Bất phương trình bậc nhất một ẩn (Lý thuyết Toán lớp 9) | Cánh diều

Với tóm tắt lý thuyết Toán 9 Bài 2: Bất phương trình bậc nhất một ẩn sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 9 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.

Bất phương trình bậc nhất một ẩn (Lý thuyết Toán lớp 9) | Cánh diều

Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất một ẩn

1. Mở đầu vế bất phương trình một ẩn

– Khái niệm bất phương trình một ẩn: Một bất phương trình với ẩn x có dạng A(x) > B(x) (hoặc A(x) < B(x), A(x) ≥ B(x), A(x) ≤ B(x)) trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x.

– Khái niệm nghiệm của bất phương trình một ẩn: Khi thay giá trị x = a vào bất phương trình với ẩn x, ta được một khẳng định đúng thì số a (hay giá trị x = a) gọi là nghiệm của bất phương trình đó.

Chú ý: Giải bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm của bất phương trình đó.

Ví dụ 1. Cho các bất phương trình sau, phương trình nào là bất phương trình một ẩn? Nếu có, hãy xét xem x = –1 có là nghiệm của bất phương trình một ẩn đó hay không.

a) x + y > 1.

b) x² – x + 1 ≤ 3.

Hướng dẫn giải

Bất phương trình ở câu a không phải bất phương trình một ẩn vì có chứa ẩn y.

Bất phương trình ở câu b là bất phương trình một ẩn.

Khi thay x = –1 vào bất phương trình x² – x + 1 ≤ 3, ta được:

(–1)² – 1 + 1 ≤ 3 là khẳng định đúng.

Vậy x = –1 là nghiệm của bất phương trình x² – x + 1 ≤ 3.

2. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

2.1. Định nghĩa

Bất phương trình dạng ax + b > 0 (hoặc ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0) với a, b là hai số đã cho và a ≠ 0 được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Ví dụ 2. Cho các bất phương trình sau, phương trình nào là bất phương trình bậc nhất một ẩn x? Nếu có, hãy xét xem x = –1 có là nghiệm của bất phương trình bậc nhất một ẩn x đó hay không.

a) 0x + 3 ≤ 0.

b) –2x + 1 < 0.

c) 3y > 0.

d) 2x² – 1 > 0.

e) $\frac{1}{x}+4\ge 0.$

Hướng dẫn giải

a) Bất phương trình 0x + 3 ≤ 0 không là bất phương trình bậc nhất một ẩn x vì hệ số a = 0.

b) Bất phương trình –2x + 1 < 0 là bất phương trình bậc nhất một ẩn x.

Khi thay x = –1 vào bất phương trình, ta có: –2.(–1) + 1 < 0 là khẳng định không đúng.

Vậy x = –1 không là nghiệm của bất phương trình –2x + 1 < 0.

c) Bất phương trình 3y > 0 không là bất phương trình bậc nhất một ẩn x vì bất phương trình này chỉ chứa ẩn y.

d) Bất phương trình 2x² – 1 > 0 không là bất phương trình bậc nhất một ẩn x vì bất phương trình này chứa x².

e) Bất phương trình $\frac{1}{x}+4\ge 0.$ không là bất phương trình bậc nhất một ẩn x vì bất phương trình này chứa ẩn ở mẫu.

2.2. Cách giải

⦁ Bất phương trình ax + b > 0 (với a > 0) được giải như sau:

ax + b > 0

       ax > –b

          $x>-\frac{b}{a}.$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: $x>-\frac{b}{a}.$

⦁ Bất phương trình ax + b > 0 (với a < 0) được giải như sau:

ax + b > 0

       ax > –b

          $x<-\frac{b}{a}.$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: $x<-\frac{b}{a}.$

Chú ý: Các bất phương trình bậc nhất ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0 với a, b là hai số đã cho và a ≠ 0 được giải bằng cách tương tự.

Ví dụ 3. Giải các bất phương trình sau:

a) 2x + 1 < 0.

b) –2x + 3 ≥ 0.

c) –2(x + 3) + 3 – x > 0.

d) 0,5x – 6(x – 2) ≤ 0.

Hướng dẫn giải

a) 2x + 1 < 0

           2x < –1

            $x<\frac{-1}{2}.$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x<\frac{-1}{2}.$

b) –2x + 3 ≥ 0

           –2x ≥ –3

             $x\le \frac{-3}{-2}$

               $x\le \frac{3}{2}.$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x\le \frac{3}{2}.$

c) –2(x + 3) + 3 – x > 0

    –2x – 6 + 3 – x > 0

    –3x > 3

        x < –1.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x < –1.

d) 0,5x – 6(x – 2) ≤ 0

    0,5x – 6x + 12 ≤ 0

    –5,5x ≤ –12

           $x\ge \frac{-12}{-5,5}$

          $x\ge \frac{24}{11}.$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x\ge \frac{24}{11}.$

Ví dụ 4. Để giải bất phương trình x + 2 < 2 + 3x, ta làm như sau:

x + 2 < 2 + 3x

x + 2 – 3x < 2      ← Cộng cả hai vế với –3x

–2x < 0                ← Cộng cả hai vế với –2

    x > 0                ← Nhân cả hai vế với $-\frac{1}{2}$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x > 0.

Nhận xét: Bằng cách tương tự như trên, ta có thể giải được các bất phương trình dạng: ax + b > cx + d;  ax + b < cx + d;  ax + b ≥ cx + d;  ax + b ≤ cx + d (với a ≠ c).

2.3. Quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân đối với bất phương trình

Đối với bất phương trình, ta có các quy tắc sau:

– Quy tắc chuyển vế: Trong một bất phương trình, ta có thể chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia và đổi dấu số hạng đó.

– Quy tắc nhân với một số (gọi tắt là quy tắc nhân): Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải:

  ⦁ Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương;

  ⦁ Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.

Chú ý: Nhân cả hai vế với $\frac{1}{a}\left(a\ne 0\right)$ cũng có nghĩa là chia cả hai vế cho a. Do đó, quy tắc nhân còn có thể phát biểu như sau:

Khi chia hai vế của bất phương trình cho cùng một số khác 0, ta phải:

⦁ Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương;

⦁ Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.

Ví dụ 5. Giải bất phương trình 4 + x > 5 – 3x.

Hướng dẫn giải

Để giải bất phương trình 4 + x > 5 – 3x, ta làm như sau:

4 + x > 5 – 3x

4 + x + 3x > 5    ← Chuyển số hạng –3x từ vế phải sang vế trái

4x + 4 > 5

4x > 5 – 4           ← Chuyển số hạng 4 từ vế trái sang vế phải

4x > 1

 $x>\frac{1}{4}$                ← Chia cả hai vế cho số 4 là số dương

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x>\frac{1}{4}$

Bài tập Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 1. Trong các bất phương trình sau, đâu nào là bất phương trình bậc nhất một ẩn?

A. 5x + 7 < 0.

B. 0x + 6 > 0.

C. x² – 2x > 0.

D. x – 10 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Bất phương trình dạng ax + b > 0 (hoặc ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0) với a, b là hai số đã cho và a ≠ 0 được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Dựa vào định nghĩa trên, ta có:

⦁ Bất phương trình ở phương án A là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

⦁ Bất phương trình ở phương án B không là bất phương trình bậc nhất một ẩn vì có a = 0.

⦁ Bất phương trình ở phương án C không là bất phương trình bậc nhất một ẩn vì có x².

⦁ Bất phương trình ở phương án D không là bất phương trình vì đây là phương trình bậc nhất một ẩn.

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 2. Giá trị x = 2 là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

A. 7 – x < 2x.

B. 2x + 3 > 9.

C. –4x ≥ x + 5.

D. 5 – x > 6x – 12.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Thay x = 2 vào từng bất phương trình ta có:

⦁ 7 – 2 < 2.2 là khẳng định sai;

⦁ 2.2 + 3 > 9 là khẳng định sai;

⦁ –4.2 ≥ 2 + 5 là khẳng định sai;

⦁ 5 – 2 > 6.2 – 12 là khẳng định đúng.

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 3. Giải các bất phương trình sau:

a) 3x + 2 > 0.

b) –x + 7 ≥ x – 3.

c) –2x + 3(x – 1) ≤ 0.

d) –2(x + 3) + 5(x – 1) < 2x + 3.

Hướng dẫn giải

a) 3x + 2 > 0

          3x > –2

          $x>\frac{-2}{3}.$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x>\frac{-2}{3}.$

b) –x + 7 ≥ x – 3

    –x – x ≥ – 3 – 7

   –2x ≥ –10

       x ≤ 5.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x ≤ 5.

c) –2x + 3(x – 1) ≤ 0

    –2x + 3x – 3 ≤ 0

                x ≤ 3.

 Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x ≤ 3.

d) –2(x + 3) + 5(x – 1) < 2x + 3

    –2x – 6 + 5x – 5 < 2x + 3

                  3x – 11 < 2x + 3

                  3x – 2x < 3 + 11

                            x < 14.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x < 14.

Bài 4. Giải các bất phương trình sau:

a) $\frac{2x-3}{3}\ge \frac{3x-2}{4}.$

b) $\frac{3x+5}{2}-1\le \frac{x+2}{3}+x.$

c) $\frac{x+2}{6}+\frac{x+5}{3}>\frac{x+3}{5}+\frac{x+6}{2}.$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{2x-3}{3}\ge \frac{3x-2}{4}.$

$\frac{4\left(2x-3\right)}{12}\ge \frac{3\left(3x-2\right)}{12}$

4(2x – 3) ≥ 3(3x – 2)

8x – 12 ≥ 9x – 6

8x – 9x ≥ – 6 + 12

        –x ≥ 6

          x ≤ –6.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x ≤ –6.

b) $\frac{3x+5}{2}-1\le \frac{x+2}{3}+x$

$\frac{3\left(3x+5\right)}{6}-\frac{6}{6}\le \frac{2\left(x+2\right)}{6}+\frac{6x}{6}$

3(3x + 5) – 6 ≤ 2(x + 2) + 6x

 9x + 15 – 6 ≤ 2x + 4 + 6x

9x – 2x – 6x ≤ 4 – 15 + 6

                  x ≤ –5.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x ≤ –5.

c) $\frac{x+2}{6}+\frac{x+5}{3}>\frac{x+3}{5}+\frac{x+6}{2}$

$\left(\frac{x+2}{6}+1\right)+\left(\frac{x+5}{3}+1\right)>\left(\frac{x+3}{5}+1\right)+\left(\frac{x+6}{2}+1\right)$

$\frac{x+2+6}{6}+\frac{x+5+3}{3}-\frac{x+3+5}{5}-\frac{x+6+2}{2}>0$

$\frac{x+8}{6}+\frac{x+8}{3}-\frac{x+8}{5}-\frac{x+8}{2}>0$

$\left(x+8\right)\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{2}\right)>0$

$\left(x+8\right)\left(\frac{5}{30}+\frac{10}{30}-\frac{6}{30}-\frac{15}{30}\right)>0$

$\left(x+8\right)\cdot \frac{-6}{30}>0$

x + 8 < 0

x < –8.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x < –8.

Bài 5. Bạn An đi taxi công nghệ đến trường, biết rằng đi taxi công nghệ rẻ bằng nửa giá mỗi km so với đi taxi truyền thống nhưng chịu giá mở cửa xe là 12 000 đồng (giá mở cửa xe là khi bạn đặt xe dù đi hay không tài khoản sẽ tự động trừ tiền). Biết rằng bạn An phải trả số tiền lớn hơn 42 000 đồng và nhỏ hơn 52 000 đồng. Tính số tiền nếu bạn An đi xe taxi truyền thống đến trường, biết nếu đi taxi truyền thống thì số tiền bạn An phải trả là số tròn chục nghìn.

Hướng dẫn giải

Gọi số tiền bạn An phải trả khi đi taxi truyền thống là x (đồng). (x > 0)

Khi đó, số tiền bạn An phải trả khi đi taxi công nghệ là $\frac{x}{2}+12000$ (đồng).

Theo bài, ta có bất phương trình:

$\frac{x}{2}+12000>42000\left(1\right)$ và $\frac{x}{2}+12000<52000\left(2\right)$

Giải bất phương trình (1):

$\frac{x}{2}+12000>42000$

$\frac{x}{2}>30000$

x > 60 000. (*)

Giải bất phương trình (2):

$\frac{x}{2}+12000<52000$

$\frac{x}{2}<40000$

x < 80 000. (**)

Từ (*) và (**) ta có 60 000 < x < 80 000.

Mà khi đi taxi truyền thống thì số tiền bạn An phải trả là số tròn chục nghìn nên ta có x = 70 000.

Vậy số tiền nếu bạn An đi xe taxi truyền thống đến trường là 70 000 đồng.

Học tốt Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Các bài học để học tốt Bất phương trình bậc nhất một ẩn Toán lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Bài 2: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Cánh diều hay khác:

• Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 2

• Lý thuyết Toán 9 Bài 1: Căn bậc hai và căn bậc ba của số thực

• Lý thuyết Toán 9 Bài 2: Một số phép tính về căn bậc hai của số thực

• Lý thuyết Toán 9 Bài 3: Căn thức bậc hai và căn thức bậc ba của biểu thức đại số

• Lý thuyết Toán 9 Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Cánh diều
• Giải SBT Toán 9 Cánh diều
• Giải lớp 9 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 9 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 9 Chân trời sáng tạo (các môn học)

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---