13 Bài tập Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp (có đáp án) - Cánh diều Trắc nghiệm Toán 12

Với 13 bài tập trắc nghiệm Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp Toán 12 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ, có đúng sai, trả lời ngắn sách Cánh diều sẽ giúp học sinh lớp 12 ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 12.

13 Bài tập Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp (có đáp án) - Cánh diều Trắc nghiệm Toán 12

TRẮC NGHIỆM ONLINE

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN

I. Nhận biết

Câu 1. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.

A. $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C\left(\alpha \ne -1\right).$

B. $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C.$

C. $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha -1}}{\alpha -1}+C\left(\alpha \ne -1\right)\text{. }$

D. $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha }}{\alpha }+C.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C\left(\alpha \ne -1\right).$

Câu 2. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. $\int f\left(x\right)g\left(x\right)dx=\int f\left(x\right)dx.\int g\left(x\right)dx.$

B. $\int f^{\text{'}}\left(x\right)dx=f\left(x\right)+C.$

C. $\int \sin xdx=-\cos x+C.$

D. $\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Câu 3. Hàm số $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $y=\ln x$ nếu

A. $F^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{\ln x},\forall x\in \left(0;+\infty \right).$

B. $F^{\text{'}}\left(x\right)=\ln x,\forall x\in \left(0;+\infty \right).$

C. $F^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{x},\forall x\in \left(0;+\infty \right).$

D. $F^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{x}\forall x\in \left(-\infty ;0\right).$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Câu 4. Trong các mệnh đề sau, chọn mệnh đề đúng.

A. $\frac{1}{x}+C$ là họ nguyên hàm của hàm số $y=\ln x$ trên $\left(0;+\infty \right).$

B. $3x^2$ là một nguyên hàm của hàm số $y=x^3$ trên $\left(-\infty ;+\infty \right).$

C. $\frac{1}{5}{x}^4$ là một nguyên hàm của hàm số $y=\frac{4}{5}{x}^3.$

D. Hàm số y = 2x là nguyên hàm của hàm số $y=x^2.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\int \frac{4}{5}{x}^{3}dx=\frac{1}{5}{x}^4+C.$

Với C = 0 thì ta có $\frac{1}{5}{x}^4$ là một nguyên hàm của hàm số $y=\frac{4}{5}{x}^3.$

Câu 5. Công thức nguyên hàm nào sau đây là công thức sai?

A. $\int \frac{dx}{x}=\ln x+C.$

B. $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C\left(\alpha \ne -1\right).$

C. $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C\left(0<a\ne 1\right).$

D. $\int \left(n+1\right)x^{n}dx=n^{n+1}+C\left(n\in {\mathbb{Z}}^{+}\right).$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\int \frac{dx}{x}=\ln \left|x\right|+C$ với $x\ne 0.$

II. Thông hiểu

Câu 6. Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=3\cos x-1$ bằng

A. $\int \left(3\cos x-1\right)dx=3\sin x-x+C.$

B. $\int \left(3\cos x-1\right)dx=-3\sin x-x+C.$

C. $\int \left(3\cos x-1\right)dx=3\sin x-1+C.$

D. $\int \left(3\cos x-1\right)dx=-3\sin x+x+C.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\int \left(3\cos x-1\right)dx=3\int \cos xdx-\int 1dx=3\sin x-x+C$

Câu 7. Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^2-3x+\frac{1}{x}$ là

A. $2x-3-\frac{1}{x^2}+C.$

B. $\frac{x^3}{3}-\frac{3}{2}{x}^2+\ln \left|x\right|+C.$

C. $\frac{x^3}{3}+\frac{3}{2}{x}^2+\ln x+C.$

D. $\frac{x^3}{3}-\frac{3}{2}{x}^2+\ln x+C.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\int f\left(x\right)dx=\int \left(x^2-3x+\frac{1}{x}\right)dx$

           $=\int x^{2}dx-\int 3xdx+\int \frac{1}{x}dx$

           $=\frac{x^3}{3}-\frac{3}{2}{x}^2+\ln \left|x\right|+C.$

Câu 8. Hàm số $F\left(x\right)=2\sin x-3\cos x+1$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

A. $f\left(x\right)=2\sin x-3\cos x.$

B. $f\left(x\right)=-2\cos x+3\sin x.$

C. $f\left(x\right)=2\cos x+3\sin x.$

D. $f\left(x\right)=-2\cos x-3\sin x.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $f\left(x\right)=F^{\text{'}}\left(x\right)={\left(2\sin x-3\cos x+1\right)}^{\text{'}}$$=2\cos x+3\sin x$

Vậy $F\left(x\right)=2\sin x-3\cos x+1$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=2\cos x+3\sin x.$

Câu 9. Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=e^{3x}\left(1-3e^{-5x}\right)$

A. $\frac{1}{3}{e}^{3x}+\frac{3}{2}{e}^{-2x}+C.$ 

B. $\frac{1}{3}{e}^{3x}-\frac{3}{2}{e}^{-2x}+C.$

C. $e^{3x}-3e^{-2x}+C.$

D. $e^{3x}+6e^{-2x}+C.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\int f\left(x\right)dx=\int e^{3x}\left(1-3e^{-5x}\right)dx$

          $=\int \left(e^{3x}-3e^{-2x}\right)dx$

         $=\int e^{3x}dx-3\int e^{-2x}dx$

         $=\frac{e^{3x}}{3}+\frac{3}{2}{e}^{-2x}+C$

III. Vận dụng

Câu 10. Biết $\int \sin 3x{e}^{x}dx=F\left(x\right)+C$ và $F\left(0\right)+C=1$. Khi đó C bằng

A. $-\frac{7}{10}.$

B. $\frac{13}{10}.$

C. $-\frac{3}{10}.$

D. $\frac{3}{10}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=\sin 3x\\ dv=e^x\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}du=3\cos 3xdx\\ v=e^x\end{array}\right.$

Ta có: $I=\int \sin 3x.e^{x}dx=\sin 3x.e^x-3\int \cos 3x.e^{x}dx$(1)

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=\cos 3x\\ dv=e^x\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}du=-3\sin 3xdx\\ v=e^x\end{array}\right.$

Ta có: $\int \cos 3x.e^{x}dx=\cos 3x.e^x+3\int \sin 3x.e^{x}dx$(2)

Thay (2) vào (1) ta được:

$I=\int \sin 3x.e^{x}dx=\sin 3x.e^x-3\left(\cos 3x.e^x+3\int \sin 3x.e^{x}dx\right)$

$I=\int \sin 3x.e^{x}dx=\sin 3x.e^x-3\cos 3x.e^x-9I$

$10I=\sin 3x.e^x-3\cos 3x.e^x$

$I=\frac{1}{10}\left(\sin 3x-3\cos 3x\right)e^x+C$

Mà $F\left(0\right)+C=1\iff -\frac{3}{10}+C=1$ hay $C=\frac{13}{10}.$

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI

Câu hỏi. Biết $F\left(x\right)=3x^2+2x-\ln x+C,x\in \left(0;+\infty \right)$ là nguyên hàm của hàm số f(x).

a) $f\left(x\right)=6x+2-\frac{1}{x},x\in \left(0;+\infty \right)$.

b) F(1)=3. Khi đó F(2)=14-ln2.

c) f(1)=1.

d) Bất phương trình $f\left(x\right)+\frac{1}{x}-8<0$ có tập nghiệm là $\left(-\infty ;1\right)$.

Hiển thị đáp án

a) $F^{\text{'}}\left(x\right)=f\left(x\right)$ $=6x+2-\frac{1}{x}$

b) Có $F\left(1\right)={3.1}^2+2.1-\ln 1+C$ $=3\Rightarrow C=-2$

Khi đó $F\left(x\right)=3x^2+2x-\ln x-2$. Khi đó $F\left(2\right)={3.2}^2+2.2-\ln 2-2$ $=14-\ln 2$

c) $f\left(1\right)=6.1+2-\frac{1}{1}=7$.

d) $f\left(x\right)+\frac{1}{x}-8<0$$\iff 6x+2-\frac{1}{x}+\frac{1}{x}-8<0$

$\iff 6x-6<0$$\iff x<1$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $\left(-\infty ;1\right)$.

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;    c) Sai;   d) Đúng.

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=3x^2+\frac{1}{2x+1}$ thỏa mãn F(0) = 0. Đặt $F\left(1\right)=a+\frac{b}{c}\ln 3$ trong đó a, b, c là các số nguyên dương và $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản. Khi đó giá trị biểu thức a + b + c bằng bao nhiêu (kết quả là số nguyên).

Hiển thị đáp án

$F\left(x\right)=\int f\left(x\right)dx=\int \left(3x^2+\frac{1}{2x+1}\right)dx$

$=x^3+\frac{1}{2}\ln \left|2x+1\right|+C$

Có $F\left(0\right)=0\Rightarrow C=0$.

Khi đó $F\left(x\right)=x^3+\frac{1}{2}\ln \left|2x+1\right|$.

Vậy $F\left(1\right)=1^3+\frac{1}{2}\ln \left|2.1+1\right|=1+\frac{1}{2}\ln 3$.

Suy ra $a=1;b=1;c=2\Rightarrow a+b+c=4$.

Trả lời: 4.

Câu 2. Nhằm tri ân người dân địa phương đã luôn tin tưởng, đồng hành với doanh nghiệp. Tập đoàn NXS đã tổ chức ngày hội cảm ơn vào ngày 10/07/2024. Trong chuỗi sự kiện đặc biệt này, tất cả người dân địa phương đều được miễn phí vé vào cổng, thỏa thích tận hưởng các trò chơi, tham quan các công trình kỳ thú, ấn tượng tại 5 công viên chủ đề được đầu tư, xây dựng hoành tráng với hàng trăm tiện ích. Gọi B(t) là hàm số biểu thị số lượng khách tham quan sau t giờ mở cửa. Khi tốc độ thay đổi lượng khách tham quan trong ngày được biểu diễn bằng hàm số $B^{\text{'}}\left(t\right)=4t^3-3t^2+200$, trong đó t tính bằng giờ ($0\le t\le 8$), B'(t) tính bằng khách/giờ. Sau 2 giờ đã có 1200 người có mặt. Hỏi sau 6 giờ lượng khách tham quan là bao nhiêu người?

Hiển thị đáp án

Ta có $B\left(t\right)=\int \left(4t^3-3t^2+200\right)dt$ $=t^4-t^3+200t+C$

Mà $B\left(2\right)=1200$ $\Rightarrow 2^4-2^3+200.2+C$ $=1200\Rightarrow C=792$

Khi đó $B\left(t\right)=t^4-t^3+200t+792$.

Sau 6 giờ lượng khách tham quan là $B\left(6\right)=6^4-6^3+200.6+792=3072$ (khách).

Trả lời: 3072.

TRẮC NGHIỆM ONLINE

Xem thêm bài tập trắc nghiệm Toán lớp 12 Cánh diều có đáp án hay khác:

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 3: Tích phân

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 4: Ứng dụng hình học của tích phân

• Trắc nghiệm tổng hợp Toán 12 Chương 4

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Cánh diều
• Giải SBT Toán 12 Cánh diều
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---