Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn (Lý thuyết Toán lớp 9) | Cánh diều
Với tóm tắt lý thuyết Toán 9 Bài 2: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 9 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn (Lý thuyết Toán lớp 9) | Cánh diều
Lý thuyết Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
1. Đường thẳng và đường tròn cắt nhau
⦁Khi đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung, ta nói đường thẳng và đường tròn cắt nhau.
⦁Nếu đường thẳng và đường tròn cắt nhau thì mỗi điểm chung được gọi là một giao điểm.
Nhận xét: Đường thẳng a cắt đường tròn (O; R) khi khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a nhỏ hơn R và ngược lại (hình vẽ).
Ví dụ 1. Cho đường thẳng b và một điểm O cách b một khoảng bằng 5 cm. Vẽ đường tròn tâm O, bán kính 7 cm. Đường thẳng b có cắt đường tròn (O) hay không? Vì sao?
Hướng dẫn giải
Vẽ OH vuông góc với b tại H.
Ta có O cách b một khoảng bằng 5 cm nên OH = 5 cm.
Mà R = 7 cm nên OH < R (vì 5 cm < 7 cm)
Vậy đường thẳng b cắt (O; 7 cm) tại hai điểm phân biệt.
2. Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau
⦁Khi đường thẳng và đường tròn có đúng một điểm chung, ta nói đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau tại điểm chung đó.
⦁Nếu đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau thì đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của đường tròn, điểm chung được gọi là tiếp điểm.
Nhận xét:Đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O; R) khi khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a bằng R và ngược lại (hình vẽ).
Ví dụ 2. Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 16 cm. Vẽ đường thẳng m sao cho khoảng cách từ O đến m bằng 8 cm. Đường thẳng m có tiếp xúc với đường tròn (O) không? Vì sao?
Hướng dẫn giải
Kẻ OE ⊥ m tại E.
Ta có khoảng cách từ O đến m bằng 8 cm nên OE = 8 cm.
Bán kính đường tròn (O) là: (cm).
Vì OE = R = 8 cm nên đường thẳng m tiếp xúc với đường tròn (O; 8 cm).
3. Đường thẳng và đường tròn không giao nhau
Khi đường thẳng và đường tròn không có điểm chung, ta nói đường thẳng và đường tròn không giao nhau.
Nhận xét:Đường thẳng a và đường tròn (O; R) không giao nhau khi khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a lớn hơn R và ngược lại (hình vẽ).
Ví dụ 3. Cho đường thẳng a và điểm O cách a một khoảng bằng 6 cm. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng a và các đường tròn sau:
a) (O; 3 cm);
b) (O; 6 cm);
c) (O; 9 cm).
Hướng dẫn giải
Gọi d là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a nên d = 6 cm.
a) Đặt R = 3 cm.
Vì 6 cm > 3 cm nên d > R.
Vậy đường thẳng a và đường tròn (O; 3 cm) không giao nhau.
b) Đặt R = 6 cm.
Vì d = R = 6 cm nên đường thẳng a và đường tròn (O; 6 cm) tiếp xúc với nhau.
c) Đặt R = 9 cm.
Vì 6 cm < 9 cm nên d < R.
Vậy đường thẳng a và đường tròn (O; 9 cm) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
Ta có thể nhận biết vị trí tương đối của đường thẳng a và đường tròn (O; R) thông qua hệ thức giữa khoảng cách d từ tâm O đến đường thẳng a và bán kính R được tóm tắt trong bảng sau:
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn |
Số điểm chung |
Hệ thức giữa d và R |
Đường thẳng và đường tròn cắt nhau |
2 |
d < R |
Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau |
1 |
d = R |
Đường thẳng và đường tròn không giao nhau |
0 |
d > R |
Bài tập Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Bài 1. Nếu đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung thì
A. đường thẳng tiếp xúc với đường tròn;
B. đường thẳng cắt đường tròn;
C. đường thẳng và đường tròn không giao nhau;
D. đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Nếu đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung thì đường thẳng và đường tròn cắt nhau.
Vậy ta chọn phương án B.
Bài 2. Cho a, b là hai đường thẳng song song và cách nhau một khoảng 3,5 cm. Lấy điểm I trên đường thẳng a và vẽ đường tròn (I; 3 cm). Khi đó đường tròn tâm I với đường thẳng b
A. cắt nhau;
B. tiếp xúc;
C. không giao nhau;
D. đáp án khác.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Đường tròn (I) có R = 3 cm.
Ta có a, b là hai đường thẳng song song và cách nhau một khoảng 3,5 cm.
Mà I thuộc đường thẳng a.
Suy ra điểm I cách đường thẳng b một khoảng bằng 3,5 cm nên d = 3,5 cm.
Vì 3,5 cm > 3 cm nên d > R.
Vậy đường tròn (I) và đường thẳng b không giao nhau.
Bài 3. Cho đường tròn tâm O, bán kính 3 cm và một điểm A cách O một khoảng bằng 5 cm. Vẽ đường thẳng AB tiếp xúc với đường tròn (O), với B là tiếp điểm. Độ dài AB là
A. 3 cm;
B. 4 cm;
C. 5 cm;
D. 2 cm.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Do đường thẳng AB tiếp xúc với đường tròn (O) tại điểm B nên OB = R = 3 cm và OB ⊥ AB tại B.
Lại có điểm A cách O một khoảng bằng 5 cm nên OA = 5 cm.
Tam giác OAB vuông tại B, theo định lí Pythagore, ta có:
OA2 = OB2 + AB2
Suy ra AB2 = OA2 – OB2 = 52 – 32 = 16.
Do đó AB = 4 (cm).
Vậy ta chọn phương án B.
Bài 4. Cho điểm O cách đường thẳng a một khoảng bằng 6 cm. Vẽ đường tròn (O; 10 cm).
a) Chứng minh rằng đường tròn (O) và đường thẳng a cắt nhau.
b) Gọi hai giao điểm của đường tròn (O) và đường thẳng a lần lượt là B và C. Tính chu vi tam giác OBC.
Hướng dẫn giải
a) Đường tròn (O) có R = 10 cm.
Ta có điểm O cách đường thẳng một khoảng bằng 6 cm nên d = 6 cm.
Vì 6 cm < 10 cm nên d < R.
Vậy đường tròn (O) và đường thẳng a cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
b) Kẻ OH ⊥ BC tại H.Suy ra OH = d = 6 cm.
Ta có OB = OC = R = 10 cm.
Tam giác OBH vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:
OB2 = OH2 + BH2
Suy ra BH2 = OB2 – OH2 = 102 – 62 = 64.
Do đó BH = 8 (cm).
Tam giác OBC cân tại O (do OB = OC = R = 10 cm) có OH là đường cao nên OH cũng là đường trung tuyến của tam giác OBC.
Do đó H là trung điểm BC, nên BC = 2BH = 2.8 = 16 (cm).
Chu vi tam giác OBC là:
OB + OC + BC = 10 + 10 + 16 = 36 (cm).
Vậy chu vi tam giác OBC bằng 36 cm.
Bài 5. Cho hình thang vuông ABCD AB = 4 cm, BC = 13 cm và CD = 9 cm.
a) Tính AD.
b) Chứng minh rằng đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn có đường kính là BC.
Hướng dẫn giải
a) Kẻ BH ⊥ CD tại H.
Ta có .
Suy ra tứ giác ABHD là hình chữ nhật.
Do đó AD = BH và DH = AB = 4 (cm).
Ta có CH = CD – DH = 9 – 4 = 5 (cm).
Tam giác BHC vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:
BC2 = BH2 + HC2
Suy ra BH2 = BC2 – HC2 = 132 – 52 = 144.
Do đó BH = 12 (cm).
Khi đó, AD = BH = 12 (cm).
b) Gọi O, N lần lượt là trung điểm của BC và BH.
Suy ra ON là đường trung bình của tam giác BHC.
Do đó và ON // HC.
Mà HC ⊥ AD nên ON ⊥ AD.
Gọi M là giao điểm của ON và AD, khi đó OM ⊥ AD tại M. (1)
Xét tứ giác AMNB có nên AMNB là hình chữ nhật.
Do đó MN = AB = 4 cm.
Ta có OM = ON + MN = 2,5 + 4 = 6,5 cm.
Suy ra (2)
Từ (1), (2), ta có khoảng cách từ tâm O của đường tròn đường kính BC đến đường thẳng AD bằng OM và bằng bán kính của đường tròn đường kính BC.
Vậy đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn có đường kính là BC.
Bài 6. Cho đường tròn (O; R) và dây Vẽ một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O) và song song với AB, cắt các tia OA, OB theo thứ tự tại M và N. Tính diện tích tam giác OMN.
Hướng dẫn giải
Gọi I là trung điểm của AB. Suy ra .
Tam giác OAB cân tại O (do OA = OB = R) có OI là đường trung tuyến nên OI cũng đồng thời là đường cao của tam giác.
Tam giác OAI vuông tại I, theo định lí Pythagore, ta có:
OA2 = OI2 + AI2
Suy ra
Do đó
Ta có: (đơn vị diện tích).
Gọi H là giao điểm của đường thẳng MN với đường tròn (O).
Suy ra OH ⊥ MN và OH = R.
Mà MN // AB nên OH ⊥ AB.
Xét ∆OAB có MN // AB, theo định lí Thalès, ta có
Ta có:
Suy ra (đơn vị diện tích).
Vậy diện tích tam giác OMN bằng (đơn vị diện tích).
Học tốt Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Các bài học để học tốt Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Toán lớp 9 hay khác:
Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Cánh diều hay khác:
Lý thuyết Toán 9 Bài 1: Đường tròn. Vị trí tương đối của hai đường tròn
Lý thuyết Toán 9 Bài 5: Độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình vành khuyên
Tủ sách VIETJACK luyện thi vào 10 cho 2k9 (2024):
Săn shopee giá ưu đãi :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Giải sgk Toán 9 Tập 1 & Tập 2 của chúng tôi được biên soạn bám sát nội dung sgk Toán 9 Cánh diều (NXB Đại học Sư phạm).
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Soạn văn 9 Cánh diều (hay nhất)
- Soạn văn 9 Cánh diều (ngắn nhất)
- Giải sgk Toán 9 - Cánh diều
- Giải Tiếng Anh 9 Global Success
- Giải sgk Tiếng Anh 9 Smart World
- Giải sgk Tiếng Anh 9 Friends plus
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 9 - Cánh diều
- Giải sgk Lịch Sử 9 - Cánh diều
- Giải sgk Địa Lí 9 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục công dân 9 - Cánh diều
- Giải sgk Tin học 9 - Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 9 - Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 9 - Cánh diều
- Giải sgk Âm nhạc 9 - Cánh diều
- Giải sgk Mĩ thuật 9 - Cánh diều