13 Bài tập Phương trình đường thẳng (có đáp án) - Cánh diều Trắc nghiệm Toán 12

Với 13 bài tập trắc nghiệm Phương trình đường thẳng Toán 12 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ, có đúng sai, trả lời ngắn sách Cánh diều sẽ giúp học sinh lớp 12 ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 12.

13 Bài tập Phương trình đường thẳng (có đáp án) - Cánh diều Trắc nghiệm Toán 12

TRẮC NGHIỆM ONLINE

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN

I. Nhận biết

Câu 1. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-2}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{1}$. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là

A. $\overrightarrow{u}=\left(-1;2;1\right).$

B. $\overrightarrow{u}=\left(2;1;0\right).$

C. $\overrightarrow{u}=\left(2;1;1\right).$

D. $\overrightarrow{u}=\left(-1;2;0\right).$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Trong hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm $A\left(x_0;y_0;z_0\right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(a;b;c\right)$ với a, b, c đều là các số khác 0, ta có phương trình chính tắc của đường thẳng $d:\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}.$

Do đó, đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(-1;2;1\right).$

Câu 2. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left(5;-3;6\right); B\left(5;-1;-5\right)$. Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

A. $\overrightarrow{u}=\left(5;-2;-1\right).$

B. $\overrightarrow{u}=\left(10;-4;1\right).$

C. $\overrightarrow{u}=\left(0;2;-11\right).$

D. $\overrightarrow{u}=\left(0;2;11\right).$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=\left(0;2;-11\right).$

Câu 3. Cho đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-3+t\\ z=4+5t\end{array}\right.$. Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng d?

A. $M\left(4;1;3\right).$

B. $N\left(2;1;5\right).$

C. $P\left(3;-2;-1\right).$

D. $Q\left(1;-3;4\right).$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có phương trình tham số của đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct\end{array}\right.$, trong đó điểm $A\left(x_0;y_0;z_0\right)$ là điểm thuộc đường thẳng và $\overrightarrow{u}=\left(a;b;c\right)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Vậy điểm $Q\left(1;-3;4\right)$ thuộc đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-3+t\\ z=4+5t\end{array}\right.$

Câu 4. Trong hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng nào dưới đây đi qua điểm $A\left(3;-3;2\right)$?

A. $\frac{x-3}{1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z+2}{2}.$

B. $\frac{x+3}{3}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+2}{-2}.$

C. $\frac{x-3}{-1}=\frac{y+3}{-3}=\frac{z-2}{2}.$

D. $\frac{x+1}{3}=\frac{y-3}{-3}=\frac{z+5}{2}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Thay tọa độ điểm A vào các đáp án, ta được đường thẳng $\frac{x-3}{-1}=\frac{y+3}{-3}=\frac{z-2}{2}$ đi qua điểm $A\left(3;-3;2\right)$.

Câu 5. Trong hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A\left(1;2;3\right)$ và $B\left(5;4;-1\right)$ là

A. $\frac{x-5}{2}=\frac{y-4}{1}=\frac{z+1}{2}.$

B. $\frac{x+1}{4}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+3}{4}.$

C. $\frac{x-1}{4}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{4}.$

D. $\frac{x-3}{-2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-1}{2}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=\left(4;2;-4\right)=-2\left(-2;-1;2\right)$

Suy ra $\overrightarrow{u}=\left(-2;-1;2\right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Do đó, phương trình đường thẳng thỏa mãn là: $\frac{x-3}{-2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-1}{2}.$

II. Thông hiểu

Câu 6. Trong hệ tọa độ Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $A\left(2;0;-1\right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left(P\right):2x-y+z+3=0$ là

A. $\left\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=-t\\ z=-1+t\end{array}\right.\left(t\in ℝ\right).$

B. $\left\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=-t\\ z=-1-t\end{array}\right.\left(t\in ℝ\right).$

C. $\left\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=-1\\ z=-1+t\end{array}\right.\left(t\in ℝ\right).$

D. $\left\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=-t\\ z=1-t\end{array}\right.\left(t\in ℝ\right).$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Do đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $\left(P\right):2x-y+z+3=0$ nên vectơ chỉ phương của đường thẳng là $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{n_P}=\left(2;-1;1\right)$

Phương trình tham số của đường thẳng là: $\left\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=-t\\ z=-1+t\end{array}\right.\left(t\in ℝ\right).$

Câu 7. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta }_1:\left\{\begin{array}{l}x=5-2t\\ y=5+3t\\ z=2t\end{array}\right.$ và ${\Delta }_2:\frac{x-1}{1}=\frac{y+3}{-2}=\frac{z-6}{4}$. Góc giữa hai đường thẳng ${\Delta }_1$ và ${\Delta }_2$ bằng

A. $30°.$

B. $90°.$

C. $60°.$

D. $45°.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${\overrightarrow{u}}_{{\Delta }_1}=\left(-2;3;2\right),{\overrightarrow{u}}_{{\Delta }_2}=\left(1;-2;4\right)$.

Suy ra $\cos \left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)=\left|\cos \left({\overrightarrow{u}}_{{\Delta }_1},{\overrightarrow{u}}_{{\Delta }_2}\right)\right|=\frac{\left|-2.1+3.\left(-2\right)+2.4\right|}{\sqrt{{\left(-2\right)}^2+3^2+2^2}.\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2+4^2}}=0.$

Vậy góc giữa hai đường thẳng ${\Delta }_1$ và ${\Delta }_2$ bằng $90°.$

Câu 8. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-2}$ và $d_2:\frac{x+2}{-2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{2}$ . Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng đã cho

A. Chéo nhau.

B. Trùng nhau.

C. Song song.

D. Cắt nhau.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: đường thẳng $d_1$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}=\left(1;1;-2\right)$ và điểm $A\left(1;0;-2\right).$

       đường thẳng $d_2$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_2}=\left(-2;-1;2\right)$ và điểm $B\left(-2;-1;2\right).$

Xét: $\left\{\begin{array}{l}\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_1}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}1& -2\\ -1& 2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-2& 1\\ 2& -2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ -2& -1\end{array}\right|\right)=\left(0;2;3\right)\\ \overrightarrow{AB}.\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_1}\right]=-3.0+\left(-1\right).2+4.3=10\end{array}\right.$

Do đó, hai đường thẳng chéo nhau.

Câu 9. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{-1}$ và mặt phẳng $\left(P\right):2x+y+z-4=0$. Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

A. $30°.$

B. $90°.$

C. $60°.$

D. $45°.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${\overrightarrow{u}}_d=\left(1;2;-1\right)$ và ${\overrightarrow{n}}_{\left(P\right)}=\left(2;1;1\right).$

Suy ra $\sin \left(d,\left(P\right)\right)=\left|\cos \left({\overrightarrow{u}}_d,{\overrightarrow{u}}_{\left(P\right)}\right)\right|=\frac{\left|1.2+2.1+\left(-1\right).1\right|}{\sqrt{1^2+2^2+{\left(-1\right)}^2}.\sqrt{2^2+1^2+1^2}}=\frac{1}{2}.$

Vậy góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là $30°.$

III. Vận dụng

Câu 10. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left(1;4;2\right)$ và $B\left(-1;2;4\right)$. Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm tam giác OAB vuông góc với mặt phẳng (OAB)

A. $d:\frac{x}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z+2}{1}.$

B. $d:\frac{x}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-2}{1}.$

C. $d:\frac{x}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-2}{-1}.$

D. $d:\frac{x}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z+2}{1}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Tọa độ trọng tâm tam giác OAB là $G\left(0;2;2\right)$.

Ta có: $\overrightarrow{OA}=\left(1;4;2\right), \overrightarrow{OB}=\left(-1;2;4\right)$

      ${\overrightarrow{n}}_P=\left[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 4\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 4& -1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 4\end{array}\right|\right)$ $=\left(12;-6;6\right)=6\left(2;-1;1\right).$

Do d vuông góc với (OAB) nên ${\overrightarrow{u}}_d={\overrightarrow{n}}_P=\left(2;-1;1\right)$

Phương trình đường thẳng d là: $d:\frac{x}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-2}{1}.$

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI

Câu hỏi. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=1\\ z=-1-2t\end{array}\right.$ và mặt phẳng (P): 2x+y-2z=0. Gọi N là điểm thuộc ∆ và có hoành độ bằng 2.

a) Điểm M(0; 1; −1) thuộc ∆.

b) Một vectơ chỉ phương của ∆ là $\overrightarrow{u}=\left(1;1;-2\right)$.

c) Tung độ của N là 2.

d) Khoảng cách từ N đến (P) là $d=\frac{16}{3}$.

Hiển thị đáp án

a) Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng ∆ ta được $\left\{\begin{array}{l}0=t\\ 1=1\\ -1=-1-2t\end{array}\right.\Rightarrow t=0$ (đúng).

Suy ra M ∈ ∆.

b) Một vectơ chỉ phương của ∆ là $\overrightarrow{u}=\left(1;0;-2\right)$

c) Điển N có hoành độ bằng 2 suy ra t=2

Tọa độ điểm N là $\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1\\ z=-5\end{array}\right.\Rightarrow N\left(2;1;-5\right)$

Tung độ của N là 1.

d) $d\left(N,\left(P\right)\right)=\frac{\left|2.2+1-2.\left(-5\right)+1\right|}{\sqrt{2^2+1^2+{\left(-2\right)}^2}}=\frac{16}{3}$

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Sai;   d) Đúng.

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1. Trên một sườn núi (có độ nghiêng đều), người ta trồng một cây thông và muốn giữ nó không bị nghiêng bằng hai sợi dây neo như hình vẽ. Giả thiết cây thông mọc thẳng đứng và trong một hệ tọa độ phù hợp, các điểm gốc O (gốc cây thông) và A, B (nơi buộc dây neo) có tọa độ tương ứng là O(0; 0; 0), A(5; −3; 1), B(-3;-4;2), đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. Biết rằng hai dây neo đều được buộc vào cây tại điểm C(0; 0; 5) và được kéo căng tạo thành các đoạn thẳng. Khi đó, góc tạo bởi dây neo CA và mặt phẳng sườn núi là bao nhiêu độ? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

Hiển thị đáp án

Ta có $\overrightarrow{OA}=\left(5;-3;1\right),\overrightarrow{OB}=\left(-3;-4;2\right)$

Ta có $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right]=\left(-2;-13;-29\right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OAB).

Có $\overrightarrow{CA}=\left(5;-3;-4\right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng CA.

Có

Suy ra $\left(CA,\left(OAB\right)\right)\approx 40°$

Vậy góc tạo bởi dây neo CA và mặt phẳng sườn núi khoảng 40°.

Trả lời: 40.

Câu 2. Trong không gian Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ O(0; 0; 0), đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Một máy bay chuyển động hướng về đài kiểm soát không lưu, bay qua hai vị trí A(-500;-250;150), B(-200;-200;100). Khi máy bay ở gần đài kiểm soát nhất, tọa độ của vị trí máy bay là (a; b; c). Giá trị của biểu thức -3a-b-c là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Hiển thị đáp án

Vectơ $\overrightarrow{AB}=\left(300;50;-50\right)$ nên $\overrightarrow{u}=\left(6;1;-1\right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

Phương trình đường thẳng AB là $\frac{x+500}{6}=\frac{y+250}{1}=\frac{z-150}{-1}$

Gọi H là hình chiếu của điểm O trên đường thẳng AB thì OH là khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay và đài kiểm soát. Khi đó $H\left(6t-500;t-250;-t+150\right)$

Suy ra tọa độ của vị trí máy bay khi đó là $\left(\frac{700}{19};-\frac{3050}{19};\frac{1150}{19}\right)$

Vậy $-3a-b-c=-\frac{200}{19}\approx -11$

Trả lời: −11.

TRẮC NGHIỆM ONLINE

Xem thêm bài tập trắc nghiệm Toán lớp 12 Cánh diều có đáp án hay khác:

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 3: Phương trình mặt cầu

• Trắc nghiệm tổng hợp Toán 12 Chương 5

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1: Xác xuất có điều kiện

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 2: Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes

• Trắc nghiệm tổng hợp Toán 12 Chương 6

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Cánh diều
• Giải SBT Toán 12 Cánh diều
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---