13 Bài tập Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes (có đáp án) - Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 12

Với 13 bài tập trắc nghiệm Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes Toán lớp 12 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ, có đúng sai, trả lời ngắn sách Chân trời sáng tạo sẽ giúp học sinh ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 12.

13 Bài tập Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes (có đáp án) - Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 12

TRẮC NGHIỆM ONLINE

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN

I. Nhận biết

Câu 1. Cho A, B là các biến cố của một phép thử T. Biết rằng $0<P\left(B\right)<1,$ xác suất của biến cố A được tính theo công thức nào sau đây?

A. $P\left(A\right)=P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right).$

B. $P\left(A\right)=P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(B|\overline{A}\right).$

C. $P\left(A\right)=P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(A|\overline{B}\right).$

D. $P\left(A\right)=P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right).$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Công thức tính xác suất toàn phần: $P\left(A\right)=P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right).$

Câu 2. Cho A, B là các biến cố của một phép thử T. Biết rằng $0<P\left(B\right)$, xác suất để biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được tính theo công thức nào dưới đây?

A. $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right)}{P\left(B\right)}.$

B. $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(B\right)}.$

C. $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(B|A\right)}{P\left(A\right)}.$

D. $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(B\right)}{P\left(A\right)}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có: $P\left(A\right)=P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right).$

Do đó, công thức Bayes, còn có thể viết dưới dạng: $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(B\right)}.$

Câu 3. Cho A, B là các biến cố của một phép thử T. Biết rằng $P\left(A\right)>0$ và $0<P\left(B\right)<1.$ Xác suất của biến cố B với điều kiện biến cố A đã xảy ra được tính theo công thức nào?

A. $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(A\right).P\left(A|B\right)}{P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right)}.$

B. $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(A|B\right)}{P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)}.$

C. $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(A|B\right)}{P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right)}.$

D. $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(A\right).P\left(A|B\right)}{P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right)}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Cho A, B là các biến cố của một phép thử T. Biết rằng $P\left(A\right)>0$ và $0<P\left(B\right)<1.$

Ta có công thức $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(A|B\right)}{P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right)}.$

Câu 4. Nếu hai biến cố A, B thỏa mãn $P\left(A\right)=\mathrm{0,3,}P\left(B\right)=\mathrm{0,6}$ và $P\left(A|B\right)=\mathrm{0,4}$ thì $P\left(B|A\right)$ bằng

A. 0,5

B. 0,6

C. 0,8

D. 0,2.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{\mathrm{0,6.0,4}}{\mathrm{0,3}}=\mathrm{0,8.}$

Câu 5. Cho hai biến cố A, B với $P\left(B\right)=\mathrm{0,6};P\left(A|B\right)=\mathrm{0,7}$ và $P\left(A|\overline{B}\right)=\mathrm{0,4.}$ Khi đó, $P\left(A\right)$ bằng

A. 0,7

B. 0,4

C. 0,58.

D. 0,52.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $P\left(\overline{B}\right)=1-P\left(B\right)=1-\mathrm{0,6}=\mathrm{0,4.}$

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P\left(A\right)=P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right)$$=\mathrm{0,6.0,7}+\mathrm{0,4.0,4}=\mathrm{0,58.}$

II. Thông hiểu

Câu 6. Cho hai biến cố A, B với $P\left(B\right)=\mathrm{0,8};P\left(A|B\right)=\mathrm{0,7}$ và $P\left(A|\overline{B}\right)=\mathrm{0,45.}$ Tính $P\left(A\right)$

A. 0,25

B. 0,65

C. 0,55

D. 0,5.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $P\left(\overline{B}\right)=1-P\left(B\right)=1-\mathrm{0,8}=\mathrm{0,2.}$

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P\left(A\right)=P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right)$$=\mathrm{0,8.0,7}+\mathrm{0,2.0,45}=\mathrm{0,65.}$

Câu 7. Cho hai biến cố A, B với $P\left(B\right)=\mathrm{0,3};P\left(A\right)=\mathrm{0,4}$ và $P\left(A|B\right)=\mathrm{0,25.}$ Khi đó, $P\left(B|A\right)$ bằng

A. 0,1875.

B. 0,48

C. 0,333.

D. 0,95.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Theo công thức Bayes, ta có: $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{\mathrm{0,3.0,25}}{\mathrm{0,4}}=\mathrm{0,1875.}$

Câu 8. Một trường liên cấp có 3 khối gồm khối tiểu học, khối THCS và khối THPT. Tỉ lệ học sinh mỗi khối như sau: Khối tiểu học chiếm 25%, khối THCS chiếm 45%, khối THPT chiếm 30%. Xác suất học sinh tham gia ngoại khóa ở các khối tương ứng 30% khối tiểu học, 50% khối THCS, 40% khối THPT. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong trường. tính xác suất để học sinh được chọn tham gia hoạt động ngoại khóa.

A. 0,42.

B. 0,24.

C. 0,3

D. 0,25.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Gọi A là biến cố: “Học sinh tham gia là học sinh khối tiểu học”,

       B là biến cố: “Học sinh tham gia là học sinh khối THCS”,

       C là biến cố: “Học sinh tham gia là học sinh khối THPT”,

       D là biến cố: “Học sinh tham gia hoạt động ngoại khóa”.

Theo đề, ta có: P(A) = 0,25; P(B) = 0,45; P(C) = 0,3;

                         P(D | A) = 0,3; P(D | B) = 0,5; P(D | C) = 0,4.

Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần, có:

Xác suất học sinh tham gia ngoại khóa của trường đó là:

P(D) = P(A).P(D | A) + P(B).P(D | B) + P(C).P(D | C)

         = 0,25.0,3 + 0,45.0,5 + 0,3.0,4 = 0,42.

Câu 9. Một công ty du lịch bố trí chỗ cho đoàn khách tại ba khách sạn A, B, C theo tỉ lệ 20%, 50%, 30%. Tỉ lệ hỏng điều hòa ở khách sạn lần lượt là 5%, 4% và 8%. Tính xác suất để một khách nghỉ ở phòng điều hòa bị hỏng.

A. $\frac{2}{500}.$

B. $\frac{27}{500}.$

C. $\frac{7}{500}.$

D. $\frac{23}{500}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Theo đề bài, ta có:

Tỉ lệ khách ở khách sạn A là: P(A) = 0,2.

Tỉ lệ khách ở khách sạn B là: P(B) = 0,5.

Tỉ lệ khách ở khách sạn C là: P(C) = 0,3.

Gọi H là biến cố: “Phòng có điều hòa bị hỏng ở khách sạn”.

Xác suất điều hòa bị hỏng ở khách sạn A là: P(H | A) = 0,05.

Xác suất điều hòa bị hỏng ở khách sạn B là: P(H | B) = 0,04.

Xác suất điều hòa bị hỏng ở khách sạn C là: P(H | C) = 0,08.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, xác suất để một khách nghỉ ở phòng điều hòa bị hỏng là:

P(H) = P(H | A).P(A) + P(H | B).P(B) + P(H | C).P(C)

         = 0,05.0,2 + 0,04.0,5 + 0,08.0,3 = 0,054 = $\frac{27}{500}.$

III. Vận dụng

Câu 10. Một chiếc hộp có 80 viên bi, trong đó 50 viên màu đỏ, 30 viên màu vàng ; các viên có kích thước và khối lượng như nhau. Sau khi kiểm tra, người ta thấy có 60% số viên bi màu đỏ đánh số và 50% viên bi màu vàng đánh số, những viên bi còn lại không đánh số. Khi đó:

a) Số viên bi màu đỏ có đánh số là 30.

b) Số viên bi màu vàng không đánh số là 15.

c) Lấy ra ngẫu nhiên một viên vi trong hộp. Xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số là $\frac{3}{5}.$

d) Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Xác suất để viên bi được lấy ra không có đánh số là $\frac{7}{16}.$

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:

A. 1.

B. 2.

C. 3

D. 4.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

a) Theo đề, ta có số viên bi màu đỏ có đánh số là 60%.50 = 30.

Vậy ý a đúng.

b) Số viên bi màu vàng không đánh số là 30.(1 – 50%) = 15.

Vậy ý b đúng.

c) Gọi A là biến cố: “Viên bi được lấy ra có đánh số”,

           B là biến cố: “Viên bi được lấy ra có màu đỏ”,

$\overline{B}$ là biến cố: “Viên bi được lấy ra có màu vàng”.

Lúc này ta tính P(A) theo công thức: P(A) = P(B).P(A | B) + P($\overline{B}$).P(A |$\overline{B}$).

Theo đề bài, ta có: P(B) = $\frac{50}{80}=\frac{5}{8}$; P($\overline{B}$) = $\frac{30}{80}=\frac{3}{8}$; P(A | B) = 60% = $\frac{3}{5}$;

                    P(A |$\overline{B}$) = 100% − 50% = 50% = $\frac{1}{2}.$

Vậy P(A) = P(B).P(A | B) + P($\overline{B}$).P(A |$\overline{B}$) = $\frac{5}{8}.\frac{3}{5}+\frac{3}{8}.\frac{1}{2}=\frac{9}{16}.$

Vậy ý c sai.

d) Có A là biến cố “Viên bi được lấy ra có đánh số”

Suy ra $\overline{A}$ là biến cố “Viên bi được lấy ra không có đánh số”.

Ta có: P($\overline{A}$) = 1 – P(A) = 1 – $\frac{9}{16}$ = $\frac{7}{16}.$

Vậy ý d đúng.

Vậy có 3 ý đúng.

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI

Câu hỏi. Một phân xưởng có 80% công nhân là nữ. Tỉ lệ công nhân nữ có tay nghề cao là 40%, tỉ lệ công nhân nam có tay nghề cao là 55%. Chọn ngẫu nhiên 1 công nhân của phân xưởng. Gọi A là biến cố “Công nhân được chọn là nữ” và B là biến cố “Công nhân được chọn có tay nghề cao”. Khi đó:

a) Xác suất của biến cố $\overline{A}$ là 0,8.

b) Xác suất của biến cố B là 0,43.

c) A và B là hai biến cố độc lập.

d) Xác suất của biến cố A với điều kiện B là $\frac{11}{43}$.

Hiển thị đáp án

Theo đề ta có $P\left(A\right)=0,8;P\left(B|A\right)=0,4;P\left(B|\overline{A}\right)=0,55$.

a) $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=0,2$.

b) $P\left(B\right)=P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)$

$=0,8.0,4+0,2.0,55=0,43$.

c) Có

$P\left(AB\right)=P\left(A\right).P\left(B|A\right)$$=0,8.0,4=0,32\ne 0,8.0,43$$=P\left(A\right).P\left(B\right)$.

Suy ra A và B là hai biến cố không độc lập.

d) Theo công thức Bayes, ta có $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(B\right)}=\frac{0,8.0,4}{0,43}=\frac{32}{43}$.

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Sai.

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1. Trong một cuộc khảo sát về việc có chơi thể thao hay không có 40% nam và 60% nữ tham gia. Kết quả cho thấy có 30% nam và 50% nữ không chơi thể thao. Chọn ngẫu nhiên một người trong số người được khảo sát. Biết người đó chơi thể thao. Tính xác suất để người được chọn là nam (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Hiển thị đáp án

Gọi A là biến cố “Người được chọn là nam”; B là biến cố “Người được chọn chơi thể thao”.

Theo đề ta có

$P\left(A\right)=0,4;P\left(\overline{A}\right)=0,6;$$P\left(B|A\right)=0,7;$$P\left(B|\overline{A}\right)=0,5$.

Có $P\left(B\right)$$=P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)$$=0,4.0,7+0,6.0,5$$=\frac{29}{50}$

Suy ra A và B là hai biến cố không độc lập.

Áp dụng công thức Bayes ta có:

$P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(B\right)}=\frac{0,4.0,7}{\frac{29}{50}}=\frac{14}{29}\approx 0,48$

Trả lời: 0,48.

Câu 2. Một công ty thời trang có hai chi nhánh cùng sản xuất một loại áo thời trang, trong đó có 56% áo thời trang ở chi nhánh I và 44% áo thời trang ở chi nhánh II. Tại chi nhánh I có 75% áo chất lượng cao và tại chi nhánh II có 68% áo chất lượng cao (kích thước và hình dạng bề ngoài của các áo là như nhau). Chọn ngẫu nhiên 1 áo thời trang. Xác suất chọn được áo chất lượng cao là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Hiển thị đáp án

Gọi A là biến cố “Áo thời trang đó thuộc chi nhánh I”; B là biến cố “Áo đó đạt chất lượng cao”.

Theo đề ta có

$P\left(A\right)=0,56;$$P\left(\overline{A}\right)=0,44;$$P\left(B|A\right)=0,75;$$P\left(B|\overline{A}\right)=0,68$.

Xác suất chọn được áo chất lượng cao là

$P\left(B\right)$$=P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)$$=0,56.0,75+0,44.0,68\approx 0,72$.

Trả lời: 0,72.

TRẮC NGHIỆM ONLINE

Xem thêm bài tập trắc nghiệm Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo có đáp án hay khác:

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 3: Phương trình mặt cầu

• Trắc nghiệm tổng hợp Toán 12 Chương 5

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1: Xác suất có điều kiện

• Trắc nghiệm tổng hợp Toán 12 Chương 6

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)

---