13 Bài tập Ứng dụng hình học của tích phân (có đáp án) - Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 12

Với 13 bài tập trắc nghiệm Ứng dụng hình học của tích phân Toán lớp 12 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ, có đúng sai, trả lời ngắn sách Chân trời sáng tạo sẽ giúp học sinh ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 12.

13 Bài tập Ứng dụng hình học của tích phân (có đáp án) - Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 12

TRẮC NGHIỆM ONLINE

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN

I. Nhận biết

Câu 1. Thể tích V của khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$, trục Ox và hai đường thẳng $x=a,x=b\left(a<b\right)$ khi quay quanh trục Ox là:

A. $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx.$

B. $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx.$

C. $V={\pi }^2\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx.$

D. $V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Câu 2. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$, trục Ox và hai đường thẳng $x=a,x=b\left(a<b\right)$ được tính theo công thức

A. $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx.$

B. $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx.$

C. $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx.$

D. $S=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Câu 3. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\left(x\right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=-\mathrm{3,}x=2$. Đặt $a=\underset{-3}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx,b=\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx.$

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $S=a+b.$

B. $S=a-b.$

C. $S=-a-b.$

D. $S=b-a.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: $S=\underset{-3}{\overset{2}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx=\underset{-3}{\overset{1}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$

              $=-\underset{-3}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$ $=b-a.$

Câu 4. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=3^x, y=\mathrm{0,}x=\mathrm{0,}x=2.$ Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}{3}^{x}dx.$

B. $S=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}{3}^{2x}dx.$

C. $S=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}{3}^{x}dx.$

D. $S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}{3}^{2x}dx.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|3^x-0\right|dx=\underset{0}{\overset{2}{\int }}{3}^{x}dx.$

Câu 5. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $ℝ.$ Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\left(x\right), y=\mathrm{0,}x=-\mathrm{2,}x=3$(như hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $S=-\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx.$

B. $S=\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx.$

C. $S=-\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx.$

D. $S=\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $S=\underset{-2}{\overset{3}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx=\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx+\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$

             $=\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx.$

II. Thông hiểu

Câu 6. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y={\left(x-2\right)}^2-1$, trục hoành và hai đường thẳng $x=\mathrm{1,}x=2$bằng

A. $\frac{1}{3}.$

B. $\frac{2}{3}.$

C. $\frac{3}{2}.$

D. $\frac{7}{3}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $S=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left|{\left(x-2\right)}^2-1\right|dx=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-4x+3\right|dx$

Có ${\left(x-2\right)}^2-1<\mathrm{0,}\forall x\in \left[1;2\right]$ nên $S=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(-x^2+4x-3\right)dx={\left.\left(-\frac{x^3}{3}+2x^2-3x\right)\right|}_1^2=\frac{2}{3}.$

Câu 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^2+\mathrm{1,}x=-\mathrm{1,}x=2$ và trục hoành.

A. S = 16

B. S = 6

C. $S=\frac{13}{6}.$

D. S = 13

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $S=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left|x^2+1\right|dx=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left(x^2+1\right)dx={\left.\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\right|}_{-1}^2=6.$

Câu 8. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y=x^2+1$, trục hoành và các đường thẳng $x=\mathrm{0,}x=3$. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng

A. $V=12\pi .$

B. $V=\frac{348\pi }{5}.$

C. $V=32\pi .$

D. $V=9\pi .$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $V=\pi \underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(x^2+1\right)}^{2}dx=\pi \underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(x^4+2x^2+1\right)dx$

             $=\pi {\left.\left(\frac{x^5}{5}+\frac{2}{3}{x}^3+x\right)\right|}_0^3=\frac{348\pi }{5}.$

Câu 9. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=x^3-6x,y=x^2$ (phần tô đậm trong hình sau) bằng:

A. $S=\underset{-2}{\overset{0}{\int }}\left(x^3-6x-x^2\right)dx.$

B. $S=\underset{-2}{\overset{3}{\int }}\left(x^3-6x-x^2\right)dx.$

C. $S=\underset{-2}{\overset{9}{\int }}\left(x^2-x^3+6x\right)dx.$

D. $S=\underset{-2}{\overset{0}{\int }}\left(x^3-6x-x^2\right)dx-\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(x^3-6x-x^2\right)dx.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: $S=\underset{-2}{\overset{3}{\int }}\left|x^3-6x-x^2\right|dx=\underset{-2}{\overset{0}{\int }}\left|x^3-6x-x^2\right|dx+\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left|x^3-6x-x^2\right|dx$

             $=\underset{-2}{\overset{0}{\int }}\left(x^3-6x-x^2\right)dx-\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(x^3-6x-x^2\right)dx$

III. Vận dụng

Câu 10. Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị là một phần parabol với $I\left(\frac{1}{2};8\right)$ và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi chạy?

A. 4 km.

B. 5 km.

C. 4,5 km.

D. 5,5 km.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Gọi parabol là $\left(P\right):y=a{x}^2+bx+c$. Từ hình vẽ ta có (P) đi qua điểm có tọa độ (0; 0); (1; 0) và $I\left(\frac{1}{2};8\right)$.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}a+b+c=0\\ c=0\\ \frac{a}{4}+\frac{b}{2}+c=8\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-32\\ b=32\\ c=0.\end{array}\right.$

Suy ra $\left(P\right):y=-32x^2+32x.$

Đổi 45 phút = $\frac{3}{4}$giờ.

Vậy quãng đường người đó đi được là

$s=\underset{0}{\overset{\frac{3}{4}}{\int }}\left(-32x^2+32x\right)dx={\left.\left(-\frac{32}{3}{x}^3+16x^2\right)\right|}_0^{\frac{3}{4}}=\mathrm{4,5}$ km.

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI

Câu hỏi. Cho hàm số $f\left(x\right)=x^2-2x$ có đồ thị là (C) và đường thẳng d: y = x.

a) Tích phân $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=-\frac{2}{3}$.

b) Hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2 có diện tích bằng $\frac{4}{3}$.

c) Hình phẳng giới hạn bởi (C) và d có diện tích bằng $\frac{9}{2}$.

d) Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=1$. Khối tròn xoay thu được khi cho (H) quay quanh trục hoành có thể tích bằng $\frac{8\pi }{15}$.

Hiển thị đáp án

a) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x^2-2x\right)dx$$=\left.{\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right)}_0^1\right|=-\frac{2}{3}$.

b) Diện tích cần tìm là

$S=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-2x\right|dx$$=-\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x^2-2x\right)dx$$={\left.-\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right)\right|}_1^2=\frac{2}{3}$.

c) Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2-2x=x\iff x^2-3x=0$$\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=3\end{array}\right.$.

Ta có diện tích cần tìm là

$S=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left|x^2-2x-x\right|dx=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left|x^2-3x\right|dx$$=-\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(x^2-3x\right)dx$$={\left.-\left(\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}\right)\right|}_0^3=\frac{9}{2}$.

d) Thể tích cần tìm là

$V=\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(x^2-2x\right)}^{2}dx$$=\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x^4-4x^3+4x^2\right)dx$$={\left.\pi \left(\frac{x^5}{5}-x^4+\frac{4x^3}{3}\right)\right|}_0^1=\frac{8\pi }{15}$.

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=x^2-4$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=3$(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Hiển thị đáp án

Diện tích hình phẳng cần tìm là

$V=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left|x^2-4\right|dx$$=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-4\right|dx+\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left|x^2-4\right|dx$

$=-\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^2-4\right)dx+\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left(x^2-4\right)dx$$=-{\left.\left(\frac{x^3}{3}-4x\right)\right|}_0^2+{\left.\left(\frac{x^3}{3}-4x\right)\right|}_2^3$

$=\frac{16}{3}+\frac{7}{3}=\frac{23}{3}\approx 7,67$

Trả lời: 7,67.

Câu 2. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$. Đồ thị của đạo hàm $f^{\text{'}}\left(x\right)$ là đường cong trong hình dưới. Biết rằng diện tích của các phần hình phẳng A và B lần lượt là S_A = 2 và S_B = 3. Cho f(0) = 4. Tính f(5).

Hiển thị đáp án

Ta có

$\underset{0}{\overset{5}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{2}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx+\underset{2}{\overset{5}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx$$=S_A-S_B=2-3=-1$

Mà $\underset{0}{\overset{5}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx={\left.f\left(x\right)\right|}_0^5=f\left(5\right)-f\left(0\right)$

Suy ra $f\left(5\right)-f\left(0\right)=-1$$\Rightarrow f\left(5\right)=-1+f\left(0\right)$$=-1+4=3$.

Trả lời: 3.

TRẮC NGHIỆM ONLINE

Xem thêm bài tập trắc nghiệm Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo có đáp án hay khác:

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 2: Tích phân

• Trắc nghiệm tổng hợp Toán 12 Chương 4

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 3: Phương trình mặt cầu

• Trắc nghiệm tổng hợp Toán 12 Chương 5

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)

---