Công thức tìm hệ số trong khai triển (siêu hay)

Công thức tìm hệ số trong khai triển (siêu hay)

Công thức tìm hệ số trong khai triển Toán lớp 11 sẽ giúp học sinh nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 11.

Bài viết Công thức tìm hệ số trong khai triển gồm 3 phần: Lý thuyết, Công thức, Ví dụ minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh dễ học, dễ nhớ Công thức tìm hệ số trong khai triển Toán 11.

1. Tổng hợp lý thuyết

Xét khai triển: (với a,b là các hệ số; x,y là biến)

(ax + by)ⁿ =    

= C_n⁰aⁿxⁿ + C_n¹a^n-1b.x^n-1y + C_n²a^n-2b.x^n-2y² + ... + C_n^n-1ab^n-1.xy^n-1 + C_nⁿbⁿyⁿ

- Số hạng thứ k + 1 của khai triển: T_k+1 = C_n^ka^n-kb^kx^n-ky^k

- Hệ số của số hạng thứ k + 1 của khai triển:  C_n^ka^n-kb^k

2. Các công thức

* Với khai triển (ax^p + bx^q)ⁿ (p,q là các hằng số)

Ta có: (ax^p + bx^q)ⁿ =  

Số hạng chứa x^m ứng với giá trị k thỏa mãn: np – pk + qk = m 

Từ đó tìm k =  

Vậy hệ số của số hạng chứa x^m là:  C_n^ka^n-k.b^k với giá trị k đã tìm được ở trên.

* Với khai triển P(x) = (a + bx^p + cx^q)ⁿ     (p,q là các hằng số)

Ta có: P(x) = ( a + bx^p + cx^q)ⁿ =    

=  

Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của x^m.

* Chú ý:

- Nếu k không nguyên hoặc k > n thì trong khai triển không chứa x^m, hệ số phải tìm bằng 0.

- Nếu hỏi hệ số không chứa x tức là tìm hệ số chứa x⁰.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm hệ số của x⁹ trong khai triển: (1 – 2x)¹⁵

Lời giải

Khai triển: (1-2x)¹⁵ =  

Cần tìm hệ số của x⁹ nên k = 9.

Vậy hệ số của x⁹ trong khai triển là: C₁₅⁹(-2)⁹ = -2562560 .

Ví dụ 2: Tìm hệ số không chứa x trong khai triển:  

Lời giải

Khai triển:  

 =    

Cần tìm hệ số không chứa x nên 6 - 3k = 0 ⇔ k = 2

Vậy hệ số không chứa x trong khai triển là: C₆²2^6-2 . (-1)² = 240 .

Xem thêm các Công thức Toán lớp 11 quan trọng hay khác:

• Công thức tìm số hạng trong khai triển

• Công thức tính xác suất

• Công thức hoán vị

• Công thức chỉnh hợp

• Công thức tổ hợp

---