18 Bài tập Hình thoi và hình vuông (có đáp án) - Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 8

Đáp án đúng là: B

Câu A, C, D đúng theo dấu hiệu nhận biết hình thoi.

Câu B sai vì hai đường chéo không cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Đáp án đúng là: D

Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành

+ Các cạnh đối song song và bằng nhau, các góc đối bằng nhau.

+ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Ngoài ra còn có

+ Hai đường chéo vuông góc với nhau.

+ Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.

Đáp án đúng là: D

Vì theo dấu hiệu nhận biết hình thoi

⦁ Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

⦁ Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

⦁ Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

⦁ Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc bằng nhau nhưng bốn cạnh không bằng nhau nên không là hình thoi.

Đáp án đúng là: D

Câu A, B, C là các câu đúng theo dấu hiệu nhận biết hình vuông.

Câu D sai vì hình thoi đã có sẵn hai đường chéo vuông góc, hình thoi cần có hai đường chéo bằng nhau thì mới là hình vuông.

Đáp án đúng là: C

Tứ giác ABCD hình thoi có hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau nhưng chưa thể kết luận được ABCD là hình vuông.

Đáp án đúng là: A

Vì M′ đối xứng M qua D nên DM = DM′ (1)

Ta có: MD // AC

Mặt khác $\Delta ABC$ vuông ở A nên $AB\perp AC$.(2)

Từ (1) và (2) suy ra $DM\perp AB\Rightarrow MM\text{'}\perp AB$.

Vì D là trung điểm của AB (gt) và D là trung điểm của MM′ nên tứ giác AMBM′ là hình bình hành.

Mặt khác $MM\text{'}\perp AB$ nên AMBM′ là hình thoi. (Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.)

Đáp án đúng là: C

Hình bình hành không có tính chất hai đường chéo vuông góc với nhau và cũng không là các đường phân giác của các góc.

Đáp án đúng là: C

Hình vuông vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi.

Đáp án đúng là: A

Gọi O là giao điểm của AC và BD thì $AC\perp BD$ (do O là giao điểm của hai đường chéo của hình thoi)

Áp dụng định nghĩa, tính chất về góc và giả thiết vào hình thoi ABCD, ta được: $\text{AB = AD;}\hat{B}\text{=}\hat{D}\text{; BE = DF}$

Từ đó suy ra $\text{ΔABE = ΔADF}$ (c.g.c).

Suy ra $\widehat{{\text{A}}_1}\text{=}\widehat{{\text{A}}_{\text{4}}}$( hai góc tương ứng).

Mà AC là phân giác của $\widehat{\text{BAD}}\Rightarrow \widehat{{\text{A}}_{\text{2}}}\text{=}\widehat{{\text{A}}_{\text{3}}}$ (1)

Xét tam giác AGH có AO là đường cao, đồng thời là đường phân giác nên tam giác AGH cân tại A.

Suy ra HO = OG (2)

Do ABCD là hình thoi nên AO = OC (tính chất đường chéo của hình thoi) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: AHCG là hình thoi.

Đáp án đúng là: B

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC, BD và AD // CB, AD = BC

Xét tứ giác EDFB có ED // FB, $\text{ED = FB}\left(\text{=}\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{AD =}\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{BC}\right)$

Nên EDFB là hình bình hành.

Suy ra: BE = DF, BE // DF.

Xét $\Delta ABD$ có P là giao điểm hai đường trung tuyến BE, AO nên P là trọng tâm $\text{ΔABD}\Rightarrow \text{EP =}\frac{\text{1}}{\text{3}}\text{BE}$

Xét $\Delta CBD$ có Q là giao điểm hai đường trung tuyến DF, CO nên Q là trọng tâm $\text{ΔCBD}\Rightarrow \text{QF =}\frac{\text{1}}{\text{3}}\text{DF}$

Mà BE = DF (cmt) $\Rightarrow$EP = QF.

Xét tứ giác EPFQ có EP = QF, EP // QF $\Rightarrow$ EPFQ là hình bình hành.

Để hình bình hành EPFQ là hình thoi thì $EF\perp PQ$.

Mà EF // CD (do EFCD là hình bình hành vì DE = CF, DE = CF).

Nên $CD\perp PQ$ hay $\text{CD}\perp \text{AC}\Rightarrow \widehat{\text{ACD}}\text{= 90}°$

Đáp án đúng là: D

Ta có: AH = BE = CF = DG

$\Rightarrow \text{ΔAEH = ΔBFE = ΔCGF = ΔDHG(c.g.c)}$

Do đó: EH = FE = GF = HG (1)

Lại có: $\text{ΔAEH = ΔBFE}\Rightarrow \widehat{\text{BEF}}\text{=}\widehat{\text{AHE}}$

$\Rightarrow \widehat{\text{AEH}}\text{+}\widehat{\text{BEF}}\text{= 90}°$

$\Rightarrow \widehat{\text{FEH}}\text{= 90}°\text{(2)}$

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EFGH là hình vuông.

Đáp án cần chọn là: D

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB //CD, AD // BC và AD = BC, AB = CD.

Vì E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AB = 2AE, CD = 2DF = 2CF.

Do đó AE = DF = CF.

⦁ Tứ giác AECF có AE = CF và AE // CF nên AECF là hình bình hành.

Suy ra AF // CE hay MF // NE.

Chứng minh tương tự ta có ME // NF.

Do đó tứ giác EMFN là hình bình hành.

⦁ Vì AB = 2AE và AB = 2AD nên AD = AE.

Xét tứ giác AEFD có AE = DF và AE // DF nên AEFD là hình bình hành.

Mà $\widehat{A}$ là góc vuông nên AEFD là hình chữ nhật, lại có AD = AE nên AEFD là hình vuông.

Hình vuông AEFD có hai đường chéo AF, DE cắt nhau tại M nên M là trung điểm của AF, DE và AF = DE; AF ⊥ DE.

Suy ra ME = MF và $\widehat{EMF}=90°.$

Chứng minh tương tự ta có BEFC là hình vuông nên NE = NF và $\widehat{ENF}=90°.$

Vì ME = MF và NE = NF nên MN là đường trung trực của EF, do đó MN ⊥ EF.

⦁ Hình bình hành EMFN có MN ⊥ EF nên EMFN là hình thoi

Lại có ME = MF nên EMFN là hình vuông.

Tứ giác AFME có: $\hat{A}\text{=}\widehat{\text{AFM}}\text{=}\widehat{\text{AEM}}\text{= 90}°$ nên AEMF là hình chữ nhật

Để hình chữ nhật AEMF là hình vuông thì AM là phân giác của góc $\widehat{\text{EAF}}$

Mà ta lại có: AC là phân giác $\widehat{\text{DAB}}$ (do ABCD là hình vuông)

Nên suy ra $M\in AC$.

Đáp án đúng là: A

Đáp án đúng là: B

Vì đường chéo của hình vuông là đường phân giác của góc tại đỉnh nên góc tạo bởi đường chéo và một cạnh có số đo bằng $\frac{1}{2}=90°=45°$.

Đáp án đúng là: C

Vì ABCD là hình thoi nên AC là tia phân giác của góc A, do đó $\widehat{BAC}=\frac{1}{2}\widehat{A}=\frac{1}{2}\cdot 120°=60°.$

Vì ABCD là hình thoi nên AB = BC.

Khi đó tam giác ABC là tam giác cân tại B, lại có $\widehat{BAC}=60°$ nên là tam giác đều.

Do đó AB = BC = AC = 4 cm.

a) Đúng.

Tứ giác ABCD có: Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại Q. Mà Q vừa là trung điểm của AC vừa là trung điểm của BD nên tứ giác ABCD là hình bình hành.

Lại có: $AC\perp BD$ tại Q nên hình bình hành ABCD là hình thoi.

b) Đúng.

Vì tứ giác ABCD là hình thoi nên $BC=AB=4\text{\hspace{0.33em}cm.}$ Vậy $BC=4\text{\hspace{0.33em}cm.}$

c) Sai.

Vì ABCD là hình thoi nên AC là tia phân giác của $\widehat{BAD}.$ Do đó, $\widehat{QAD}=\frac{1}{2}\widehat{BAD}=\frac{1}{2}\cdot 130°=65°.$

Tam giác QAD vuông tại Q nên $\widehat{QAD}+\widehat{QDA}=90°.$ Do đó, $\widehat{QDA}=90°-\widehat{QAD}=90°-65°=25°.$

Vậy $\widehat{ADB}=25°.$

d) Đúng.

Vì tứ giác ABCD là hình thoi nên CA là tia phân giác của $\widehat{BCD}.$

Để hình thoi ABCD là hình vuông thì $\widehat{BCD}=90°.$ Khi đó, $\widehat{ACD}=\frac{1}{2}\widehat{BCD}=\frac{1}{2}\cdot 90°=45°.$

Vậy để tứ giác ABCD là hình vuông thì cần thêm điều kiện $\widehat{ACD}=45°.$

Đáp án: 1

Tứ giác ABCD có: $\widehat{A}=\widehat{C},\widehat{B}=\widehat{D}$ nên tứ giác ABCD là hình bình hành.

Mà AB = BC nên hình bình hành ABCD là hình thoi. Do đó, $DA=DC.$

Do đó, số thích hợp để điền vào dấu “…” là 1

Đáp án: 6

Vì tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên $\widehat{ABM}=\widehat{BAN}=\widehat{C}=90°,AB=CD.$

Vì M là trung điểm của BC nên $BM=MC.$

Tam giác ABM và tam giác DCM có: $\widehat{ABM}=\widehat{C}=90°,AB=CD,BM=MC.$

Do đó, $\Delta ABM=\Delta DCM\left(c-g-c\right)$ nên $AM=DM.$

Suy ra, $\Delta ADM$ cân tại M. Do đó, MN là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của $\Delta ADM.$

Do đó, $\widehat{ANM}=90°.$

Tứ giác ANMB có: $\widehat{ABM}=\widehat{BAN}=\widehat{ANM}=90°$ nên tứ giác ANMB là hình chữ nhật (1)

Suy ra: $\widehat{BMN}=90°\left(2\right).$

Vì $AM\perp MD$ nên $\widehat{AMD}=90°.$

Vì MN là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác của $\Delta ADM$ nên $\widehat{AMN}=\frac{1}{2}\widehat{AMD}=\frac{1}{2}\cdot 90°=45°\left(3\right).$

Từ (2), (3) ta có: MA là tia phân giác của $\widehat{BMN}\left(4\right).$

Từ (1), (4) ta có: Tứ giác ANMB là hình vuông. Do đó, $BN=AM=6\text{\hspace{0.33em}cm}.$