13 Bài tập Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian (có đáp án) - Cánh diều Trắc nghiệm Toán 12

HOT Ra mắt Sách tổng ôn 12 (2k8) toán, văn, anh.... (từ 80k/1 cuốn)

Với 13 bài tập trắc nghiệm Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian Toán 12 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ sách Cánh diều sẽ giúp học sinh lớp 12 ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 12.

13 Bài tập Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian (có đáp án) - Cánh diều Trắc nghiệm Toán 12

TRẮC NGHIỆM ONLINE

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN

I. Nhận biết

Câu 1. Cho hình hộp chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ .

Quảng cáo

13 Bài tập Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 12

Vectơ nào sau đây cùng phương với $\vec{B C}$ ?

A. $\vec{D C} .$

B. $\vec{D A} .$

C. $\vec{B B^{'}} .$

D. $\vec{C^{'} C} .$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Vectơ cùng phương với $\vec{B C}$ là $\vec{D A} .$

Câu 2. Cho hình chóp $S . A B C$ . Tổng của hai vectơ $\vec{S A}$ và $\vec{A B}$ là

A. $\vec{B S} .$

B. $\vec{B A} .$

C. $\vec{S B} .$

D. $\vec{S C} .$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

13 Bài tập Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 12

Ta có: $\vec{S A} + \vec{A B} = \vec{S B}$

Quảng cáo

Câu 3. Cho khối lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Khi đó, góc giữa vectơ $\vec{A B}$ và vectơ $\vec{A D}$ là

A. $90 ° .$

B. $60 ° .$

C. $45 ° .$

D. $30 ° .$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

13 Bài tập Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 12

Ta có: $(\vec{A B}, \vec{A D}) = \hat{B A D} = 90 ° .$

Câu 4. Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $(\vec{A B}, \vec{A^{'} D^{'}}) = 90 ° .$

B. $(\vec{A B}, \vec{A^{'} C^{'}}) = 45 ° .$

C. $(\vec{A C}, \vec{B^{'} D^{'}}) = 90 ° .$

D. $(\vec{A^{'} A}, \vec{C B^{'}}) = 45 ° .$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

13 Bài tập Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 12

Ta có: $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ là hình lập phương.

Do đó, $(\vec{A B}, \vec{A^{'} D^{'}}) = (\vec{A B}, \vec{A D}) = \hat{D A B} = 90 °;$

$(\vec{A B}, \vec{A^{'} C^{'}}) = (\vec{A B}, \vec{A C}) = \hat{B A C} = 45 °$

$(\vec{A C}, \vec{B^{'} D^{'}}) = (\vec{A C}, \vec{B D}) = 90 °;$

$(\vec{A^{'} A}, \vec{C B^{'}}) = (\vec{C^{'} C}, \vec{C B^{'}}) = 180 ° - \hat{C^{'} C B^{'}} = 135 ° .$

Câu 5. Cho $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là hai vectơ khác vectơ $\vec{0}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Quảng cáo

A. $\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . \cos (\vec{a}, \vec{b}) .$

B. $\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . \sin (\vec{a}, \vec{b}) .$

C. $\vec{a} . \vec{b} = - |\vec{a}| . |\vec{b}| . \cos (\vec{a}, \vec{b}) .$

D. $\vec{a} . \vec{b} = 0.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có công thức tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khác vectơ $\vec{0}$ là: $\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . \cos (\vec{a}, \vec{b}) .$

II. Thông hiểu

Câu 6. Cho hình lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ . Gọi M là trung điểm của cạnh $B B^{'}$ . Đặt $\vec{C A} = \vec{a}, \vec{C B} = \vec{b}$ , $\vec{A A^{'}} = \vec{c}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\vec{A M} = \vec{a} + \vec{c} - \frac{1}{2} \vec{b} .$

B. $\vec{A M} = \vec{b} + \vec{c} - \frac{1}{2} \vec{a} .$

C. $\vec{A M} = \vec{b} - \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{c} .$

D. $\vec{A M} = \vec{a} - \vec{c} + \frac{1}{2} \vec{b} .$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

13 Bài tập Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 12

Ta có: $\vec{A M} = \vec{A B} + \vec{B M} = \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{B B^{'}} =$ $\vec{A C} + \vec{C B} + \frac{1}{2} \vec{A A^{'}} = - \vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c} .$

Câu 7. Cho tứ diện ABCD. Lấy G là trọng tâm tam giác BCD. Phát biểu nào sau đây là sai?

A. $\vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0} .$

B. $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0} .$

C. $\vec{C B} + \vec{C D} = 3 \vec{C G} .$

D. $\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D} = 3 \vec{A G} .$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: G là trọng tâm tam giác BCD nên $\vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$ , suy ra đáp án A đúng.

$\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{G A} + \vec{0} = \vec{G A}$ , suy ra đáp án B sai.

$\vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{G B} + \vec{G D} = \vec{C G} \Leftrightarrow$ $\vec{G C} + \vec{C B} + \vec{G C} + \vec{C D} = \vec{C G} \Leftrightarrow \vec{C B} + \vec{C D} = 3 \vec{C G} .$

Suy ra đáp án C đúng.

$\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D} = \vec{A G} + \vec{G B} + \vec{A G} + \vec{G C} + \vec{A G} + \vec{G D} = 3 \vec{A G} + \vec{0} = 3 \vec{A G .}$

Do đó, đáp án D đúng.

Vậy chọn B.

Quảng cáo

Câu 8. Cho hình lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây:

A. $\vec{B^{'} C} = \vec{A A^{'}} + \vec{A B} - \vec{A C} .$

B. $\vec{B^{'} C} = - \vec{A A^{'}} + \vec{A B} - \vec{A C} .$

C. $\vec{B^{'} C} = \vec{A A^{'}} + \vec{A B} + \vec{A C} .$

D. $\vec{B^{'} C} = - \vec{A A^{'}} - \vec{A B} + \vec{A C} .$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

13 Bài tập Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 12

Ta có: $\vec{B^{'} C} = \vec{B' B} + \vec{B C} = \vec{A^{'} A} + \vec{B A} + \vec{A C} = - \vec{A A^{'}} - \vec{A B} + \vec{A C} .$

Câu 9. Cho $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ $\vec{0}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| .$

B. $\vec{a} . \vec{b} = 0.$

C. $\vec{a} . \vec{b} = - 1.$

D. $\vec{a} . \vec{b} = - |\vec{a}| . |\vec{b}| .$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Do $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ $\vec{0}$ nên $(\vec{a}, \vec{b}) = 0 °$

Suy ra $\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| \cos (\vec{a}, \vec{b}) =$ $|\vec{a}| . |\vec{b}| \cos 0 ° = |\vec{a}| . |\vec{b}| .$

III. Vận dụng

Câu 10. Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng m = 5 kg được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích $S A, S B, S C, S D$ sao cho $S . A B C D$ là hình chóp tứ giác đều có $\hat{A S C} = 60 °$ . Biết $\vec{P} = m . \vec{g}$ trong đó $\vec{g}$ là vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn 10m/s², $\vec{P}$ là trọng lượng của vật có đơn vị kg.

Khi đó:

a) $\vec{S A}, \vec{S B}, \vec{S C}, \vec{S D}$ là 4 vectơ đồng phẳng.

b) $|\vec{S A}| = |\vec{S B}| = |\vec{S C}| = |\vec{S D}| .$

c) Độ lớn của trọng lực $\vec{P}$ tác động lên chiếc đèn chùm bằng $50 N$

d) Độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích bằng $\frac{25 \sqrt{3}}{2} N$

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

a) Đúng.

b) Đúng. Do $S . A B C D$ là chóp tứ giác đều nên $|\vec{S A}| = |\vec{S B}| = |\vec{S C}| = |\vec{S D}| .$

c) Đúng. Độ lớn của trọng lực $\vec{P}$ tác động lên chiếc đèn chùm là: $P = m g = 5.10 = 50 N .$

d) Sai. Ta có là hình chóp tứ giác đều ⇒ $S A = S B = S C = S D$ và $\hat{A S C} = 60 °$ nên tam giác $S A C$ đều.

Gọi O là trung điểm AC

Để đèn chùm đứng yên thì hợp lực của các sợi xích phải cân bằng với mọi lực hay $4 \vec{S O} = \vec{P}$ hay $4 S O = P$ ⇔ $S O = 12,5$

Xét tam giác đều $S A C$ có $S A = \frac{\sqrt{3}}{2} S O = \frac{25 \sqrt{3}}{4} .$

Vậy độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích là $\frac{25 \sqrt{3}}{4} N$

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI

Câu hỏi. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh AB = a, AD = 2a, cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Khi đó:

a) Hai vectơ $\vec{A B}, \vec{C D}$ là hai vectơ cùng phương, cùng hướng.

b) Góc giữa hai vectơ $\vec{S C}$ và $\vec{A C}$ bằng 60°.

c) Tích vô hướng $\vec{A M} . \vec{A B} = \frac{a^{2}}{2}$ .

d) Độ dài của vectơ $\vec{A M} - \vec{A N}$ là $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Hiển thị đáp án

13 Bài tập Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 12

a) Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD nên hai vectơ $\vec{A B}, \vec{C D}$ là hai vectơ cùng phương, ngược hướng.

b) Ta có ABCD là hình chữ nhật nên $A C = \sqrt{A B^{2} + A D^{2}} = a \sqrt{5}$ .

Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAC là tam giác vuông tại A.

Suy ra $\tan \hat{S C A} = \frac{S A}{A C} = \frac{2 a}{a \sqrt{5}}$ $\Rightarrow \hat{S C A} \approx 41 ° 48'$ .

Ta có $(\vec{S C}, \vec{A C}) = (\vec{C S}, \vec{C A})$ $= \hat{S C A} \approx 41 ° 48'$ .

c) Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAB là tam giác vuông tại A.

Suy ra $S B = \sqrt{S A^{2} + A B^{2}} = a \sqrt{5}$ .

Trong tam giác SAB vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên $A M = \frac{1}{2} S B = \frac{a \sqrt{5}}{2}$ .

Lại có M là trung điểm của SB nên $M B = \frac{1}{2} S B = \frac{a \sqrt{5}}{2}$ .

Ta có $(\vec{A M}, \vec{A B}) = \hat{M A B}$ .

Xét $∆$ MAB có $\cos \hat{M A B} = \frac{M A^{2} + A B^{2} - M B^{2}}{2 M A . A B}$ $= \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

Khi đó $\vec{A M} . \vec{A B} =$ $|\vec{A M}| . |\vec{A B}| . \cos (\vec{A M}, \vec{A B})$ $= \frac{a \sqrt{5}}{2} . a . \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{a^{2}}{2}$ .

d) Ta có M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD nên MN là đường trung bình của DSBD.

Do đó $M N = \frac{1}{2} B D$ $= \frac{1}{2} \sqrt{A B^{2} + A D^{2}} = \frac{a \sqrt{5}}{2}$ .

Suy ra $|\vec{A M} - \vec{A N}| =$ $|\vec{M N}| = \frac{a \sqrt{5}}{2}$ .

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1. Trọng lực $\vec{P}$ là lực hấp dẫn do Trái Đất tác dụng lên một vật, được tính theo công thức $\vec{P} = m \vec{g}$ , trong đó m là khối lượng của vật (đơn vị là kg), còn $\vec{g}$ là vectơ gia tốc rơi tự do có hướng đi xuống và có độ lớn g = 9,8 m/s². Xác định độ lớn của trọng lực (đơn vị: N) tác dụng lên quả bưởi có khối lượng 2,5 kg.

Hiển thị đáp án

Ta có $|\vec{P}| = m |\vec{g}| =$ $2, 5.9, 8 = 24, 5$ (N).

Trả lời: 24,5.

Câu 2. Có ba lực cùng tác động vào một vật. Trong đó, có hai lực hợp với nhau một góc 60° và có độ lớn đều bằng $4 \sqrt{3}$ N. Lực còn lại có phương vuông góc với mặt phẳng tạo bởi hai lực đã cho và có độ lớn bằng 5 N. Tính độ lớn lực tổng hợp đã tác dụng vào vật.

Hiển thị đáp án

Gọi $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ là hai lực hợp với nhau một góc 60° và $|\vec{F_{1}}| = |\vec{F_{2}}| = 4 \sqrt{3}$ .

Gọi $\vec{F_{3}}$ là lực có phương vuông góc với mặt phẳng tọa bởi hai lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ và $|\vec{F_{3}}| = 5$ .

Độ lớn của lực tổng hợp là

$|\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}}|$ $= \sqrt{{(\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}})}^{2}} =$ $\sqrt{{\vec{F_{1}}}^{2} + {\vec{F_{2}}}^{2} + {\vec{F_{3}}}^{2} + 2 \vec{F_{1}} . \vec{F_{2}} + 2 \vec{F_{1}} . \vec{F_{3}} + 2 \vec{F_{3}} . \vec{F_{2}}}$

$= \sqrt{2. {(4 \sqrt{3})}^{2} + 5^{2} + 2.4 \sqrt{3} .4 \sqrt{3} . \cos 60 °} = 13$ .

Trả lời: 13.

TRẮC NGHIỆM ONLINE

Xem thêm bài tập trắc nghiệm Toán lớp 12 Cánh diều có đáp án hay khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

HOT 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT, ĐGNL các trường ĐH fle word có đáp án (2025).

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2025 cho 2k7:

TÀI LIỆU FILE WORD DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

+ Bộ giáo án, đề thi tốt nghiệp THPT, DGNL các trường các trường có lời giải chi tiết 2025 tại https://tailieugiaovien.com.vn/

+ Hỗ trợ zalo: VietJack Official

+ Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

500+ đề thi thử tốt nghiệp THPT Quốc gia form 2025

( 128 tài liệu )

100+ đề thi ĐGNL ĐHQG Hà Nội, Tp.Hồ Chí Minh...

( 84 tài liệu )

Đề thi giữa kì, cuối kì 12

( 143 tài liệu )

Bài giảng Powerpoint Văn, Sử, Địa 12....

( 31 tài liệu )

Chuyên đề dạy thêm Toán, Lí, Hóa ...12

( 104 tài liệu )

Đề thi HSG 12

( 4 tài liệu )

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.