13 Bài tập Phương trình mặt cầu (có đáp án) - Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 12

Với 13 bài tập trắc nghiệm Phương trình mặt cầu Toán lớp 12 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ, có đúng sai, trả lời ngắn sách Chân trời sáng tạo sẽ giúp học sinh ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 12.

13 Bài tập Phương trình mặt cầu (có đáp án) - Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 12

TRẮC NGHIỆM ONLINE

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN

I. Nhận biết

Câu 1. Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm $I\left(x_0;y_0;z_0\right)$ bán kính R có phương trình là:

A. ${\left(x-x_0\right)}^2+{\left(y-y_0\right)}^2+{\left(z-z_0\right)}^2=R^2.$

B. $\left(x-x_0\right)+\left(y-y_0\right)+\left(z-z_0\right)=R.$

C. $\left(x-x_0\right)+\left(y-y_0\right)+\left(z-z_0\right)=R^2.$

D. ${\left(x-x_0\right)}^2-{\left(y-y_0\right)}^2-{\left(z-z_0\right)}^2=R^2.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu

A. $x^2+y^2+z^2-2x=0.$

B. $x^2+y^2-z^2+2x-y+1=0.$

C. $2x^2+y^2={\left(x+y\right)}^2-z^2+2x+1.$

D. ${\left(x+y\right)}^2=2xy-z^2-1.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Phương trình mặt cầu có dạng

$x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ với $d=a^2+b^2+c^2-R^2.$

Xét các đáp án, chỉ có đáp án A thỏa mãn, đồng thời ta có thể viết lại như sau:

$x^2+y^2+z^2-2x=0$ hay ${\left(x-1\right)}^2+y^2+z^2=1$.

Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình (S): ${\left(x-1\right)}^2+y^2+{\left(z+3\right)}^2=16$ có tâm là

A. $I\left(1;0;3\right).$

B. $I\left(-1;0;-3\right).$

C. $I\left(1;0;-3\right).$

D. $I\left(1;2;-3\right).$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${\left(x-1\right)}^2+y^2+{\left(z+3\right)}^2=16$

$\iff {\left(x-1\right)}^2+y^2+{\left(z-\left(-3\right)\right)}^2=4^2$

Do đó, tâm mặt cầu là $I\left(1;0;-3\right).$

Câu 4. Cho điểm M nằm ngoài mặt cầu $S\left(O;R\right)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $OM<R.$

B. $OM=R.$

C. $OM>R.$

D. $OM\le R.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Câu 5.  Điều kiện đề phương trình $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ là phương trình mặt cầu là

A. $a+b+c-d>0.$

B. $a^2+b^2+c^2+d>0.$

C. $a^2+b^2+c^2-d>0.$

D. $a^2+b^2+c^2-d\ge 0.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Phương trình mặt cầu có dạng

$x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ với $d=a^2+b^2+c^2-R^2.$

Để xác định một mặt cầu khi và chỉ khi $R^2=a^2+b^2+c^2-d>0.$

II. Thông hiểu

Câu 6. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-4x-2y+2z-3=0$ và một điểm $M\left(4;2;-2\right)$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Điểm M là tâm của mặt cầu (S).

B. Điểm M nằm trên mặt cầu (S).

C. Điểm M nằm trong mặt cầu (S).

D. Điểm M nằm ngoài mặt cầu (S).

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $x^2+y^2+z^2-4x-2y+2z-3=0$

          ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=9$

Do đó, tâm của mặt cầu là $I\left(2;1;-1\right)$

Thay $M\left(4;2;-2\right)$ vào phương trình mặt cầu, ta được

${\left(4-2\right)}^2+{\left(2-1\right)}^2+{\left(-2+1\right)}^2=6<9$

Do đó điểm M nằm trong mặt cầu.

Câu 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x+10y+3z+1=0$ đi qua điểm có tọa độ nào sau đây

A. $\left(3;-2;-4\right).$

B. $\left(4;-1;0\right).$

C. $\left(2;1;9\right).$

D. $\left(-1;3;-1\right).$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta thay tọa độ các điểm ở từng đáp án vào phương trình mặt cầu (S).

Với $A\left(3;-2;-4\right)$, có: $3^2+{\left(-2\right)}^2+{\left(-4\right)}^2-2.3+10.\left(-2\right)+3.\left(-4\right)+1=-8\ne 0$

Do đó mặt cầu (S) không đi qua điểm có tọa độ $\left(3;-2;-4\right)$

Với $B\left(4;-1;0\right)$, có: $4^2+{\left(-1\right)}^2+0^2-2.4+10.\left(-1\right)+3.0+1=0$

Do đó, mặt cầu (S) đi qua điểm có tọa độ $\left(4;-1;0\right)$

Với $C\left(2;1;9\right)$, có: $2^2+1^2+9^2-2.2+10.1+3.9+1=120\ne 0.$

Do đó, mặt cầu (S) không đi qua điểm có tọa độ $\left(2;1;9\right)$

Với điểm $D\left(-1;3;-1\right)$, có: ${\left(-1\right)}^2+3^2+{\left(-1\right)}^2-2.\left(-1\right)+10.3+3.\left(-1\right)+1=41\ne 0$

Do đó, mặt cầu (S) không đi qua điểm có tọa độ $\left(-1;3;-1\right)$

Câu 8. Phương trình mặt cầu tâm $I\left(1;-2;3\right)$ bán kính R = 3 là

A. ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=3.$

B. ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=9.$

C. ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=9.$

D. ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=3.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Phương trình mặt cầu tâm $I\left(1;-2;3\right)$ bán kính R = 3 là

${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=3^2$ hay ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=9.$

Câu 9. Xác định tâm và bán kính mặt cầu $x^2+y^2+z^2+8x-6y+2z-10=0$ ta được

A. Tâm $I\left(-4;3;-1\right)$ và bán kính R = 6

B. Tâm $I\left(-4;3;-1\right)$ và bán kính R = 36

C. Tâm $I\left(-4;3;-1\right)$ và bán kính R = 6

D. Tâm $I\left(-4;3;-1\right)$ và bán kính R = 36

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $x^2+y^2+z^2+8x-6y+2z-10=0$

$\iff {\left(x+4\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=36$

$\iff {\left(x+4\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=6^2.$

Vậy ta được Tâm $I\left(-4;3;-1\right)$ và bán kính R = 6

III. Vận dụng

Câu 10. Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) đi qua điểm O và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C khác O thỏa mãn tam giác ABC có trọng tâm là điểm $G\left(-6;-12;18\right)$. Tọa độ tâm của mặt cầu (S) là

A. $\left(9;18;-27\right).$

B. $\left(-3;-6;9\right).$

C. $\left(3;6;-9\right).$

D. $\left(-9;-18;27\right).$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

Gọi $A\left(a;0;0\right),B\left(0;b;0\right),C\left(0;0;c\right)$

Tam giác ABC có trọng tâm $G\left(-6;-12;18\right)$ nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{a+0+0}{3}=-6\\ \frac{0+b+0}{3}=-12\\ \frac{0+0+c}{3}=18\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-18\\ b=-36\\ c=54\end{array}\right.$

Suy ra $A\left(-18;0;0\right),B\left(0;-36;0\right),C\left(0;0;54\right)$

Gọi $I\left(x;y;z\right)$ , ta có: $\left\{\begin{array}{l}IO=IA\\ IA=IB\\ IB=IC\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}I{O}^2=I{A}^2\\ I{A}^2=I{B}^2\\ I{B}^2=I{C}^2\end{array}\right.$.

$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2={\left(x+18\right)}^2+y^2+z^2\\ {\left(x+18\right)}^2+y^2+z^2=x^2+{\left(y+36\right)}^2+z^2\\ x^2+{\left(y+36\right)}^2+z^2=x^2+y^2+{\left(z-54\right)}^2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}36x+324=0\\ 36x+324-72y-1296=0\\ 72y+1296+108z-2916=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=-9\\ y=-18\\ z=27\end{array}\right.$

Vậy tâm của mặt cầu là $I\left(-9;-18;27\right).$

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI

Câu hỏi. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-6x+4y-12=0$.

a) Mặt cầu (S) có tâm I(3; −2; 0) và bán kính R = 8.

b) Điểm K(1; −2; 0) thuộc mặt cầu (S).

c) Đường kính của mặt cầu bằng 10.

d) Mặt phẳng (P): $3x-4y+5z-17+20\sqrt{2}=0$ cắt (S) theo một đường tròn có bán kính r=3.

Hiển thị đáp án

a) $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-6x+4y-12=0$ $\iff {\left(x-3\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+z^2=25$.

Suy ra mặt cầu (S) có tâm I(3; −2; 0) và bán kính R = 5.

b) Thay tọa độ điểm K vào phương trình mặt cầu ta được $1^2+{\left(-2\right)}^2+0^2-6.1+4.\left(-2\right)-12=-21\ne 0$.

Do đó điểm K không thuộc mặt cầu (S).

c) Đường kính của mặt cầu là 2R = 2.5 = 10.

d) Ta có $d\left(I,\left(P\right)\right)=\frac{\left|3.3-4.\left(-2\right)+5.0-17+20\sqrt{2}\right|}{\sqrt{3^2+{\left(-4\right)}^2+5^2}}=\frac{20\sqrt{2}}{5\sqrt{2}}=4$.

Bán kính của đường tròn $r=\sqrt{R^2-d^2\left(I,\left(P\right)\right)}=\sqrt{5^2-4^2}$$=3$.

Đáp án: a) Sai;   b) Sai;   c) Đúng;  d) Đúng.

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1. Một khu vực đã được thiết lập một hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên các trục là mét). Một flycam đang ở vị trí I phát sóng wifi bao phủ một vùng không gian bên trong mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-20\right)}^2+{\left(y-30\right)}^2+{\left(z-10\right)}^2$$=400$. Một người đang sử dụng máy tính tại điểm M nằm trên điểm giao của mặt cầu (S) và mặt đất (P): z = 0. Biết IJ của đoạn vuông góc từ I đến (P). Tính độ dài đoạn JM (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét).

Hiển thị đáp án

Mặt cầu (S) có tâm I(20; 30; 10), R = 20.

Ta có $IJ=d\left(I,\left(P\right)\right)=10$.

Ta có tam giác IJM vuông tại J.

Có $JM=\sqrt{I{M}^2-I{J}^2}=\sqrt{{20}^2-{10}^2}$$=10\sqrt{3}\approx 17,3$ m.

Trả lời: 17,3.

Câu 2. Một công ty sản xuất đèn LED trang trí cho các lễ hội. Một trong những sản phẩm mới là một đèn LED hình cầu với các dây đèn nằm đều bên trong. Để đảm bảo ánh sáng tỏa ra đều từ mọi hướng, tâm của đèn LED cần được đặt đúng tại ví trí của tâm hình cầu. Giả sử một quả cầu đèn LED có phương trình mặt cầu là ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2+{\left(z+2\right)}^2=49$. Một bóng đèn nhỏ nằm tại điểm (4; 7; −2). Tính khoảng cách từ bóng đèn nhỏ đến tâm quả cầu đèn LED.

Hiển thị đáp án

Mặt cầu có tâm I(1; 3; −2) và R = 7.

Giả sử A(4; 7; −2).

Khoảng cách từ bóng đèn nhỏ đến tâm quả cầu đèn LED là $IA=\sqrt{{\left(4-1\right)}^2+{\left(7-3\right)}^2+{\left(-2+2\right)}^2}$$=5$.

Trả lời: 5.

TRẮC NGHIỆM ONLINE

Xem thêm bài tập trắc nghiệm Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo có đáp án hay khác:

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

• Trắc nghiệm tổng hợp Toán 12 Chương 5

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1: Xác suất có điều kiện

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 2: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

• Trắc nghiệm tổng hợp Toán 12 Chương 6

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)

---