Công thức về phép đối xứng tâm hay nhất | Toán lớp 11

Công thức về phép đối xứng tâm hay nhất

Công thức về phép đối xứng tâm hay nhất Toán lớp 11 sẽ giúp học sinh nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 11.

Bài viết Công thức về phép đối xứng tâm hay nhất gồm 4 phần: Lý thuyết, Công thức, Ví dụ minh họa và Bài tập tự luyện có lời giải chi tiết giúp học sinh dễ học, dễ nhớ Công thức về phép đối xứng tâm hay nhất Toán 11.

1. Lí thuyết

* Định nghĩa: Cho điểm I. Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M  khác I thành M’ sao cho I là trung điểm của MM’ được gọi là phép đối xứng tâm I.

Công thức về phép đối xứng tâm hay nhất

Điểm I được gọi là tâm đối xứng.

Phép đối xứng tâm I thường được kí hiệu là ĐI.

Từ định nghĩa suy ra: M’ = ĐI(M)Công thức về phép đối xứng tâm hay nhất

* Tính chất: 

- Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

- Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

- Biến một vectơ thành 1 vectơ đối với nó.

- Biến tam giác thành tam giác bằng nó.

- Biến một góc thành một góc bằng nó.

- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

2. Công thức

Trong hệ tọa độ Oxy, cho I(a;b) và M(x;y). Ta có: ĐI(M) = M’(x’; y’) có biểu thức tọa độ:  

Công thức về phép đối xứng tâm hay nhất

Với tâm đối xứng là gốc tọa độ O(0; 0), ta có M’(x’; y’) = ĐO[M(x; y)] thì  ANH

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho điểm A(-2;3), đường thẳng d: x − 2y + 5 = 0 và đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 2)2 = 4.

a) Tìm ảnh của điểm A qua phép đối xứng tâm O.

b) Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O.

c) Tìm ảnh của đường tròn qua phép đối xứng tâm O.

Lời giải

a) Gọi A’ là ảnh của A qua phép đối xứng tâm O

Ta có: A’ = ĐO(A) suy ra A’(2; -3).

b) Gọi d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O

Ta có: d’ song song hoặc trùng với d. Phương trình d’ có dạng: x − 2y + c = 0.

Lấy điểm M(-5;0)∈ d. Gọi M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O, khi đó M' ∈ d' .

Công thức về phép đối xứng tâm hay nhất

Vậy phương trình đường thẳng d’ là: x − 2y – 5 = 0.

c) Đường tròn (C) có tâm I(1;-2) và bán kính R = 2.

Gọi (C’) là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm O

Khi đó (C’) có bán kính R = 2 và tâm I’ là ảnh của I qua phép đối xứng tâm O.

Công thức về phép đối xứng tâm hay nhất

Vậy phương trình đường tròn (C’): (x + 1)2 + (y - 2)2 = 4.

Ví dụ 2: Cho điểm I(3; -4) và đường thẳng d: 5x + 2y – 3 = 0. Viết phương trình d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I.

Lời giải

Cách 1: 

Vì d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I

Nên d’ song song hoặc trùng với d. Phương trình d’ có dạng: 5x + 2y + c = 0.

Lấy điểm M(1;-1) ∈ d . Gọi M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I, khi đó M' ∈  d' .

Công thức về phép đối xứng tâm hay nhất

Vậy phương trình đường thẳng d’: 5x + 2y – 11  = 0.

Cách 2: 

Lấy M(x,y) bất kì thuộc d. Gọi M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I, khi đó M' ∈  d'  .

Công thức về phép đối xứng tâm hay nhất

Vậy phương trình đường thẳng d’ là: 5x + 2y − 11 = 0.

4. Bài tập tự luyện

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép đối xứng tâm O(0; 0) biến điểm M(-3; 2) thành điểm M’ có tọa độ là:

A.  M’(-4; 2)              B. M’(2; -3)               C. M’(-2; 3)                    D.  M’(2; 3)

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: 3x – 2y – 1 = 0. Ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O có phương trình là:

A. 3x + 2y + 1 = 0                                       B. -3x + 2y – 1 = 0

C. 3x + 2y – 1 = 0                                        D. 3x – 2y – 1 = 0

Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm phương trình đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C): x2 + y2 = 1 qua phép đối xứng tâm I(1;0).

A. (C'): (x – 2)2 + y= 1                               B. (C'): (x + 2)2 + y= 1  

C. (C'): x2 + (y + 2)2 = 1                               D. (C'): x2 + (y – 2)2 = 1

Đáp án 1B, 2B, 3A

5. Bài tập bổ sung

Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy, ảnh của điểm A(5; 3) qua phép đối xứng tâm I(4; 1) là?

Bài 2. Cho I(2;−3), d: 3x + 2y – 1 = 0. Viết phương trình d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I.

Bài 3. Cho đường tròn (C): (x + 2)2 + (y − 1)2 = 1. Viết phương trình (C’) là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm O(0; 0).

Bài 4. Phép đối xứng tâm O(0; 0) biến điểm A(m;-m) thành điểm A' nằm trên đường thẳng x - y + 6 = 0. Tìm m.

Bài 5. Cho A(-1; 3), d: x − 2y + 3 = 0. Tìm ảnh của điểm A và d qua phép đối xứng tâm O.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 11 quan trọng hay khác:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official


Đề thi, giáo án các lớp các môn học
Tài liệu giáo viên