Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (Lý thuyết Toán lớp 9) | Cánh diều
Với tóm tắt lý thuyết Toán 9 Bài 3: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 9 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.
Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (Lý thuyết Toán lớp 9) | Cánh diều
Lý thuyết Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Ta có thể giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế theo các bước sau:
Bước 1. (Thế) Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình một ẩn.
Bước 2. (Giải phương trình một ẩn) Giải phương trình (một ẩn) nhận được ở Bước 1 để tìm giá trị của ẩn đó.
Bước 3. (Tìm ẩn còn lại và kết luận) Thay giá trị vừa tìm được của ẩn đó ở Bước 2 vào biểu thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia ở Bước 1 để tìm giá trị của ẩn còn lại. Từ đó, ta tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Chú ý: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có thể có nghiệm duy nhất hoặc vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.
Hướng dẫn giải
Giải hệ phương trình
Từ phương trình (2), ta có: x = 10y – 8. (3)
Thế vào phương trình (1) ta được: 2.(10y – 8) + 3y = 7. (4)
Giải phương trình (4):
2.(10y – 8) + 3y = 7
20y – 16 + 3y = 7
23y = 23
y = 1.
Thay y = 1 vào phương trình (3), ta có:
x = 10.1 – 8 = 2.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (2; 1).
2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Ta có thể giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số theo các bước sau:
Bước 1. (Làm cho hai hệ số của một ẩn nào đó bằng nhau hoặc đối nhau) Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.
Bước 2. (Đưa về phương trình một ẩn) Cộng (hay trừ) từng vế hai phương trình của hệ phương trình nhận được ở Bước 1 để nhận được một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0, tức là nhận được phương trình một ẩn. Giải phương trình một ẩn đó.
Bước 3. (Tìm ẩn còn lại và kết luận) Thay giá trị vừa tìm được ở Bước 2 vào một trong hai phương trình của hệ đã cho để tìm giá trị của ẩn còn lại. Từ đó, ta tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.
Hướng dẫn giải
Xét hệ phương trình
Nhân hai vế của phương trình (2) với 2, ta được hệ phương trình sau: Trừ từng vế hai phương trình (3) và (4), ta nhận được phương trình:
23y = 23, tức là y = 1.
Thay y = 1 vào phương trình (2), ta có: x – 10.1 = –8. (5)
Giải phương trình (5):
x – 10.1 = –8
x – 10 = –8
x = 2.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (2; 1).
Bài tập Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Bài 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hệ phương trình
A. có một nghiệm.
B. vô nghiệm.
C. có vô số nghiệm.
D. có hai nghiệm.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Xét hệ phương trình
Từ phương trình (2), ta có: y = –6 – 2x. (*)
Thế vào phương trình (1) ta được: 0,6x + 0,3.(–6 – 2x) = 1,8. (**)
Giải phương trình (**):
0,6x + 0,3.(–6 – 2x) = 1,8
0,6x – 1,8 – 0,6x = 1,8
0x = 3,6.
Do đó phương trình (**) vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 2. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hệ phương trình
A. có nghiệm là (0; –0,5).
B. có nghiệm là (1; 0).
C. có nghiệm là (–3; –8).
D. vô nghiệm.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Xét hệ phương trình
Từ phương trình (2), ta có: y = 2x – 2. (*)
Thế vào phương trình (1) ta được: 1,5x – 0,6.(2x – 2) = 0,3. (**)
Giải phương trình (**):
1,5x – 0,6.(2x – 2) = 0,3
1,5x – 1,2x + 1,2 = 0,3
0,3x = –0,9
x = –3.
Thay x = –3 vào phương trình (*), ta có:
y = 2.(–3) – 2 = –8.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (–3; –8).
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a)
b)
c)
Hướng dẫn giải
a)
Từ phương trình (1), ta có: x = 5 – y. (*)
Thế vào phương trình (2) ta được: 3.(5 – y) – 2y = 5. (**)
Giải phương trình (**):
3.(5 – y) – 2y = 5
15 – 3y – 2y = 5
15 – 5y = 5
–5y = –10
y = 2.
Thay y = 2 vào phương trình (*), ta có:
x = 5 – 2 = 3.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (3; 2).
b)
Từ phương trình (3), ta có: x = 14 – 7y. (***)
Thế vào phương trình (4) ta được: 2.(14 – 7y) + 14y = 28. (****)
Giải phương trình (****):
2.(14 – 7y) + 14y = 28
28 – 14y + 14y = 28
0y = 0.
Do đó phương trình (****) có vô số nghiệm.
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.
c)
Từ phương trình (5), ta có: suy ra
Thế vào phương trình (6) ta được:
Giải phương trình (8):
3x – 3x + 16 = 11
0x = –5.
Do đó phương trình (8) vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 4. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
a)
b)
c)
Hướng dẫn giải:
a)
Nhân hai vế của phương trình (1a) với 4, ta được hệ phương trình sau:
Trừ từng vế hai phương trình (3a) và (4a), ta nhận được phương trình:
0x + 0y = 12.
Phương trình trên vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
b)
Nhân hai vế của phương trình (2b) với 3, ta được hệ phương trình sau:
Cộng từng vế hai phương trình (3b) và (4b), ta nhận được phương trình:
17x = –34, tức là x = –2.
Thay x = –2 vào phương trình (2b), ta có: 5.(–2) – 2y = –9. (5b)
Giải phương trình (5b):
5.(–2) – 2y = –9
–10 – 2y = –9
–2y = 1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
c)
Nhân hai vế của phương trình (1c) với 2, ta được hệ phương trình sau:
Cộng từng vế hai phương trình (3c) và (4c), ta nhận được phương trình:
0x + 0y = 0.
Phương trình trên vô số nghiệm.
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.
Bài 5. Trong một đợt khuyến mãi, siêu thị giảm giá cho mặt hàng A là 20% và mặt hàng B là 15% so vối giá niêm yết. Một khách hàng mua 2 món hàng A và 1 món hàng B thì phải trả số tiền là 362 000 đồng. Nhưng nếu mua trong khung giờ vàng thì mặt hàng A được giảm giá 30% và mặt hàng B được giảm giá 25% so với giá niêm yết. Một khách hàng mua 3 món hàng A và 2 món hàng B trong khung giờ vàng nên phải trả số tiền là 552 000 đồng. Tính giá niêm yết của mỗi mặt hàng A và B.
Hướng dẫn giải
Gọi giá niêm yết của mặt hàng A và B lần lượt là x, y (đồng) (x > 0, y > 0).
Giá của mặt hàng A sau khi giảm giá 20% là x.(100% – 20%) = 0,8x (đồng).
Giá của mặt hàng B sau khi giảm giá 15% là y.(100% – 15%) = 0,85y (đồng).
Khi đó, số tiền khách hàng phải trả khi mua 2 món hàng A và 1 món hàng B là: 2.0,8x + 0,85y (đồng).
Theo bài, ta có phương trình:
2.0,8x + 0,85y = 362 000 hay 1,6x + 0,85y = 362 000. (1)
Giá của mặt hàng A sau khi giảm giá 30% là x.(100% – 30%) = 0,7x (đồng).
Giá của mặt hàng B sau khi giảm giá 25% là y.(100% – 25%) = 0,75y (đồng).
Khi đó, số tiền khách hàng phải trả khi mua 3 món hàng A và 2 món hàng B là: 3.0,7x + 2.0,75y (đồng).
Theo bài, ta có phương trình:
3.0,7x + 2.0,75y = 552 000 hay 2,1x + 1,5y = 552 000. (2)
Ta có hệ phương trình:
Nhân hai vế của phương trình (1) với 210 và nhân hai vế của phương trình (1) với 160, ta được hệ phương trình sau:
Trừ từng vế hai phương trình (3) và (4), ta nhận được phương trình:
–61,5y = –12 300 000, tức là y = 200 000 (thỏa mãn).
Thay y = 200 000 vào phương trình (1), ta có:
1,6x + 0,85.200 000 = 362 000. (5)
Giải phương trình (5):
1,6x + 0,85.200 000 = 362 000
1,6x + 170 000 = 362 000
1,6x = 192 000
x = 120 000 (thỏa mãn).
Do đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất (120 000; 200 000).
Vậy giá niêm yết của mặt hàng A và B lần lượt là 120 000 đồng và 200 000 đồng.
Bài 6. Tìm các hệ số x, y để cân bằng phương trình phản ứng hóa học sau:
4Al + xO2 → yAl2O3.
Hướng dẫn giải
Theo định luật bảo toàn nguyên tố đối với Al và O, ta có:
Giải phương trình (1):
4 = 2y
y = 2.
Thay y = 2 vào phương trình (2), ta được: 2x = 3.2. (3)
Giải phương trình (3):
2x = 3.2
2x = 6
x = 3.
Do đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (3; 2).
Vậy ta có phương trình sau cân bằng:
4Al + 3O2 → 2Al2O3.
Học tốt Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Các bài học để học tốt Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Toán lớp 9 hay khác:
Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Cánh diều hay khác:
Tủ sách VIETJACK luyện thi vào 10 cho 2k9 (2024):
Săn shopee giá ưu đãi :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Giải sgk Toán 9 Tập 1 & Tập 2 của chúng tôi được biên soạn bám sát nội dung sgk Toán 9 Cánh diều (NXB Đại học Sư phạm).
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Soạn văn 9 Cánh diều (hay nhất)
- Soạn văn 9 Cánh diều (ngắn nhất)
- Giải sgk Toán 9 - Cánh diều
- Giải Tiếng Anh 9 Global Success
- Giải sgk Tiếng Anh 9 Smart World
- Giải sgk Tiếng Anh 9 Friends plus
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 9 - Cánh diều
- Giải sgk Lịch Sử 9 - Cánh diều
- Giải sgk Địa Lí 9 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục công dân 9 - Cánh diều
- Giải sgk Tin học 9 - Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 9 - Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 9 - Cánh diều
- Giải sgk Âm nhạc 9 - Cánh diều
- Giải sgk Mĩ thuật 9 - Cánh diều