Bất đẳng thức (Lý thuyết Toán lớp 9) | Cánh diều
Với tóm tắt lý thuyết Toán 9 Bài 1: Bất đẳng thức sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 9 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.
Bất đẳng thức (Lý thuyết Toán lớp 9) | Cánh diều
Lý thuyết Bất đẳng thức
1. Nhắc lại về thứ tự trong tập hợp số thực
– Trong hai số thực khác nhau luôn có một số nhỏ hơn số kia.
⦁ Nếu số thực a nhỏ hơn số thực b thì ta viết a < b hay b > a.
⦁ Số thực lớn hơn 0 gọi là số thực dương.
⦁ Số thực nhỏ hơn 0 gọi là số thực âm.
– Chú ý:
⦁ Trên trục số nằm ngang, nếu số thực a nằm bên trái số thực b thì a < b hay b > a.
⦁ Tổng của hai số thực dương là số thực dương. Tổng của hai số thực âm là số thực âm.
⦁ Với hai số thực a, b, ta có:
ab > 0 khi a, b cùng dương hoặc cùng âm (hay a, b cùng dấu) và ngược lại;
ab < 0 khi a, b trái dấu và ngược lại.
⦁ Với mỗi số thực a, ta có a2 ≥ 0. Ngoài ra, a2 = 0 khi a = 0 và ngược lại.
⦁ Với a, b là hai số thực dương, nếu a > b thì và ngược lại.
Ví dụ 1. So sánh:
a) và 2,16.
b) 5 và
Hướng dẫn giải
a) Do nên
b) Ta có
Do 25 > 26 nên hay
2. Bất đẳng thức
2.1. Khái niệm
Ta gọi hệ thức dạng a < b (hay a > b, a ≤ b, a ≥ b) là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức.
Chú ý:
⦁ Hai bất đẳng thức a < b và c < d (hay a > b và c > d) được gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều.
⦁ Hai bất đẳng thức a < b và c > d (hay a > b và c < d) được gọi là hai bất đẳng thức ngược chiều.
Ví dụ 2. Ví dụ hai bất đẳng thức cùng chiều là: và
Ví dụ hai bất đẳng thức ngược chiều là: và
2.2. Tính chất
Với hai số thực a và b, ta có:
⦁ Nếu a > b thì a – b > 0. Ngược lại, nếu a – b > 0 thì a > b.
⦁ Nếu a < b thì a – b < 0. Ngược lại, nếu a – b < 0 thì a < b.
⦁ Nếu a ≥ b thì a – b ≥ 0. Ngược lại, nếu a – b ≥ 0 thì a ≥ b.
⦁ Nếu a ≤ b thì a – b ≤ 0. Ngược lại, nếu a – b ≤ 0 thì a ≤ b.
Nhận xét: Dựa vào các khẳng định nêu trên, để chứng minh a > b, ta có thể chứng minh a – b > 0 hoặc chứng minh b – a < 0.
Ví dụ 3. Cho a < b, hãy so sánh:
a) 3a và 2a + b.
b) 2b + 3a và 4a + b – 1.
Hướng dẫn giải
Do a < b nên a – b < 0 và b – a > 0.
a) Xét hiệu: 3a – (2a + b) = 3a – 2a – b = a – b.
Do a – b < 0 nên 3a – (2a + b) < 0 hay 3a < 2a + b.
b) Xét hiệu: (2b + 3a) – (4a + b – 1) = 2b + 3a – 4a – b + 1 = (b – a) + 1.
Do b – a > 0 và 1 > 0 nên (b – a) + 1 > 0.
Vậy (2b + 3a) – (4a + b – 1) > 0 hay 2b + 3a > 4a + b – 1.
Một số tính chất của bất đẳng thức:
(1) Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức, ta được bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
⦁ Nếu a > b thì a + c > b + c với mọi số thực c.
⦁ Nếu a ≥ b thì a + c ≥ b + c với mọi số thực c.
(2) Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
Với ba số a, b, c mà c > 0, ta có:
⦁ Nếu a > b thì ac > bc;
⦁ Nếu a < b thì ac < bc;
⦁ Nếu a ≥ b thì ac ≥ bc;
⦁ Nếu a ≤ b thì ac ≤ bc.
(3) Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm, ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.
Với ba số a, b, c mà c < 0, ta có:
⦁ Nếu a > b thì ac < bc;
⦁ Nếu a < b thì ac > bc;
⦁ Nếu a ≥ b thì ac ≤ bc;
⦁ Nếu a ≤ b thì ac ≥ bc.
(4) Nếu a > b và b > c thì a > c.
Ví dụ 4. Cho a > b, hãy so sánh:
a) 2a và 2b.
b) –4a và –4b.
c) 4a + 3 và 4b + 3.
d) 1 – 6a và 1 – 6b.
e) 2a + 5 và 2b – 1.
f) 4 – a và 5 – b.
Hướng dẫn giải
a) Do a > b nên 2a > 2b.
b) Do a > b nên –4a < –4b.
c) Do a > b nên 4a > 4b, suy ra 4a + 3 > 4b + 3.
d) Do a > b nên –6a < –6b, suy ra 1 – 6a < 1 – 6b.
e) Do a > b nên 2a > 2b, suy ra 2a + 5 > 2b + 5.
Mà 2b + 5 > 2b + 5 – 6 hay 2b + 5 > 2b – 1.
Vậy 2a + 5 > 2b – 1.
f) Do a > b nên –a < –b, suy ra 4 – a < 4 – b.
Mà 4 – b < 4 – b + 1 hay 4 – b < 5 – b.
Vậy 4 – a < 5 – b.
Ví dụ 5. Cho a < b và c < d. Chứng minh rằng a + c < b + d.
Hướng dẫn giải
Do a < b nên a + c < b + c.
Do c < d nên b + c < b + d.
Vậy a + c < b + d.
Bài tập Bất đẳng thức
Bài 1. Bất đẳng thức n ≤ 3 có thể được phát biểu là
A. n lớn hơn 3.
B. n nhỏ hơn 3.
C. n không nhỏ hơn 3.
D. n không lớn hơn 3.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Bất đẳng thức n ≤ 3 có thể được phát biểu là “n nhỏ hơn hoặc bằng 3” hoặc cũng có thể phát biểu là “n không lớn hơn 3”.
Bài 2. Cho các số thực x, y, z và x < y. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. x + z < y + z.
B. xz < yz nếu z là số âm.
C. xz < yz nếu z là số dương.
D. x – z < y – z.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Nếu x < y và z < 0 thì xz > yz.
Vậy khẳng định ở phương án B là sai.
Bài 3. Cho a > b, hãy so sánh:
a) a – 2 và b – 2.
b) –5a và –5b.
c) 10 – 3a và 10 – 3b.
d) 12a + 1 và 12b – 4.
e) 2 – 9a và 5 – 9b.
Hướng dẫn giải
a) Do a > b nên a – 2 > b – 2.
b) Do a > b nên –5a < –5b.
c) Do a > b nên –3a < –3b, suy ra 10 – 3a < 10 – 3b.
d) Do a > b nên 12a > 12b, suy ra 12a + 1 > 12b + 1.
Mà 12b + 1 > 12b + 1 – 5 hay 12b + 1 > 12b – 4.
Vậy 12a + 1 > 12b – 4.
e) Do a > b nên –9a < –9b, suy ra 2 – 9a < 2 – 9b.
Mà 2 – 9b < 2 – 9b + 3 hay 2 – 9b < 5 – 9b.
Vậy 2 – 9a < 5 – 9b.
Bài 4. Cho x > 0, chứng minh rằng
Hướng dẫn giải
Ta có (x – 1)2 ≥ 0 với mọi x, suy ra x2 + 1 ≥ 2x.
Vì x > 0 nên hay
Vậy
Học tốt Bất đẳng thức
Các bài học để học tốt Bất đẳng thức Toán lớp 9 hay khác:
Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Cánh diều hay khác:
Lý thuyết Toán 9 Bài 1: Căn bậc hai và căn bậc ba của số thực
Lý thuyết Toán 9 Bài 2: Một số phép tính về căn bậc hai của số thực
Lý thuyết Toán 9 Bài 3: Căn thức bậc hai và căn thức bậc ba của biểu thức đại số
Tủ sách VIETJACK luyện thi vào 10 cho 2k9 (2024):
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Giải sgk Toán 9 Tập 1 & Tập 2 của chúng tôi được biên soạn bám sát nội dung sgk Toán 9 Cánh diều (NXB Đại học Sư phạm).
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Soạn Văn 9
- Soạn Văn 9 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 9
- Đề kiểm tra Ngữ Văn 9 (có đáp án)
- Giải bài tập Toán 9
- Giải sách bài tập Toán 9
- Đề kiểm tra Toán 9
- Đề thi vào 10 môn Toán
- Chuyên đề Toán 9
- Giải bài tập Vật lý 9
- Giải sách bài tập Vật Lí 9
- Giải bài tập Hóa học 9
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Hóa học 9 (có đáp án)
- Giải bài tập Sinh học 9
- Giải Vở bài tập Sinh học 9
- Chuyên đề Sinh học 9
- Giải bài tập Địa Lí 9
- Giải bài tập Địa Lí 9 (ngắn nhất)
- Giải sách bài tập Địa Lí 9
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 9
- Giải bài tập Tiếng anh 9
- Giải sách bài tập Tiếng Anh 9
- Giải bài tập Tiếng anh 9 thí điểm
- Giải sách bài tập Tiếng Anh 9 mới
- Giải bài tập Lịch sử 9
- Giải bài tập Lịch sử 9 (ngắn nhất)
- Giải tập bản đồ Lịch sử 9
- Giải Vở bài tập Lịch sử 9
- Giải bài tập GDCD 9
- Giải bài tập GDCD 9 (ngắn nhất)
- Giải sách bài tập GDCD 9
- Giải bài tập Tin học 9
- Giải bài tập Công nghệ 9