15 Bài tập Tính chất ba đường trung trực của tam giác (có đáp án) - Cánh diều Trắc nghiệm Toán 7

Đáp án đúng là: B

∆ABC có I là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh AB và AC.

Suy ra I cũng thuộc đường trung trực của cạnh BC.

Vì giao điểm I của ba đường trung trực cách đều ba đỉnh của ∆ABC.

Nên IA = IB = IC.

Vậy ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: D

Vì ba đường trung trực của ∆ABC cùng đi qua một điểm nên giao điểm O của hai đường trung trực của các cạnh AB, AC cũng thuộc đường trung trực của cạnh BC.

Do đó OM là đường trung trực thứ ba của ∆ABC.

Suy ra OM ⊥ BC.

Nên $\widehat{OMB}=90°$.

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: B

Xét ∆MAB và ∆MAC, có:

AB = AC (do ∆ABC cân tại A),

AM là cạnh chung,

BM = CM (do M là trung điểm BC.

Do đó ∆MAB = ∆MAC (c.c.c).

Suy ra $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ (cặp góc tương ứng).

Mà $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180°$ (hai góc kề bù).

Suy ra $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=180°:2=90°$.

Do đó AM ⊥ BC tại M.

Mà M là trung điểm BC (giả thiết).

Suy ra AM là đường trung trực thứ ba của ∆ABC.

Vì vậy AM cũng đi qua giao điểm E của hai đường trung trực của AB và AC.

Do đó E ∈ AM.

Vậy ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: B

Xét ∆ABM và ∆ACM, có:

AM là cạnh chung,

AB = AC (∆ABC cân tại A),

BM = CM (AM là đường trung tuyến của ∆ABC)

Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.c.c).

Suy ra $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ (cặp góc tương ứng).

Ta có $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180°$ (hai góc kề bù).

Suy ra $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=180°:2=90°$.

Vì vậy AM ⊥ BC.

Mà M là trung điểm BC (AM là đường trung tuyến của ∆ABC).

Do đó AM là đường trung trực của BC của ∆ABC.

Mà đường trung trực của AB cắt AM tại O

Khi đó O là giao điểm hai đường trung trực của tam giác nên cách đều các đỉnh

Suy ra OB = OC = OA = 4 cm.

Vậy ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: B

Vì O là giao điểm các đường trung trực của ∆ABC nên OA = OB = OC.

Do đó ∆OAB cân tại O và ∆OBC cân tại O.

Suy ra $\widehat{OAB}=\widehat{OBA}$ và $\widehat{OBC}=\widehat{OCB}$ (tính chất tam giác cân)

Mà $\widehat{OBA}=\widehat{OBC}$ (vì OB là tia phân giác của $\widehat{ABC}$) (1).

Ta suy ra $\widehat{OAB}=\widehat{OCB}$ (2).

∆ABO có: $\widehat{AOB}+\widehat{OAB}+\widehat{OBA}=180°$ (3).

∆OBC có: $\widehat{BOC}+\widehat{OBC}+\widehat{OCB}=180°$ (4).

Từ (1), (2), (3), (4), ta suy ra $\widehat{AOB}=\widehat{BOC}$.

Do đó đáp án D đúng.

Xét ∆BOA và ∆BOC, có:

OB là cạnh chung.

$\widehat{AOB}=\widehat{BOC}$ (chứng minh trên).

OA = OC (chứng minh trên).

Do đó ∆BOA = ∆BOC (c.g.c)

Vì vậy đáp án A đúng.

Ta có ∆BOA = ∆BOC (chứng minh trên).

Suy ra AB = BC (cặp cạnh tương ứng).

Do đó ∆BAC cân tại B.

Vì vậy đáp án B sai.

Đến đây ta có thể chọn đáp án B.

Ta có BA = BC (chứng minh trên) và OA = OC (chứng minh trên).

Suy ra BO là đường trung trực của đoạn thẳng AC.

Vì vậy B thuộc đường trung trực của cạnh AC.

Do đó đáp án C đúng.

Vậy ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: D

Ta có AB = AC (do ∆ABC cân tại A) và AD = AE (giả thiết).

Suy ra AB – AD = AC – AE.

Do đó BD = CE.

Xét ∆EBC và ∆DCB, có:

BC là cạnh chung.

$\widehat{DBC}=\widehat{ECB}$ (do ∆ABC cân tại A).

BD = CE (chứng minh trên).

Do đó ∆EBC = ∆DCB (c.g.c)

Suy ra $\widehat{B_1}=\widehat{C_1}$ (cặp góc tương ứng).

Suy ra ∆BOC cân tại O.

Do đó đáp án A đúng.

Ta có ∆BOC cân tại O.

Suy ra OB = OC.

Mà AB = AC (chứng minh trên)

Do đó AO là đường trung trực của cạnh BC (1).

Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:

AB = AC (chứng minh trên),

$\widehat{ABM}=\widehat{ACM}$ (do ∆ABC cân tại A),

BM = CM (do M là trung điểm BC)

Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.g.c)

Suy ra $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180°$ (hai góc kề bù)

Do đó $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\frac{180°}{2}=90°$

Suy ra AM ⊥ BC tại trung điểm M của BC

Khi đó AM là đường trung trực của BC (2)

Từ (1), (2), ta suy ra A, O, M thẳng hàng.

Do đó đáp án B đúng.

Ta có O thuộc AM (chứng minh trên).

Mà O là giao điểm của BE và CD.

Suy ra ba đường thẳng AM, BE, CD đồng quy tại điểm O.

Do đó đáp án C đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: D

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.

Vì D thuộc đường trung trực OM của cạnh AB.

Nên D cách đều A và B.

Do đó DB = DA.

Suy ra ∆ABD cân tại D.

Do đó đáp án A đúng.

Chứng minh tương tự, ta được ∆ACE cân tại E và ∆OAB cân tại O.

Do đó đáp án B, C đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: C

Vì D thuộc đường trung trực của cạnh AB.

Nên D cách đều hai đầu mút A và B.

Suy ra DA = DB.

Do đó ∆ABD cân tại D.

Vì vậy $\widehat{ABD}=\widehat{BAD}$ (tính chất tam giác cân)

Vì ∆ABC cân tại A nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.

∆ABC có: $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $2\widehat{ABC}=180°-\widehat{BAC}=180°-50°=130°$.

Do đó $\widehat{ACB}=\widehat{ABC}=130°÷2=65°$.

Vì vậy $\widehat{BAD}=\widehat{ABD}=65°$.

Suy ra $\widehat{BAC}+\widehat{CAD}=65°$.

Do đó $\widehat{CAD}=65°-\widehat{BAC}=65°-50°=15°\ne 20°$.

Vì vậy đáp án A sai.

Ta có $\widehat{MAB}+\widehat{BAD}=180°$ (hai góc kề bù).

Suy ra $\widehat{MAB}=180°-\widehat{BAD}=180°-65°=115°$ (1).

Ta có $\widehat{ACB}+\widehat{ACD}=180°$ (hai góc kề bù).

Suy ra $\widehat{ACD}=180°-\widehat{ACB}=180°-65°=115°$ (2).

Từ (1), (2), ta suy ra $\widehat{MAB}=\widehat{ACD}$.

Xét ∆ABM và ∆CAD, có:

AM = CD (giả thiết).

$\widehat{MAB}=\widehat{ACD}$ (chứng minh trên).

AB = AC (do ∆ABC cân tại A).

Do đó ∆ABM = ∆CAD (c.g.c)

Suy ra BM = AD (cặp cạnh tương ứng).

Mà DB = DA (chứng minh trên).

Do đó BM = DB.

Suy ra ∆BMD cân tại B.

Do đó đáp án C đúng.

∆ACD có: $\widehat{ACD}+\widehat{CAD}+\widehat{ADC}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{ADC}=180°-\widehat{ACD}-\widehat{CAD}=180°-115°-15°=50°\ne 60°$.

Vì vậy ∆BMD không phải là tam giác đều.

Do đó đáp án B và D sai.

Vậy ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: C

Vì điểm D nằm trên đường trung trực của AB nên DA = DB.

Suy ra ∆DAB cân tại D.

Do đó $\widehat{A_1}=\widehat{ABC}$.

Chứng minh tương tự, ta được $\widehat{A_2}=\widehat{ACB}$.

Do đó $\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=\widehat{ABC}+\widehat{ACB}$.

Xét tam giác ABC có: $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Vậy ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: A

Điểm O nằm trên đường trung trực của cạnh AC nên OA = OC.

Suy ra ∆OAC cân tại O.

Do đó $\widehat{A_2}=\widehat{OCA}$.

Vì AO là tia phân giác của $\hat{A}$ nên $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$.

Do đó $\widehat{A_1}=\widehat{OCA}$ ($=\widehat{A_2}$).

Xét ∆ABO và ∆CMO, có:

AO = CO (chứng minh trên),

$\widehat{A_1}=\widehat{OCA}$ (chứng minh trên),

AB = CM (giả thiết).

Do đó ∆ABO = ∆CMO (c.g.c)

Suy ra OB = OM (cặp cạnh tương ứng).

Do đó O nằm trên đường trung trực của cạnh BM.

Vậy ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: D

Ta có AC = BC (do ∆ABC đều) và CP = BN (giả thiết).

Suy ra AC – CP = BC – BN.

Do đó AP = CN.

Xét ∆MAP và ∆PCN, có:

AM = CP (giả thiết).

$\widehat{MAP}=\widehat{PCN}$ (do ∆ABC đều).

AP = CN (chứng minh trên).

Do đó ∆MAP = ∆PCN (c.g.c)

Suy ra MP = PN (cặp cạnh tương ứng) (1).

Chứng minh tương tự, ta được MN = PN (2).

Từ (1), (2), ta suy ra MP = MN = PN.

Do đó ∆MNP đều.

Gọi O là giao điểm của các đường trung trực của ∆ABC

Khi đó OA = OB = OC (tính chất ba đường trung trực của tam giác)

Xét ∆BOA và ∆BOC có:

BA = BC (do ∆ABC đều),

BO là cạnh chung,

OA = OC (chứng minh trên)

Do đó ∆BOA = ∆BOC (c.c.c)

Suy ra $\widehat{ABO}=\widehat{CBO}$ (hai góc tương ứng)

Ta suy ra BO cũng là đường phân giác của ∆ABC.

Do đó $\widehat{OBM}=\widehat{OBN}=60°÷2=30°$.

Chứng minh tương tự, ta được:

$\widehat{OAM}=\widehat{OAP}=30°$ và $\widehat{OCN}=\widehat{OCP}=30°$.

Xét ∆MAO và ∆NBO, có:

OA = OB (chứng minh trên).

$\widehat{OAM}=\widehat{OBN}$(= 30°).

AM = BN (giả thiết).

Do đó ∆MAO = ∆NBO (c.g.c)

Suy ra MO = NO (cặp cạnh tương ứng) (3).

Chứng minh tương tự, ta được NO = PO (4).

Từ (3), (4), ta suy ra OM = ON = OP.

Do đó O là giao điểm của ba đường trung trực của ∆MNP.

Vì vậy giao điểm của ba đường trung trực của ∆MNP là giao điểm của ba đường trung trực của ∆ABC.

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: C

∆AMN có Ox, Oy lần lượt là đường trung trực của các cạnh AM và AN.

Do đó O là giao điểm của ba đường trung trực của ∆AMN.

Suy ra đường trung trực của MN luôn đi qua điểm O cố định khi A di động (vì ba đường trung trực của một tam giác luôn đồng quy tại một điểm).

Vì Ox là đường trung trực của AM nên OA = OM.

Do đó ∆OMA cân tại O.

∆OMA cân tại O có Ox là đường trung trực.

Dễ dàng chứng minh được Ox cũng là tia phân giác của $\widehat{AOM}$

Do đó $\widehat{MOx}=\widehat{xOA}$.

Chứng minh tương tự, ta được $\widehat{AOy}=\widehat{yON}$.

Để O là trung điểm MN thì ba điểm O, M, N thẳng hàng.

Do đó $\widehat{MOx}+\widehat{xOA}+\widehat{AOy}+\widehat{yON}=180°$.

Suy ra $2\left(\widehat{xOA}+\widehat{AOy}\right)=180°$.

Hay $2\widehat{xOy}=180°$

Khi đó $\widehat{xOy}=180°÷2=90°$.

Vì vậy α = 90°.

Vậy ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: C

Gọi D là giao điểm của hai đường trung trực của các cạnh AC, AB.

Suy ra D cách đều các điểm A, B, C.

Do đó DA = DB = DC

Vì vậy ∆ACD cân tại D.

Xét ∆ADE và ∆CDE, có:

DE là cạnh chung.

$\widehat{DEA}=\widehat{DEC}=90°$.

AE = CE (do E là trung điểm AC).

Do đó ∆ADE = ∆CDE (c.g.c)

Suy ra $\widehat{D_3}=\widehat{D_4}$ (cặp góc tương ứng).

Chứng minh tương tự, ta được $\widehat{D_1}=\widehat{D_2}$.

∆DEC vuông tại E: $\widehat{D_4}+\widehat{ECD}=90°$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)

Suy ra $\widehat{D_3}=\widehat{D_4}=90°-\widehat{ACB}$.

Tương tự ta được $\widehat{D_1}=\widehat{D_2}=90°-\widehat{ABC}$.

Khi đó:

$\widehat{D_1}+\widehat{D_2}+\widehat{D_3}+\widehat{D_4}=2\left(90°-\widehat{ABC}\right)+2\left(90°-\widehat{ACB}\right)$

$=2\left(90°-\widehat{ABC}+90°-\widehat{ACB}\right)$

$=2\left(180°-\left(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}\right)\right)$

∆ABC vuông tại A: $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90°$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)

Do đó

$\widehat{D_1}+\widehat{D_2}+\widehat{D_3}+\widehat{D_4}$

= 2.[180° – 90°] = 180°.

Suy ra ba điểm B, D, C thẳng hàng.

Ta có DB = DC (= DA).

Suy ra D là trung điểm của BC.

Vậy ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: D

Vì O thuộc đường trung trực của cạnh AB nên OA = OB.

Suy ra ∆OAB cân tại O.

Do đó $\widehat{OAB}=\widehat{OBA}$ (tính chất tam giác cân)

∆OAB có: $\widehat{OAB}+\widehat{OBA}+\widehat{AOB}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $2\widehat{OAB}=180°-\widehat{AOB}$.

Do đó $\widehat{OBA}=\widehat{OAB}=\frac{180°-\widehat{AOB}}{2}$.

Chứng minh tương tự, ta được $\widehat{OAD}=\widehat{ODA}=\frac{180°-\widehat{AOD}}{2}$.

Do đó $\widehat{OAB}+\widehat{OAD}=\frac{180°-\widehat{AOB}}{2}+\frac{180°-\widehat{AOD}}{2}$

$=\frac{180°}{2}-\frac{\widehat{AOB}}{2}+\frac{180°}{2}-\frac{\widehat{AOD}}{2}$

$=180°-\frac{\widehat{AOB}+\widehat{AOD}}{2}$

$=180°-\frac{180°}{2}$ (do hai góc $\widehat{AOB},\widehat{AOD}$ kề bù).

= 90°.

Suy ra ∆ABD vuông tại A.

Do đó đáp án A đúng.

Chứng minh tương tự như trên, ta được ∆CBD vuông tại C.

Do đó đáp án B đúng.

∆ABD vuông tại A: $\widehat{ADB}+\widehat{ABD}=90°$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)

Suy ra $\widehat{ADB}=90°-\widehat{ABD}$ hay $\widehat{ADO}=90°-\widehat{ABO}$.

Tương tự, ta được $\widehat{ODC}=90°-\widehat{CBO}$.

Do đó $\widehat{ADO}+\widehat{ODC}=90°-\widehat{ABO}+90°-\widehat{CBO}$

$=180°-\left(\widehat{ABO}+\widehat{CBO}\right)=180°-\widehat{ABC}$

= 180° – 70° = 110°.

Suy ra $\widehat{ADC}=110°$.

Do đó đáp án C đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: D

Vì AB là đường trung trực của MD.

Nên AD = AM và BD = BM (tính chất đường trung trực)

Suy ra ∆ADM cân tại A.

Xét DABD và DABM có:

AD = AM (chứng minh trên),

AB là cạnh chung,

BD = BM (chứng minh trên),

Do đó DABD = DABM (c.c.c)

Suy ra $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$ (hai góc tương ứng)

Vì vậy $\widehat{MAD}=\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=2\widehat{A_2}$.

Chứng minh tương tự, ta được $\widehat{A_3}=\widehat{A_4}$ và $\widehat{MAE}=\widehat{A_3}+\widehat{A_4}=2\widehat{A_3}$.

Ta có $\widehat{DAE}=\widehat{MAD}+\widehat{MAE}=2\left(\widehat{A_2}+\widehat{A_3}\right)=2\widehat{BAC}=2.90°=180°$.

Suy ra ba điểm D, A, E thẳng hàng.

Do đó đáp án A đúng.

Vì ba điểm D, A, E thẳng hàng

Nên DE = DA + AE = AM + AM = 2AM.

Suy ra DE ngắn nhất khi và chỉ khi AM ngắn nhất.

Do đó đáp án B đúng.

Vì M thuộc cạnh BC nên AM ngắn nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của A lên cạnh BC (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên).

Do đó đáp án C đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.