Tiếp tuyến của đường tròn (Lý thuyết Toán lớp 9) | Cánh diều
Với tóm tắt lý thuyết Toán 9 Bài 3: Tiếp tuyến của đường tròn sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 9 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.
Tiếp tuyến của đường tròn (Lý thuyết Toán lớp 9) | Cánh diều
Lý thuyết Tiếp tuyến của đường tròn
1. Nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì đường thẳng đó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
Trong hình vẽ trên, đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) do OH ⊥ a tại H thuộc (O; R).
Ví dụ 1. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, trong đó điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Đường tròn (O) tiếp xúc với đường thẳng AC tại điểm B. Chứng minh rằng OA2 + BC2 = AB2 + OC2.
Hướng dẫn giải
Vì đường thẳng AC tiếp xúc với đường tròn (O) tại điểm B nên OB ⊥ AC tại B.
Tam giác OAB vuông tại B, theo định lí Pythagore, ta có:
OA2 = OB2 + AB2
Suy ra OB2 = OA2 – AB2 (1)
Tam giác OBC vuông tại B, theo định lí Pythagore, ta có:
OC2 = OB2 + BC2
Suy ra OB2 = OC2 – BC2 (2)
Từ (1), (2), ta có OA2 – AB2 = OC2 – BC2.
Vậy OA2 + BC2 = OC2 + AB2.
Định lí: (Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn)
Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.
Ví dụ 2. Cho đường tròn (O) và điểm I ở ngoài đường tròn. Gọi M là giao điểm của đường tròn tâm K đường kính IO và đường tròn (O). Chứng minh đường thẳng IM là tiếp tuyến của (O) tại M.
Hướng dẫn giải
Vì IO, KM lần lượt là đường kính, bán kính của đường tròn (K) nên
Xét tam giác IMO, ta có: đường trung tuyến MK ứng với cạnh IO bằng nửa cạnh ấy, suy ra tam giác IMO vuông tại M.
Do đó IM ⊥ MO tại M, với M ∈ (O).
Vậy đường thẳng IM là tiếp tuyến của (O) tại M.
Nhận xét: Cho điểm I nằm ngoài đường tròn (O). Từ Ví dụ 2, ta có thể vẽ đường thẳng đi qua điểm I và tiếp xúc với đường tròn (O) như sau:
– Vẽ trung điểm K của đoạn thẳng IO;
– Vẽ đường tròn tâm K bán kính KO, cắt đường tròn (O) tại một giao điểm M.
Khi đó đường thẳng IM là một tiếp tuyến cần vẽ.
2. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
Cho đường tròn (O; R). Các đường thẳng c, d lần lượt tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại A, B và cắt nhau tại M (hình vẽ).
Góc AOB được gọi là góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm; góc AMB được gọi là góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
Định lí: (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau của một đường tròn)
Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
⦁ Điểm đó cách đều hai tiếp điểm;
⦁ Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm đường tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến;
⦁ Tia kẻ từ tâm đường tròn đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.
Ví dụ 3. Cho đường tròn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến MA và MB của đường tròn (O), với A, B là tiếp điểm.
a) Chứng minh OM là đường trung trực của AB.
b) Tính MA và MB, biết R = 4 cm và MO = 6 cm.
Hướng dẫn giải
a) Do MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M của đường tròn (O) nên ta có OM là tia phân giác của góc AOB.
Tam giác AOB cân tại O (do OA = OB = R) có OM là đường phân giác nên OM cũng là đường trung trực của tam giác AOB.
b) Do MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M của đường tròn (O) nên MA = MB.
Vì MA là tiếp tuyến của đường tròn (O), với A là tiếp điểm nên OA ⊥ AM tại A.
Tam giác OAM vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:
OM2 = MA2 + OA2
Suy ra MA2 = OM2 – R2 = 62 – 42 = 20.
Do đó (cm).
Vậy cm.
Bài tập Tiếp tuyến của đường tròn
Bài 1. “Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và ... thì đường thẳng đó là một tiếp tuyến của đường tròn.” Cụm từ thích hợp điền vào chỗ trống là
A. song song với bán kính đi qua điểm đó;
B. vuông góc với bán kính đi qua điểm đó;
C. song song với bán kính đường tròn;
D. vuông góc với bán kính bất kì.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng đó là một tiếp tuyến của đường tròn.
Vậy ta chọn phương án B.
Bài 2. Cho hình vẽ
Giá trị của x trong hình vẽ trên là
A.
B. x = –1;
C. x = 3;
D.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có AB, AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O), với B, C là tiếp điểm.
Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta được AB = AC.
Suy ra 7x – 4 = 3x + 8
Nên 4x = 12
Do đó x = 3.
Vậy x = 3 thỏa yêu cầu bài toán.
Bài 3. Cho đường tròn (O), điểm M nằm ngoài (O) sao cho MA, MB là hai tiếp tuyến (A, B là hai tiếp điểm). Biết số đo bằng
A. 70°;
B. 140°;
C. 35°;
D. 110°.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có AM là tiếp tuyến của (O) tại A nên AM ⊥ OA.
Do đó
Vì vậy
Ta có tam giác OAB cân tại O (do OA = OB = R) nên
Tam giác OAB, có: (tổng ba góc của một tam giác)
Suy ra
Ta có MA, MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) nên OM là tia phân giác của (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Do đó
Vậy ta chọn phương án A.
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ hai đường tròn (B; BA) và (C; CA) cắt nhau tại D (khác A). Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).
Hướng dẫn giải
Xét đường tròn (B), có: BD = BA.
Xét đường tròn (C), có: CD = CA.
Xét ∆ABC và ∆DBC, có:
BA = BD;
CA = CD;
Cạnh BC là cạnh chung.
Do đó ∆ABC = ∆DBC (c.c.c).
Suy ra hay CD ⊥ BD tại D, mà D thuộc (B; BA)
Vậy CD là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).
Bài 5. Cho đường tròn (O; R). Từ điểm A nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O), với B, C là tiếp điểm.
a) Chứng minh AO là đường trung trực của đoạn BC.
b) Kẻ đường kính CD của (O). Chứng minh BD // AO.
c) Kẻ OM vuông góc với OB (M thuộc AC). Chứng minh MO = MA.
Hướng dẫn giải
Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O) nên AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra A thuộc đường trung trực của đoạn BC (1)
Lại có OA = OB = R.
Suy ra O thuộc đường trung trực của đoạn BC (2)
Từ (1), (2), ta thu được OA là đường trung trực của đoạn BC.
b) Tam giác BCD có OB = OC = OD = R và O là trung điểm CD (do CD là đường kính của (O)).
Do đó tam giác BCD vuông tại B hay BD ⊥ BC.
Mà AO ⊥ BC (do OA là đường trung trực của đoạn BC)
Vậy AO // BD.
c) Ta có OM ⊥ OB nên (3)
Ta có AB, AC là hai tiếp tuyến của (O) nên AO là tia phân giác của .
Do đó (4)
Ta có tam giác OAB vuông tại B (do AB là tiếp tuyến của (O)).
Suy ra (5)
Từ (3), (4), (5), ta thu được
Do đó tam giác AMO cân tại M.
Vậy MA = MO.
Học tốt Tiếp tuyến của đường tròn
Các bài học để học tốt Tiếp tuyến của đường tròn Toán lớp 9 hay khác:
Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Cánh diều hay khác:
Lý thuyết Toán 9 Bài 1: Đường tròn. Vị trí tương đối của hai đường tròn
Lý thuyết Toán 9 Bài 2: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Lý thuyết Toán 9 Bài 5: Độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình vành khuyên
Tủ sách VIETJACK luyện thi vào 10 cho 2k9 (2024):
Săn shopee giá ưu đãi :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Giải sgk Toán 9 Tập 1 & Tập 2 của chúng tôi được biên soạn bám sát nội dung sgk Toán 9 Cánh diều (NXB Đại học Sư phạm).
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Soạn văn 9 Cánh diều (hay nhất)
- Soạn văn 9 Cánh diều (ngắn nhất)
- Giải sgk Toán 9 - Cánh diều
- Giải Tiếng Anh 9 Global Success
- Giải sgk Tiếng Anh 9 Smart World
- Giải sgk Tiếng Anh 9 Friends plus
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 9 - Cánh diều
- Giải sgk Lịch Sử 9 - Cánh diều
- Giải sgk Địa Lí 9 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục công dân 9 - Cánh diều
- Giải sgk Tin học 9 - Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 9 - Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 9 - Cánh diều
- Giải sgk Âm nhạc 9 - Cánh diều
- Giải sgk Mĩ thuật 9 - Cánh diều