13 Bài tập Phương trình mặt cầu (có đáp án) - Cánh diều Trắc nghiệm Toán 12

HOT Ra mắt Sách tổng ôn 12 (2k8) toán, văn, anh.... (từ 80k/1 cuốn)

Với 13 bài tập trắc nghiệm Phương trình mặt cầu Toán 12 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ, có đúng sai, trả lời ngắn sách Cánh diều sẽ giúp học sinh lớp 12 ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 12.

13 Bài tập Phương trình mặt cầu (có đáp án) - Cánh diều Trắc nghiệm Toán 12

TRẮC NGHIỆM ONLINE

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN

I. Nhận biết

Câu 1. Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm $I (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ bán kính R có phương trình là:

Quảng cáo

A. ${(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} + {(z - z_{0})}^{2} = R^{2} .$

B. $(x - x_{0}) + (y - y_{0}) + (z - z_{0}) = R .$

C. $(x - x_{0}) + (y - y_{0}) + (z - z_{0}) = R^{2} .$

D. ${(x - x_{0})}^{2} - {(y - y_{0})}^{2} - {(z - z_{0})}^{2} = R^{2} .$

Hiển thị đáp án

Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu

A. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x = 0.$

B. $x^{2} + y^{2} - z^{2} + 2 x - y + 1 = 0.$

C. $2 x^{2} + y^{2} = {(x + y)}^{2} - z^{2} + 2 x + 1.$

D. ${(x + y)}^{2} = 2 x y - z^{2} - 1.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Phương trình mặt cầu có dạng

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0$ với $d = a^{2} + b^{2} + c^{2} - R^{2} .$

Xét các đáp án, chỉ có đáp án A thỏa mãn, đồng thời ta có thể viết lại như sau:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x = 0$ hay ${(x - 1)}^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ .

Quảng cáo

Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình (S): ${(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 3)}^{2} = 16$ có tâm là

A. $I (1; 0; 3) .$

B. $I (- 1; 0; - 3) .$

C. $I (1; 0; - 3) .$

D. $I (1; 2; - 3) .$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 3)}^{2} = 16$

$\Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z - (- 3))}^{2} = 4^{2}$

Do đó, tâm mặt cầu là $I (1; 0; - 3) .$

Câu 4. Cho điểm M nằm ngoài mặt cầu $S (O; R)$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $O M < R .$

B. $O M = R .$

C. $O M > R .$

D. $O M \leq R .$

Hiển thị đáp án

Câu 5. Điều kiện đề phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0$ là phương trình mặt cầu là

Quảng cáo

A. $a + b + c - d > 0.$

B. $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d > 0.$

C. $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0.$

D. $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d \geq 0.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Phương trình mặt cầu có dạng

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0$ với $d = a^{2} + b^{2} + c^{2} - R^{2} .$

Để xác định một mặt cầu khi và chỉ khi $R^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0.$

II. Thông hiểu

Câu 6. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x - 2 y + 2 z - 3 = 0$ và một điểm $M (4; 2; - 2)$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Điểm M là tâm của mặt cầu (S).

B. Điểm M nằm trên mặt cầu (S).

C. Điểm M nằm trong mặt cầu (S).

D. Điểm M nằm ngoài mặt cầu (S).

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x - 2 y + 2 z - 3 = 0$

${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 9$

Do đó, tâm của mặt cầu là $I (2; 1; - 1)$

Thay $M (4; 2; - 2)$ vào phương trình mặt cầu, ta được

${(4 - 2)}^{2} + {(2 - 1)}^{2} + {(- 2 + 1)}^{2} = 6 < 9$

Do đó điểm M nằm trong mặt cầu.

Câu 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 10 y + 3 z + 1 = 0$ đi qua điểm có tọa độ nào sau đây

A. $(3; - 2; - 4) .$

B. $(4; - 1; 0) .$

C. $(2; 1; 9) .$

D. $(- 1; 3; - 1) .$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta thay tọa độ các điểm ở từng đáp án vào phương trình mặt cầu (S).

Với $A (3; - 2; - 4)$ , có: $3^{2} + {(- 2)}^{2} + {(- 4)}^{2} - 2.3 + 10. (- 2) + 3. (- 4) + 1 = - 8 \neq 0$

Do đó mặt cầu (S) không đi qua điểm có tọa độ $(3; - 2; - 4)$

Với $B (4; - 1; 0)$ , có: $4^{2} + {(- 1)}^{2} + 0^{2} - 2.4 + 10. (- 1) + 3.0 + 1 = 0$

Do đó, mặt cầu (S) đi qua điểm có tọa độ $(4; - 1; 0)$

Với $C (2; 1; 9)$ , có: $2^{2} + 1^{2} + 9^{2} - 2.2 + 10.1 + 3.9 + 1 = 120 \neq 0.$

Do đó, mặt cầu (S) không đi qua điểm có tọa độ $(2; 1; 9)$

Với điểm $D (- 1; 3; - 1)$ , có: ${(- 1)}^{2} + 3^{2} + {(- 1)}^{2} - 2. (- 1) + 10.3 + 3. (- 1) + 1 = 41 \neq 0$

Do đó, mặt cầu (S) không đi qua điểm có tọa độ $(- 1; 3; - 1)$

Quảng cáo

Câu 8. Phương trình mặt cầu tâm $I (1; - 2; 3)$ bán kính R = 3 là

A. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 3.$

B. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 9.$

C. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 9.$

D. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 3.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Phương trình mặt cầu tâm $I (1; - 2; 3)$ bán kính R = 3 là

${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 3^{2}$ hay ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 9.$

Câu 9. Xác định tâm và bán kính mặt cầu $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 8 x - 6 y + 2 z - 10 = 0$ ta được

A. Tâm $I (- 4; 3; - 1)$ và bán kính R = 6

B. Tâm $I (- 4; 3; - 1)$ và bán kính R = 36

C. Tâm $I (- 4; 3; - 1)$ và bán kính R = 6

D. Tâm $I (- 4; 3; - 1)$ và bán kính R = 36

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 8 x - 6 y + 2 z - 10 = 0$

$\Leftrightarrow {(x + 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 36$

$\Leftrightarrow {(x + 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 6^{2} .$

Vậy ta được Tâm $I (- 4; 3; - 1)$ và bán kính R = 6

III. Vận dụng

Câu 10. Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) đi qua điểm O và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C khác O thỏa mãn tam giác ABC có trọng tâm là điểm $G (- 6; - 12; 18)$ . Tọa độ tâm của mặt cầu (S) là

A. $(9; 18; - 27) .$

B. $(- 3; - 6; 9) .$

C. $(3; 6; - 9) .$

D. $(- 9; - 18; 27) .$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

Gọi $A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c)$

Tam giác ABC có trọng tâm $G (- 6; - 12; 18)$ nên ta có:

$\{\begin{cases} \frac{a + 0 + 0}{3} = - 6 \\ \frac{0 + b + 0}{3} = - 12 \\ \frac{0 + 0 + c}{3} = 18 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 18 \\ b = - 36 \\ c = 54 \end{cases}$

Suy ra $A (- 18; 0; 0), B (0; - 36; 0), C (0; 0; 54)$

Gọi $I (x; y; z)$ , ta có: $\{\begin{cases} I O = I A \\ I A = I B \\ I B = I C \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} I O^{2} = I A^{2} \\ I A^{2} = I B^{2} \\ I B^{2} = I C^{2} \end{cases}$ .

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} = {(x + 18)}^{2} + y^{2} + z^{2} \\ {(x + 18)}^{2} + y^{2} + z^{2} = x^{2} + {(y + 36)}^{2} + z^{2} \\ x^{2} + {(y + 36)}^{2} + z^{2} = x^{2} + y^{2} + {(z - 54)}^{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 36 x + 324 = 0 \\ 36 x + 324 - 72 y - 1296 = 0 \\ 72 y + 1296 + 108 z - 2916 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 9 \\ y = - 18 \\ z = 27 \end{cases}$

Vậy tâm của mặt cầu là $I (- 9; - 18; 27) .$

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI

Câu hỏi. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 0; 2) và mặt cầu $(S) : x^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 8$ . Khi đó:

a) Điểm M(2; 0; 2) thuộc mặt cầu (S).

b) Bán kính mặt cầu (S) là $R = 2 \sqrt{2}$

c) Tọa độ tâm mặt cầu (S) là I(0; −2; 2).

d) Hình chiếu của tâm mặt cầu lên trục Ox là điểm có tọa độ (0; 0; 2).

Hiển thị đáp án

a) Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt cầu (S) ta được $2^{2} + 2^{2} + 0^{2} = 8$ (đúng).

Vậy M ∈ (S).

b) Bán kính của mặt cầu (S) là $R = 2 \sqrt{2}$

c) Tọa độ tâm mặt cầu (S) là I(0; −2; 2).

d) Hình chiếu của tâm mặt cầu lên trục Ox là điểm có tọa độ (0; 0; 0).

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1. Một quả bóng hình cầu có bán kính 2 m được treo lơ lửng trên một mặt phẳng. Tâm quả bóng cách mặt đất 10 m. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc tọa độ O là hình chiếu của tâm quả cầu trên mặt đất, tia Oz chứa tâm quả cầu, các trục Ox, Oy thuộc mặt đất. Khi đó, phương trình mặt cầu bề mặt của quả bóng là $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 a x + 2 b y + 2 c z + d = 0$ . Tính giá trị của a+b+c+d.

Hiển thị đáp án

Theo đề ta có I(0; 0; 10) và R = 2.

Phương trình mặt cầu bề mặt của quả bóng có phương trình là $x^{2} + y^{2} + {(z - 10)}^{2} = 4$ $\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 20 z + 96 = 0$ .

Suy ra $a = 0; b = 0; c = - 10; d = 96$

Do đó $a + b + c + d = 86$

Trả lời: 86.

Câu 2. Cho 3 điểm M(2; 3; 3), N(2; −1; −1), P(−2; −1; 3) và mặt phẳng $(α) : 2 x + 3 y - z + 2 = 0$ . Phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm M, N, P và có tâm thuộc mặt phẳng (α) có bán kính bằng bao nhiêu?

Hiển thị đáp án

Giả sử I(a;b;c) là tâm của mặt cầu.

Khi đó

13 Bài tập Phương trình mặt cầu (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 12

$R = I M = \sqrt{0^{2} + 4^{2} + 0^{2}} = 4$

Trả lời: 4.

TRẮC NGHIỆM ONLINE

Xem thêm bài tập trắc nghiệm Toán lớp 12 Cánh diều có đáp án hay khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

HOT 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT, ĐGNL các trường ĐH fle word có đáp án (2025).

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2026 cho 2k8:

TÀI LIỆU FILE WORD DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

+ Bộ giáo án, đề thi tốt nghiệp THPT, DGNL các trường các trường có lời giải chi tiết 2025 tại https://tailieugiaovien.com.vn/

+ Hỗ trợ zalo: VietJack Official

+ Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

500+ đề thi thử tốt nghiệp THPT Quốc gia form 2025

( 128 tài liệu )

100+ đề thi ĐGNL ĐHQG Hà Nội, Tp.Hồ Chí Minh...

( 84 tài liệu )

Đề thi giữa kì, cuối kì 12

( 143 tài liệu )

Bài giảng Powerpoint Văn, Sử, Địa 12....

( 31 tài liệu )

Chuyên đề dạy thêm Toán, Lí, Hóa ...12

( 104 tài liệu )

Đề thi HSG 12

( 4 tài liệu )

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.