13 Bài tập Nguyên hàm (có đáp án) - Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 12

Với 13 bài tập trắc nghiệm Nguyên hàm Toán lớp 12 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ, có đúng sai, trả lời ngắn sách Chân trời sáng tạo sẽ giúp học sinh ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 12.

13 Bài tập Nguyên hàm (có đáp án) - Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 12

TRẮC NGHIỆM ONLINE

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN

I. Nhận biết

Câu 1. Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)$ trên khoảng $K$ nếu

A. $F^{\text{'}}\left(x\right)=-f\left(x\right),\forall x\in K.$

B. $f^{\text{'}}\left(x\right)=F\left(x\right),\forall x\in K.$

C. $F^{\text{'}}\left(x\right)=f\left(x\right),\forall x\in K.$

D. $f^{\text{'}}\left(x\right)=F\left(x\right),\forall x\in K.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Hàm số f(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)$ trên khoảng K nếu $F^{\text{'}}\left(x\right)=f\left(x\right), \forall x\in K$.

Câu 2. Cho $\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right),\int g\left(x\right)dx=G\left(x\right)$. Khi đó, $I=\int \left[2g\left(x\right)-f\left(x\right)\right]dx$ bằng

A. $2F\left(x\right)+G\left(x\right).$

B. $2F\left(x\right)-G\left(x\right).$

C. $2G\left(x\right)-F\left(x\right).$

D. $F\left(x\right)-2G\left(x\right).$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $I=\int \left[2g\left(x\right)-f\left(x\right)\right]dx$

           $I=\int 2g\left(x\right)dx-\int f\left(x\right)dx$

          $I=2\int g\left(x\right)dx-\int f\left(x\right)dx$

          $I=2G\left(x\right)-F\left(x\right)$

Câu 3. $\int x^{5}dx$ bằng

A. $5x^4+C.$

B. $\frac{x^6}{6}+C.$

C. $x^4+C.$

D. $-\frac{x^6}{6}+C.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\int x^{5}dx=\frac{x^6}{6}+C$.

Câu 4. Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\cos x$ bằng

A. $\int \cos xdx=\sin x+C.$

B. $\int \cos xdx=\frac{\sin x}{2}+C.$

C. $\int \cos xdx=-\sin x+C.$

D. $\int \cos xdx=\frac{{\cos }^{2}x}{2}+C.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\int \cos xdx=\sin x+C.$

Câu 5. Cho hai hàm số $f\left(x\right),g\left(x\right)$ là hàm số liên tục, có $F\left(x\right),G\left(x\right)$ lần lượt là nguyên hàm của $f\left(x\right),g\left(x\right)$. Xét các mệnh đề sau:

(I). $F\left(x\right)+G\left(x\right)$là một nguyên hàm của $f\left(x\right)+g\left(x\right).$

(II). $kF\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $kf\left(x\right)$ với $k\ne 0.$

(III). $F\left(x\right).G\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right).g\left(x\right)$

Các mệnh đề đúng là

A. (I) và (II).

B. (II) và (III).

C. (I) và (III).

D. Cả ba mệnh đề.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

II. Thông hiểu

Câu 6. Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\cos 3x$ bằng

A. $\int \cos 3xdx=3\sin 3x+C.$

B. $\int \cos 3xdx=\frac{\sin 3x}{3}+C.$

C. $\int \cos 3xdx=-3\sin 3x+C.$

D. $\int \cos 3xdx=-\frac{\sin 3x}{3}+C.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có công thức $\int \cos \left(ax+b\right)dx=\frac{1}{a}\sin \left(ax+b\right)+C$

Do đó $\int \cos 3xdx=\frac{\sin 3x}{3}+C.$

Câu 7. Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^2-3x+\frac{1}{x}$ là

A. $2x-3-\frac{1}{x^2}+C.$

B. $\frac{x^3}{3}-\frac{3}{2}{x}^2+\ln \left|x\right|+C.$

C. $\frac{x^3}{3}+\frac{3}{2}{x}^2+\ln x+C.$

D. $\frac{x^3}{3}-\frac{3}{2}{x}^2+\ln x+C.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\int f\left(x\right)dx=\int \left(x^2-3x+\frac{1}{x}\right)dx$

                       $=\int x^{2}dx-\int 3xdx+\int \frac{1}{x}dx$

                       $=\frac{x^3}{3}-\frac{3}{2}{x}^2+\ln \left|x\right|+C.$

Câu 8. Hàm số $F\left(x\right)=2\sin x-3\cos x+1$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

A. $f\left(x\right)=2\sin x-3\cos x.$

B. $f\left(x\right)=-2\cos x+3\sin x.$

C. $f\left(x\right)=2\cos x+3\sin x.$

D. $f\left(x\right)=-2\cos x-3\sin x.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $f\left(x\right)=F^{\text{'}}\left(x\right)={\left(2\sin x-3\cos x+1\right)}^{\text{'}}$

                           $=2\cos x+3\sin x$

Vậy $F\left(x\right)=2\sin x-3\cos x+1$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=2\cos x+3\sin x.$

Câu 9. Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=e^{3x}\left(1-3e^{-5x}\right)$

A. $\frac{1}{3}{e}^{3x}+\frac{3}{2}{e}^{-2x}+C.$

B. $\frac{1}{3}{e}^{3x}-\frac{3}{2}{e}^{-2x}+C.$

C. $e^{3x}-3e^{-2x}+C.$

D. $e^{3x}+6e^{-2x}+C.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\int f\left(x\right)dx=\int e^{3x}\left(1-3e^{-5x}\right)dx$

           $=\int \left(e^{3x}-3e^{-2x}\right)dx$

           $=\int e^{3x}dx-3\int e^{-2x}dx$

           $=\frac{e^{3x}}{3}+\frac{3}{2}{e}^{-2x}+C$

III. Vận dụng

Câu 10. Một vật chuyển động với gia tốc $a\left(t\right)=3t^2+t\left(m/s^2\right)$. Biết rằng vận tốc ban đầu của vật là 2 (m/s). Vận tốc của vật đó sau hai giây là.

A. 8 (m/s)

B. 12 (m/s)

C. 10 (m/s)

D. 16 (m/s)

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Phương trình vận tốc của vật là $v\left(t\right)=\int a\left(t\right)dt=\int \left(3t^2+t\right)dt=t^3\text{+}\frac{t^2}{2}\text{+C. }$

Mà vận tốc ban đầu của vật là 2 (m/s) hay $v\left(0\right)=2\left(m/s\right)$

Do đó, ta có C = 2.

Suy ra $v\left(t\right)=t^3+\frac{t^2}{2}+2.$

Vậy vận tốc của vật đó sau 2 giây là: $v\left(2\right)=2^3+\frac{2^2}{2}+2=12\left(m/s\right)$

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI

Câu hỏi. Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ trên $\left(-\infty ;0\right)$ thỏa mãn F(-2) = 0 (với C là một số thực bất kì).

a) F(-2e) = 1.

b) $F\left(-3\right)=\ln \frac{3}{2}$.

c) F(-3) = ln2.

d) F'(-1) = -1.

Hiển thị đáp án

Ta có $F\left(x\right)=\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C$$=\ln \left(-x\right)+C$ vì $x\in \left(-\infty ;0\right)$.

Mà F(-2) = 0 nên ln2 + C = 0 ⇒ C = -ln2. Do đó  F(x) = ln(-x) - ln2.

a) F(-2e) = ln(2e) - ln2 = ln2 + 1 - ln2 = 1.

b) $F\left(-3\right)=\ln 3-\ln 2=\ln \frac{3}{2}$.

c) $f\left(-4\right)=\frac{1}{-4}=-\frac{1}{4}$.

d) F'(-1) = f(-1) = -1.

Đáp án: a) Đúng;    b) Đúng;   c) Sai;    d) Đúng.

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1. Nguyên hàm $\int \left(7+5{\cot }^{2}x\right)dx=ax+b{\cot }^{c}x+C$ (với a, b, c là các số nguyên dương).

Tính a + 4b + c.

Hiển thị đáp án

Ta có $\int \left(7+5{\cot }^{2}x\right)dx=\int \left(2+5\left(1+{\cot }^{2}x\right)\right)dx$$=\int \left(2+\frac{5}{{\sin }^{2}x}\right)dx$$=2x-5\cot x+C$.

Suy ra a = 2; b = -5; c = 1. Vậy a + 4b + c = 2 - 20 + 1 = 1-7

Trả lời: −17.

Câu 2. Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản chúng thường bơi từ biển đến thượng nguồn con sông để đẻ trứng trên sỏi đá rồi chết. Khi nghiên cứu một con cá hồi sinh sản người ta phát hiện ra một quy luật nó chuyển động trong nước yên lặng là $s\left(t\right)=-\frac{t^2}{10}+4t$, với t (giờ) là khoảng thời gian từ lúc con cá bắt đầu chuyển động và s (km) là quãng đường con cá bơi trong khoảng thời gian đó. Nếu thả con cá hồi vào dòng nước có vận tốc dòng nước chảy là 2 km/h. Tính khoảng cách (km) xa mà con cá hồi có thể bơi ngược dòng nước đến nơi đẻ trứng.

Hiển thị đáp án

Vận tốc của con cá là $v\left(t\right)=s^{\text{'}}\left(t\right)=-\frac{t}{5}+4$.

Vận tốc thực của cá khi bơi ngược dòng là $v\left(t\right)-2=-\frac{t}{5}+2$.

Có $s\left(t\right)=\int \left(-\frac{t}{5}+2\right)dt=-\frac{t^2}{10}+2t+C$.

Mà S(0) = 0 ⇒ C = 0 $\Rightarrow S\left(t\right)=-\frac{t^2}{10}+2t$$=-\frac{1}{10}\left(t^2-20t\right)$$=-\frac{1}{10}{\left(t-10\right)}^2+10\le 10$.

Vậy khoảng cách xa nhất mà cá hồi có thể bơi ngược dòng để đẻ trứng là 10 km.

Trả lời: 10.

TRẮC NGHIỆM ONLINE

Xem thêm bài tập trắc nghiệm Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo có đáp án hay khác:

• Trắc nghiệm tổng hợp Toán 12 Chương 3

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 2: Tích phân

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân

• Trắc nghiệm tổng hợp Toán 12 Chương 4

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)

---