Công thức về phép đối xứng tâm đầy đủ (siêu hay)

Công thức về phép đối xứng tâm (siêu hay)

Công thức về phép đối xứng tâm hay nhất sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 11.

Bài viết Công thức về phép đối xứng tâm hay nhất gồm 4 phần: Lý thuyết, Công thức, Ví dụ minh họa và Bài tập tự luyện có lời giải chi tiết giúp học sinh dễ học, dễ nhớ Công thức về phép đối xứng tâm hay nhất Toán 11.

1. Lí thuyết

* Định nghĩa: Cho điểm I. Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M  khác I thành M’ sao cho I là trung điểm của MM’ được gọi là phép đối xứng tâm I.

Điểm I được gọi là tâm đối xứng.

Phép đối xứng tâm I thường được kí hiệu là Đ_I.

Từ định nghĩa suy ra: M’ = Đ_I(M)

* Tính chất: 

- Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

- Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

- Biến một vectơ thành 1 vectơ đối với nó.

- Biến tam giác thành tam giác bằng nó.

- Biến một góc thành một góc bằng nó.

- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

2. Công thức

Trong hệ tọa độ Oxy, cho I(a;b) và M(x;y). Ta có: Đ_I(M) = M’(x’; y’) có biểu thức tọa độ:  

Với tâm đối xứng là gốc tọa độ O(0; 0), ta có M’(x’; y’) = Đ_O[M(x; y)] thì  ANH

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho điểm A(-2;3), đường thẳng d: x − 2y + 5 = 0 và đường tròn (C): (x – 1)² + (y + 2)² = 4.

a) Tìm ảnh của điểm A qua phép đối xứng tâm O.

b) Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O.

c) Tìm ảnh của đường tròn qua phép đối xứng tâm O.

Lời giải

a) Gọi A’ là ảnh của A qua phép đối xứng tâm O

Ta có: A’ = Đ_O(A) suy ra A’(2; -3).

b) Gọi d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O

Ta có: d’ song song hoặc trùng với d. Phương trình d’ có dạng: x − 2y + c = 0.

Lấy điểm M(-5;0)∈ d. Gọi M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O, khi đó M' ∈ d' .

Vậy phương trình đường thẳng d’ là: x − 2y – 5 = 0.

c) Đường tròn (C) có tâm I(1;-2) và bán kính R = 2.

Gọi (C’) là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm O

Khi đó (C’) có bán kính R = 2 và tâm I’ là ảnh của I qua phép đối xứng tâm O.

Vậy phương trình đường tròn (C’): (x + 1)² + (y - 2)² = 4.

Ví dụ 2: Cho điểm I(3; -4) và đường thẳng d: 5x + 2y – 3 = 0. Viết phương trình d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I.

Lời giải

Cách 1: 

Vì d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I

Nên d’ song song hoặc trùng với d. Phương trình d’ có dạng: 5x + 2y + c = 0.

Lấy điểm M(1;-1) ∈ d . Gọi M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I, khi đó M' ∈  d' .

Vậy phương trình đường thẳng d’: 5x + 2y – 11  = 0.

Cách 2: 

Lấy M(x,y) bất kì thuộc d. Gọi M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I, khi đó M' ∈  d'  .

Vậy phương trình đường thẳng d’ là: 5x + 2y − 11 = 0.

4. Bài tập tự luyện

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép đối xứng tâm O(0; 0) biến điểm M(-3; 2) thành điểm M’ có tọa độ là:

A.  M’(-4; 2)              B. M’(2; -3)               C. M’(-2; 3)                    D.  M’(2; 3)

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: 3x – 2y – 1 = 0. Ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O có phương trình là:

A. 3x + 2y + 1 = 0                                       B. -3x + 2y – 1 = 0

C. 3x + 2y – 1 = 0                                        D. 3x – 2y – 1 = 0

Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm phương trình đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C): x² + y² = 1 qua phép đối xứng tâm I(1;0).

A. (C'): (x – 2)² + y² = 1                               B. (C'): (x + 2)² + y² = 1  

C. (C'): x² + (y + 2)² = 1                               D. (C'): x² + (y – 2)² = 1

Đáp án 1B, 2B, 3A

5. Bài tập bổ sung

Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy, ảnh của điểm A(5; 3) qua phép đối xứng tâm I(4; 1) là?

Bài 2. Cho I(2;−3), d: 3x + 2y – 1 = 0. Viết phương trình d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I.

Bài 3. Cho đường tròn (C): (x + 2)² + (y − 1)² = 1. Viết phương trình (C’) là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm O(0; 0).

Bài 4. Phép đối xứng tâm O(0; 0) biến điểm A(m;-m) thành điểm A' nằm trên đường thẳng x - y + 6 = 0. Tìm m.

Bài 5. Cho A(-1; 3), d: x − 2y + 3 = 0. Tìm ảnh của điểm A và d qua phép đối xứng tâm O.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 11 quan trọng hay khác:

• Công thức về phép tịnh tiến

• Công thức về phép đối xứng trục

• Công thức về phép quay

• Công thức về phép vị tự

• Công thức về phép đồng dạng

---