13 Bài tập Ứng dụng hình học của tích phân (có đáp án) - Cánh diều Trắc nghiệm Toán 12

Với 13 bài tập trắc nghiệm Ứng dụng hình học của tích phân Toán 12 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ, có đúng sai, trả lời ngắn sách Cánh diều sẽ giúp học sinh lớp 12 ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 12.

13 Bài tập Ứng dụng hình học của tích phân (có đáp án) - Cánh diều Trắc nghiệm Toán 12

TRẮC NGHIỆM ONLINE

I. Nhận biết

Câu 1. Thể tích V của khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$, trục Ox và hai đường thẳng $x=a,x=b\left(a<b\right)$ khi quay quanh trục Ox là:

A. $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx.$

B. $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx.$

C. $V={\pi }^2\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx.$

D. $V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Câu 2. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$, trục Ox và hai đường thẳng $x=a,x=b\left(a<b\right)$ được tính theo công thức

A. $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx.$

B. $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx.$

C. $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx.$

D. $S=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Câu 3. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\left(x\right)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x=-\mathrm{3,}x=2$. Đặt $a=\underset{-3}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx,b=\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx.$

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $S=a+b.$

B. $S=a-b.$

C. $S=-a-b.$

D. $S=b-a.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: $S=\underset{-3}{\overset{2}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx=\underset{-3}{\overset{1}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$

$=-\underset{-3}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=b-a.$

Câu 4. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=3^x, y=\mathrm{0,}x=\mathrm{0,}x=2.$ Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}{3}^{x}dx.$

B. $S=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}{3}^{2x}dx.$

C. $S=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}{3}^{x}dx.$

D. $S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}{3}^{2x}dx.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|3^x-0\right|dx=\underset{0}{\overset{2}{\int }}{3}^{x}dx.$

Câu 5. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $ℝ.$ Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\left(x\right), y=\mathrm{0,}x=-\mathrm{2,}x=3$(như hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $S=-\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx.$

B. $S=\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx.$

C. $S=-\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx.$

D. $S=\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $S=\underset{-2}{\overset{3}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx=\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx+\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$

          $=\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx.$

II. Thông hiểu

Câu 6. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y={\left(x-2\right)}^2-1$, trục hoành và hai đường thẳng $x=\mathrm{1,}x=2$ bằng

A. $\frac{1}{3}.$

B. $\frac{2}{3}.$

C. $\frac{3}{2}.$

D. $\frac{7}{3}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $S=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left|{\left(x-2\right)}^2-1\right|dx=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-4x+3\right|dx$

Có ${\left(x-2\right)}^2-1<\mathrm{0,}\forall x\in \left[1;2\right]$ nên $S=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(-x^2+4x-3\right)dx={\left.\left(-\frac{x^3}{3}+2x^2-3x\right)\right|}_1^2=\frac{2}{3}.$

Câu 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^2+\mathrm{1,}x=-\mathrm{1,}x=2$ và trục hoành.

A. $S=16.$

B. S = 6

C. $S=\frac{13}{6}.$

D. $S=13.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $S=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left|x^2+1\right|dx=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left(x^2+1\right)dx={\left.\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\right|}_{-1}^2=6.$

Câu 8. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y=x^2+1$, trục hoành và các đường thẳng $x=\mathrm{0,}x=3$. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng

A. $V=12\pi .$

B. $V=\frac{348\pi }{5}.$

C. $V=32\pi .$

D. $V=9\pi .$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $V=\pi \underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(x^2+1\right)}^{2}dx=\pi \underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(x^4+2x^2+1\right)dx$

           $=\pi {\left.\left(\frac{x^5}{5}+\frac{2}{3}{x}^3+x\right)\right|}_0^3=\frac{348\pi }{5}.$

Câu 9. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=x^3-6x,y=x^2$ (phần tô đậm trong hình sau) bằng:

A. $S=\underset{-2}{\overset{0}{\int }}\left(x^3-6x-x^2\right)dx.$

B. $S=\underset{-2}{\overset{3}{\int }}\left(x^3-6x-x^2\right)dx.$

C. $S=\underset{-2}{\overset{9}{\int }}\left(x^2-x^3+6x\right)dx.$

D. $S=\underset{-2}{\overset{0}{\int }}\left(x^3-6x-x^2\right)dx-\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(x^3-6x-x^2\right)dx.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: $S=\underset{-2}{\overset{3}{\int }}\left|x^3-6x-x^2\right|dx=\underset{-2}{\overset{0}{\int }}\left|x^3-6x-x^2\right|dx+\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left|x^3-6x-x^2\right|dx$

             $=\underset{-2}{\overset{0}{\int }}\left(x^3-6x-x^2\right)dx-\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(x^3-6x-x^2\right)dx$

III. Vận dụng

Câu 10. Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v(km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị là một phần parabol với đỉnh $I\left(\frac{1}{2};8\right)$ và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi chạy?

A. 4 km

B. 5 km

C. 4,5 km

D. 5,5 km.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Gọi parabol là $\left(P\right):y=a{x}^2+bx+c$. Từ hình vẽ ta có (P) đi qua điểm có tọa độ (0; 0); (1; 0) và $I\left(\frac{1}{2};8\right)$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}a+b+c=0\\ c=0\\ \frac{a}{4}+\frac{b}{2}+c=8\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-32\\ b=32\\ c=0.\end{array}\right.$

Suy ra $\left(P\right):y=-32x^2+32x.$

Đổi 45 phút = $\frac{3}{4}$ giờ.

Vậy quãng đường người đó đi được là

$s=\underset{0}{\overset{\frac{3}{4}}{\int }}\left(-32x^2+32x\right)dx={\left.\left(-\frac{32}{3}{x}^3+16x^2\right)\right|}_0^{\frac{3}{4}}=\mathrm{4,5}$ km

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI

Câu hỏi. Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;d] và có đồ thị như hình vẽ. Biết đồ thị f(x) cắt trục hoành tại 4 điểm a, b, c, d đồng thời tạo với trục hoành và 2 đường thẳng x = a; x = d thành một hình phẳng (H) gồm 3 phần có diện tích lần lượt là S₁; S₂; S₃ như hình vẽ.

a) Hình phẳng có diện tích S₃ khi quay quanh trục hoành tạo ra vật thể tròn xoay có thể tích là $V=\underset{c}{\overset{d}{\int }}{\left[f\left(x\right)\right]}^{2}dx$

b) Hình phẳng (H) khi quay quanh trục hoành tạo ra vật thể tròn xoay có thể tích là $V=\pi \underset{a}{\overset{d}{\int }}{\left[f\left(x\right)\right]}^{2}dx$

c) $S_1=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$

d) $S_2=-\underset{b}{\overset{c}{\int }}f\left(x\right)dx$

Hiển thị đáp án

a) Hình phẳng có diện tích S₃ khi quay quanh trục hoành tạo ra vật thể tròn xoay có thể tích là $V=\pi \underset{c}{\overset{d}{\int }}{\left[f\left(x\right)\right]}^{2}dx$

b) Hình phẳng (H) khi quay quanh trục hoành tạo ra vật thể tròn xoay có thể tích là $V=\pi \underset{a}{\overset{d}{\int }}{\left[f\left(x\right)\right]}^{2}dx$

c) $S_1=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$

d) $S_2=\underset{b}{\overset{c}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx=-\underset{b}{\overset{c}{\int }}f\left(x\right)dx$

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Đúng;   d) Đúng.

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1. Biết diện tích phần tam giác cong OAB trong hình vẽ bên có diện tích là $\frac{a}{b}$$a,b\in \mathbb{Z}$ và phân số $\frac{a}{b}$ tối giản.

Tính hiệu b-a

Hiển thị đáp án

Ta có $S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|x^3\right|dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-4x+4\right|dx$

$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{3}dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x^2-4x+4\right)dx$

$={\left.\frac{x^4}{4}\right|}_0^1+{\left.\left(\frac{x^3}{3}-2x^2+4x\right)\right|}_1^2$

$=\frac{1}{4}+\frac{13}{3}=\frac{55}{12}$

Suy ra $a=55;b=12\Rightarrow b-a=-43$

Trả lời: −43.

Câu 2. Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) xung quanh trục Ox (làm tròn đến hàng phần trăm).

Hiển thị đáp án

Thể tích cần tìm là $V=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(2x-x^2\right)}^{2}dx$

$=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(4x^2-4x^3+x^4\right)dx$

$={\left.\pi \left(\frac{4x^3}{3}-x^4+\frac{x^5}{5}\right)\right|}_0^2=\frac{16\pi }{15}\approx 3,35$

Trả lời: 3,35.

TRẮC NGHIỆM ONLINE

Xem thêm bài tập trắc nghiệm Toán lớp 12 Cánh diều có đáp án hay khác:

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 3: Tích phân

• Trắc nghiệm tổng hợp Toán 12 Chương 4

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 3: Phương trình mặt cầu

• Trắc nghiệm tổng hợp Toán 12 Chương 5

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Cánh diều
• Giải SBT Toán 12 Cánh diều
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---