tím ; Đỏ – trắng – tím ; Hồng – trắng – tím.

Vậy ta có 4 tổ hợp chập 3 của 4 chiếc váy là : Hồng – đỏ – trắng ; Hồng – đỏ – tím ; Đỏ – trắng – tím ; Hồng – trắng – tím.

2. Số các tổ hợp

Nhận xét : Một tổ hợp chập k của n phần tử nhiều gấp k! lần số tổ hợp chập k của n phần tử đó.

Kí hiệu là $C_n^k$ là số tổ hợp chập k của n phần tử với (1 ≤ k ≤ n). Ta có : $C_n^k=\frac{A_n^k}{k!}$

Quy ước 0! = 1 ; $C_n^0=1$.

Với những quy ước trên, ta có công thức sau: $C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!k!}$ (với 0 ≤ k ≤ n).

Ví dụ : Một tổ có 8 người, bạn tổ trưởng muốn cử ra 4 bạn đi tập văn nghệ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

Hướng dẫn giải

Mỗi cách chọn 4 bạn trong 8 bạn đi trực nhật là một tổ hợp chập 4 của 8.

Ta có $C_8^4=\frac{8!}{(8-4)!4!}=70$.

Vậy có 70 cách chọn 4 trong 8 bạn đi tập văn nghệ.

3. Tính chất của các số $C_n^k$

Ta có hai đẳng thức sau : $C_n^k=C_n^{n-k}$ (0 ≤ k ≤ n) và $C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k=C_n^k$ (1 ≤ k < n).

Ví dụ: Ta có : $C_{10}^6=C_{10}^{10-6}=210$ ; $C_{10-1}^{6-1}+C_{10-1}^6=C_{10}^6=210$.

Bài tập Tổ hợp

Bài 1. Gia đình của Tú Mai muốn đi du lịch tại Ninh Bình. Hướng dẫn viên đưa ra một số địa điểm để du lịch như sau: Chùa Bái Đính; Hang Múa, quần thể danh thắng Tràng An, Vườn Quốc gia Cúc Phương, Tam Cốc – Bích Động; Cố đô Hoa Lư; Động Am Tiêm; Vườn Chim Thung Nham; Đầm Vân Long; Nhà thờ Phát Diệm. Biết rằng gia đình của Tú Mai chỉ đi được 4 trong số các địa điểm du lịch trên. Hỏi gia đình của Tú Mai có bao nhiêu cách để lựa chọn.

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn viên đưa ra tất cả 10 địa điểm để gia đình của Tú Mai lựa chọn du lịch.

Gia đình của Tú Mai lựa chọn 4 trong 10 địa điểm du lịch.

Mỗi cách chọn đó là một tổ hợp chập 4 của 10 địa điểm du lịch.

Ta có: $C_{10}^4=\frac{10!}{(10-4)!4!}=210$.

Vậy gia đình Tú Mai có 210 cách để lựa chọn 4 trong 10 địa điểm để du lịch.

Bài 2 : Một túi có 7 quả bóng xanh, 3 quả bóng vàng và 14 quả bóng đỏ. Lấy ngẫu nhiên ba quả bóng trong túi. Hỏi có bao nhiêu cách để lấy 3 quả bóng từ trong túi sao cho 3 quả bóng cùng màu.

Hướng dẫn giải

Để lấy 3 quả bóng cùng màu thì ta thực hiện một trong ba hành động sau:

– Lấy 3 quả bóng màu xanh trong 7 quả bóng xanh, ta có $C_7^3$ = 35 cách lấy.

– Lấy 3 quả bóng màu vàng trong 3 quả bóng vàng, ta có $C_3^3$ = 1 cách lấy.

– Lấy 3 quả bóng màu đỏ trong 14 quả bóng đỏ, ta có $C_{14}^3$ = 364 cách lấy.

Theo quy tắc cộng, ta có 35 + 1 + 364 = 400 cách để lấy được 3 quả bóng cùng màu.

Vậy có 400 cách để lấy được 3 quả bóng cùng màu.

Bài 3: Bác Dũng có 8 người bạn. Bác Dũng muốn mời 4 trong 8 người bạn đó đi câu cá vào cuối tuần. Nhưng trong 8 người bạn đó, có 2 người bạn không thích câu cá nên không đi. Vậy số cách chọn nhóm 4 người để đi câu cùng bác Dũng là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Bác Dũng có 8 người bạn nhưng có hai người không đi nên số người có thể đi câu cùng bác Dũng là 8 – 2 = 6 người.

Khi đó, bác Dũng chọn 4 người trong 6 người để đi câu cùng thì số cách chọn là tổ hợp chập 4 của 6 người bạn.

Ta có $C_6^4$= 15.

⇒ Bác Dũng có 15 cách để lựa chọn 4 người bạn trong 6 người bạn đi câu cá cùng.

Vậy bác Dũng có 15 cách để lựa chọn 4 người bạn đi câu cá cùng.

Bài 4: Tính $C_{30}^{19}+C_{30}^{20}-C_{31}^{20}$.

Hướng dẫn giải

Ta có $C_{30}^{19}+C_{30}^{20}=C_{31}^{20}$nên $C_{30}^{19}+C_{30}^{20}-C_{31}^{20}=C_{31}^{20}-C_{31}^{20}=0$.

Học tốt Tổ hợp

Các bài học để học tốt Tổ hợp Toán lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Bài 3: Tổ hợp

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 10 Bài 4: Nhị thức Newton

• Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5

• Lý thuyết Toán 10 Bài 1: Số gần đúng. Sai số

• Lý thuyết Toán 10 Bài 2: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu không ghép nhóm

• Lý thuyết Toán 10 Bài 3: Các số liệu đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu không ghép nhóm

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều
• Giải SBT Toán 10 Cánh diều
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---