Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 3 Cánh diều

Với Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 3: Hàm số và đồ thị sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 3 Cánh diều

Lý thuyết tổng hợp Toán 10 Chương 3

1. Hàm số

1.1. Định nghĩa

Cho tập hợp khác rỗng D$\subset ℝ$. Nếu với mỗi giá trị của x thuộc D có một và chỉ một giá trị tương ứng của y thuộc tập hợp số thực $ℝ$ thì ta có một hàm số.

Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x.

Tập D được gọi là tập xác định của hàm số.

Kí hiệu hàm số: y = f(x), x$\in$D.

1.2. Cách cho hàm số

a) Hàm số cho bằng một công thức

Hàm số được cho bằng biểu thức, cùng cách nói với hàm số cho bằng công thức.

Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa.

b) Hàm số cho bằng nhiều công thức

Một hàm số có thể được cho bằng nhiều công thức.

Ví dụ:

Cho hàm số: f(x) =

c) Hàm số không cho bằng công thức

Trong thực tiễn, có những tình huống dẫn tới những hàm số không thể cho bằng không thức (hoặc nhiều công thức).

Ví dụ: Biểu đồ lượng mưa tại Hà Nội trong năm 2021 (Đơn vị: mm)

2. Đồ thị của hàm số

Đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D là tập hợp tất cả các điểm

M(x; f(x)) trong mặt phẳng toạ độ Oxy với mọi x thuộc D.

Chú ý:

- Điểm M(a;b) trong mặt phẳng toạ độ Oxy thuộc đồ thị hàm số y = f(x), x$\in$D khi và chỉ khi

- Để chứng tỏ điểm M(a; b) trong mặt phẳng toạ độ không thuộc đồ thị hàm số

y = f(x), x$\in$D, ta có thể kiểm tra một trong hai khả năng sau:

Khả năng 1: Chứng tỏ rằng a $\notin$ D

Khả năng 2: Khi a $\in$D thì chứng tỏ rằng b ≠ f(a).

3. Sự biến của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b):

- Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến trên khoảng (a; b) nếu

$\forall x_1,x_2\in \left(a;b\right),x_1<x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$

- Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến trên khoảng (a; b) nếu

$\forall x_1,x_2\in \left(a;b\right),x_1<x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$

4. Hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai là hàm số được cho bằng biểu thức có dạng $y=a{x}^2+bx+c$, trong đó a, b, c là những hằng số và a ≠ 0. Tập xác định của hàm số là $ℝ$.

5. Đồ thị hàm số bậc hai

Đồ thị hàm số bậc hai $y=a{x}^2+bx+c$ (a ≠ 0) là một đường parabol có đỉnh là điểm với toạ độ $\left(-\frac{b}{2a};-\frac{∆}{4a}\right)$ và trục đối xứng là đường thẳng $x=-\frac{b}{2a}$.

Chú ý: Cho hàm số f(x) = $a{x}^2+bx+c$ (a ≠ 0), ta có: $-\frac{∆}{4a}$ = $f\left(-\frac{b}{2a}\right)$

Để vẽ đồ thị hàm số y = $a{x}^2+bx+c$ (a ≠ 0) ta thực hiện các bước:

Bước 1: Xác định toạ độ đỉnh: $\left(-\frac{b}{2a};-\frac{∆}{4a}\right)$;

Bước 2: Vẽ trục đối xứng $x=-\frac{b}{2a}$;

Bước 3: Xác định một số điểm đặc biệt, chẳng hạn: giao điểm với trục tung (có toạ độ (0; c)) và trục hoành (nếu có), điểm đối xứng với điểm có toạ độ (0; c) qua trục đối xứng $x=-\frac{b}{2a}$

Bước 4: Vẽ đường parabol đi qua các điểm đã xác định ta nhận được đồ thị hàm số.

- Sự đồng biến nghịch của hàm số bậc hai.

Cho hàm số f(x) = $a{x}^2+bx+c$ (a ≠ 0)

- Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;-\frac{b}{2a}\right)$; đồng biến trên khoảng $\left(-\frac{b}{2a};+\infty \right)$

- Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;-\frac{b}{2a}\right)$; nghịch biến trên khoảng $\left(-\frac{b}{2a};+\infty \right)$

Bảng biến thiên:

6. Dấu của tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai f(x) = $a{x}^2+bx+c$ (a ≠ 0), $∆=b^2-4ac$.

+ Nếu $∆$ < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x $\in ℝ$

+ Nếu $∆$ = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x $\in ℝ\backslash \left\{\frac{-b}{2a}\right\}$

+ Nếu $∆$ > 0 thì f(x) có hai nghiệm $x_1,x_2(x_1<x_2)$. Khi đó:

- f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x thuộc các khoảng (-∞; $x_1$); ($x_2$; +∞)

- f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x thuộc khoảng ($x_1$; $x_2$)

7. Bất phương trình bậc hai một ẩn

- Bất phương trình bậc hai một ẩnx là bất phương trình có một trong các dạng sau: ax² + bx + c < 0; ax² + bx + c ≤ 0; ax² + bx + c > 0; ax² + bx + ≥ 0, trong đó a, b, c là các số thực đã cho, a ≠ 0.

- Đối với bất phương trình bậc hai có dạng ax² + bx + c < 0, mỗi số $x_0\in ℝ$sao cho $a{x}_0^2+b{x}_0+c<0$ được gọi là một nghiệm của bất phương trình đó.

Tập hợp các nghiệm x như thế còn được gọi là tập nghiệm của bất phương trình bậc hai đã cho.

Nghiệm và tập nghiệm của các dạng bất phương trình bậc hai ẩn x còn lại được định nghĩa tương tự.

8. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

*Cách 1: Xét dấu tam thức bậc hai

f(x) > 0 (f(x) = ax² + bx + c), ta chuyển việc giải bất phương trình đó về việc tìm tập hợp những giá trị của x sao cho f(x)mang dấu “+”. Cụ thể, ta làm như sau:

Bước 1. Xác định dấu của hệ số a và tìm nghiệm của f(x) (nếu có).

Bước 2. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để tìm tập hợp những giá trị của x sao cho f(x) mang dấu “+”.

Các bất phương trình bậc hai có dạng f(x) < 0, f(x) ≥ 0, ,f(x) ≤ 0 được giải bằng cách tương tự.

*Cách 2: Sử dụng hàm số

- Giải bất phương trình bậc hai ax² +bx + c > 0 là tìm tập hợp những giá trị của x ứng với phần parabol y = ax² + bx + c nằm phía trên trục hoành.

- Tương tự, giải bất phương trình bậc hai ax² + bx + c < 0 là tìm tập hợp những giá trị của x ứng với phần parabol y = ax² + bx + c nằm phía dưới trục hoành.

Như vậy, để giải bất phương trình bậc hai (một ẩn) có dạng:

f(x) > 0 (f(x) = ax² + bx + c) bằng cách sử dụng đồ thị, ta có thể làm như sau: Dựa vào parabol y = ax² + bx + c, ta tìm tập hợp những giá trị của x ứng với phần parabol đó nằm phía trên trục hoành. Đối vổi các bất phương trình bậc hai có dạng f(x) < 0, f(x) ≥ 0, ,f(x) ≤ 0, ta cũng làm tương tự.

9. Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

* Phương trình có dạng $\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{g\left(x\right)}$ (I)

(f(x) = a$x^2$+ bx + c và g(x) = m$x^2$+ nx + c với a ≠ m)

Để giải phương trình (I) ta làm như sau:

Bước 1: Bình phương hai vế của (I) dẫn đến phương trình f(x) = g(x) rồi tìm nghiệm của phương trình này

Bước 2: Thay từng nghiệm của phương trình f(x) = g(x) vào bất phương trình

f(x) ≥ 0 hoặc g(x) ≥ 0. Nghiệm nào thoả mãn bất phương trình đó thì giữ lại, nghiệm nào không thoả mãn thì loại đi.

Bước 3: Trên cơ sở những nghiệm giữ lại ở Bước 2, ta kết luận nghiệm của phương trình (I)

* Phương trình có dạng $\sqrt{f\left(x\right)}=g\left(x\right)$ (II)

(f(x) = a$x^2$+ bx + c và g(x) = dx + e với a ≠ $d^2$)

Để giải phương trình (II), ta làm như sau:

Bước 1: Giải bất phương trình g(x) ≥ 0 để tìm tập nghiệm của bất phương trình đó

Bước 2: Bình phương hai vế của phương trình dẫn đến phương trình f(x) = $\left[g{\left(x\right)}^2\right]$ rồi tìm tập nghiệm của phương trình đó.

Bước 3: Trong những nghiệm của phương trình f(x) = $\left[g{\left(x\right)}^2\right]$, ta chỉ giữ lại những nghiệm thuộc tập nghiệm của bất phương trình g(x) ≥ 0. Tập nghiệm giữ lại đó chính là tập nghiệm của phương trình (II).

Bài tập tổng hợp Toán 10 Chương 3

Bài 1. Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:

a) y = $-x^2$

b) y = $\sqrt{2-3x}$

c) y = $\frac{4}{x+1}$

d) y=

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định D = $ℝ$

b) Biểu thức $\sqrt{2-3x}$ có nghĩa khi 2 - 3x ≥ 0 ⇔ x ≤ $\frac{2}{3}$. Vì vậy tập xác định của hàm số: D = {x$\in$R | x$\le$$\frac{2}{3}$} = (-$\infty$; $\frac{2}{3}$].

c) Biểu thức y = $\frac{4}{x+1}$ có nghĩa khi x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ - 1. Vì vậy tập xác định của hàm số: D = {$x\in ℝ$ | $x\ne -1$} = $ℝ$\{-1}.

d) Ta thấy hàm số có nghĩa với mọi $x\in \mathbb{Q}$ và $x\in ℝ\backslash \mathbb{Q}$ nên tập xác định của hàm số là: D = $ℝ$.

Bài 2. Vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau: y = 2x² - 6x + 4

Hướng dẫn giải

- Tập xác định: D = $ℝ$

- Ta có: a = 2; b = -6; c = 4; $∆=b^2-4ac$ = ${\left(-6\right)}^2$- 4.2.4 = 4

- Toạ độ đỉnh I = $\left(-\frac{b}{2a};-\frac{∆}{4a}\right)$ = $\left(\frac{6}{2.2};\frac{-4}{4.2}\right)=\left(\frac{3}{2};-\frac{1}{2}\right)$

- Trục đối xứng $x=-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}$

- Giao điểm của parabol với trục Oy là A(0; 4)

- Giao điểm của parabol với trục Ox là B (1; 0); (2; 0)

- Chọn một điểm thuộc đồ thị cho x = -1 thay vào y = 2$x^2$ - 6x + 4 ta được điểm D(-1; 12)

Vẽ parabol qua các điểm trên:

Bài 3.Tìm giá trị nguyên của x để tam thức $f\left(x\right)=2x^2-7x-9$ nhận giá trị âm.

Hướng dẫn giải

Ta có : $f\left(x\right)=2x^2-7x-9$ $\iff$

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu $f\left(x\right)<0\iff -1<x<\frac{9}{2}$. Mà x nguyên nên x $\in$ {0;1;2;3;4}.

Như vậy, với x nguyên x $\in$ {0;1;2;3;4} thì $f\left(x\right)=2x^2-7x-9$ < 0.

Bài 4. Khi nào thì tam thức bậc hai $f\left(x\right)=x^2+\left(\sqrt{5}-1\right)x-\sqrt{5}$ nhận giá trị dương.

Hướng dẫn giải

Ta có : $f\left(x\right)=x^2+\left(\sqrt{5}-1\right)x-\sqrt{5}=0\iff$

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu $f\left(x\right)>0\iff x\in \left(-\infty ;-\sqrt{5}\right)\cup \left(1;+\infty \right)$.

Bài 5. Tìm tập nghiệm của bất phương trình:$\sqrt{2}{x}^2-\left(\sqrt{2}+1\right)x+1<0$

Hướng dẫn giải

Ta có: $f\left(x\right)=\sqrt{2}{x}^2-\left(\sqrt{2}+1\right)x+1=0\iff$

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu $f\left(x\right)<0\iff \frac{\sqrt{2}}{2}<x<1.$

Bài 6. Giải phương trình $\sqrt{3x^2-9x+1}=x-2$

Hướng dẫn giải

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {3}.

Bài 7. Giải phương trình$\sqrt{x^2-5x+4}=\sqrt{-2x^2-3x+12}$.

Hướng dẫn giải

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {$\frac{-8}{6}$}.

Học tốt Toán 10 Chương 3

Các bài học để học tốt Chương 3 Toán lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Bài tập cuối chương 3

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 10 Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0⁰ đến 180⁰. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác

• Lý thuyết Toán 10 Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác

• Lý thuyết Toán 10 Bài 3: Khái niệm vectơ

• Lý thuyết Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

• Lý thuyết Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều
• Giải SBT Toán 10 Cánh diều
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---