Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác | Toán lớp 11

Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác

Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác Toán lớp 11 sẽ giúp học sinh nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 11.

Bài viết Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác gồm 4 phần: Lý thuyết, Công thức, Ví dụ minh họa và Bài tập tự luyện có lời giải chi tiết giúp học sinh dễ học, dễ nhớ Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác Toán 11.

1. Lý thuyết

Biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác:

Cung lượng giác Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác,k ∈ Z được biểu diễn bởi m điểm trên đường tròn lượng giác (các điểm cách nhau đúng góc Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác )

Bước 1: Xác định điểm M biểu diễn cung α .

Bước 2: Xác định m – 1 điểm còn lại cách đều điểm M một góc Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác. (Hoặc chia đường tròn thành m phần bằng nhau, bắt đầu chia từ điểm M, ta được m – 1 điểm còn lại).

2. Công thức:

Sau khi biểu diễn họ nghiệm trên đường tròn lượng giác

* Ta hợp các nghiệm bằng cách: 

- Tìm ra các điểm cách đều nhau. Tìm khoảng cách giữa chúng là β.

- Công thức biểu diễn các điểm đó là x = α + kβ (k ∈ Z)  với α là 1 cung bất kì của 1 điểm trong các điểm đó.

* Loại nghiệm: 

- Ta bỏ đi những điểm không xác định và tìm công thức biểu diễn các điểm còn lại như phần hợp nghiệm.

                            Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Hợp các họ nghiệm sau:

Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác

Lời giải

a) Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác 

Bước 1: Biểu diễn x = kπ = 0 + (k ∈ Z) trên đường tròn lượng giác.

- Xác định điểm M1 biểu diễn cung 0.

- Điểm còn lại cách M1 một góc π (tức nửa đường tròn lượng giác) là điểm M2 trên hình vẽ.

Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác

Bước 2: Biểu điễn Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác trên đường tròn lượng giác.

- Xác định điểm N1 biểu diễn cung Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác.

- Điểm còn lại cách N1 một góc π (tức nửa đường tròn lượng giác) là điểm N2 trên hình vẽ.

Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác

Bước 3: Hợp nghiệm

Ta thấy 4 điểm cách đều nhau một góc Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác 

Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác

Công thức biểu diễn 4 điểm đó là: Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác

b) Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác 

Bước 1: Biểu diễn Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác trên đường tròn lượng giác. 

- Xác định điểm M1 biểu diễn cung Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác.

- Điểm còn lại cách M1 một góc π (tức nửa đường tròn lượng giác) là điểm M2 trên hình vẽ.

Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác

Bước 2: Biểu diễn Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác trên đường tròn lượng giác. 

- Xác định điểm N1 biểu diễn cung Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác.

- Điểm còn lại cách N1 một góc π (tức nửa đường tròn lượng giác) là điểm N2 trên hình vẽ.

Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác

Bước 3: Hợp nghiệm

Ta thấy 4 điểm cách đều nhau một góc Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác và chọn điểm bắt đầu là Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác.

Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác

Công thức biểu diễn 4 điểm đó là: Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác

c) Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác 

Bước 1: Biểu diễn Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác trên đường tròn lượng giác. (Có 6 điểm biểu diễn)

- Xác định điểm M1 biểu diễn cung 0.

- Điểm còn lại cách M1 một góc Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác (hoặc chia đường tròn thành 6 phần, bắt đầu chia từ điểm M1) là các điểm M2; M3; M4; M5; M6 trên hình vẽ.

Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác

Bước 2: Biểu diễn điểm x ≠ π + k2π (k ∈ Z) trên đường tròn lượng giác.

-  Xác định điểm N biểu diễn cung π.

- Các điểm còn lại cách N đúng 2π (tức là 1 vòng tròn lượng giác). Tức là chỉ có 1 điểm N biểu diễn x ≠ π + k2π (k ∈ Z) trên đường tròn.

Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác

Bước 3: Loại nghiệm

Ta thấy điểm M4 trùng với N. Nên ta chỉ nhận các điểm M1; M2; M3; M5; M6.

- Điểm M2; M5 cách nhau một góc π và chọn điểm bắt đầu là M2 có góc lượng giác là Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác. Công thức biểu diễn hai điểm M2; M5 là x = Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác + kπ(k ∈ Z).

- Điểm M3; M6 cách nhau một góc   và chọn điểm bắt đầu là M6 có góc lượng giác là -Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác. Công thức biểu diễn hai điểm M3; M6 là x = -Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác + kπ(k ∈ Z).

- Điểm M1: công thức biểu diễn là x = 0 + k2π(k ∈ Z)..

Vậy các họ nghiệm thu được là Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giácx =2kπ(k ∈ Z)

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) sin2x – 2sinx = 0

b) tan3x = tanx 

Lời giải

a) Ta có: sin2x – 2sinx = 0

⇔ 2sinxcosx - 2sinx = 0

⇔ 2sinx (cosx - 1) = 0

Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác

Ta kết hợp nghiệm:

Bước 1: Biểu diễn x = kπ = 0 + kπ (k ∈ Z) trên đường tròn lượng giác.

- Xác định điểm M1 biểu diễn cung 0.

- Điểm còn lại cách M1 một góc π (tức nửa đường tròn lượng giác) là điểm M2 trên hình vẽ.

Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác

Bước 2: Biểu điễn x = k2π(k ∈ Z) trên đường tròn lượng giác.

-  Xác định điểm N biểu diễn cung 0.

- Các điểm còn lại cách N đúng 2π (tức là 1 vòng tròn lượng giác). Tức là chỉ có 1 điểm N biểu diễn x = k2π(k ∈ Z) trên đường tròn.

Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác

Bước 3: Kết hợp nghiệm

Ta thấy hai họ nghiệm lồng nhau. Vậy chỉ cần lấy họ nghiệm x = kπ(k ∈ Z)

Kết luận: Họ nghiệm của phương trình là x = kπ(k ∈ Z)

b) tan3x = tanx 

Điều kiện xác định: Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác    

Ta có: tan3x = tanx 

⇔ 3x = x +

⇔ 2x = kπ 

⇔ x = kCông thức gộp nghiệm phương trình lượng giác(k ∈ Z)

Kết hợp với điều kiện xác định như sau:

Bước 1: Biểu diễn x = Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giáck = Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác (k ∈ Z) trên đường tròn lượng giác. (Có 4 điểm biểu diễn)

- Xác định điểm M1 biểu diễn cung 0.

- Điểm còn lại cách M1 một góc Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác (hoặc chia đường tròn thành 4 phần, bắt đầu chia từ điểm M1) là các điểm M2; M3; M4 trên hình vẽ.

Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác

Bước 2: Biểu diễn Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác trên đường tròn lượng giác. (Có 6 điểm biểu diễn)

- Xác định điểm N1 biểu diễn cung Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác

- Điểm còn lại cách N1 một góc Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác(hoặc chia đường tròn thành 6 phần, bắt đầu chia từ điểm N1) là các điểm N2; N3; N4; N5; N6 trên hình vẽ.

Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác

Bước 3: Biểu điễn Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác trên đường tròn lượng giác.

- Xác định điểm P1 biểu diễn cung Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác.

- Điểm còn lại cách P1 một góc π (tức nửa đường tròn lượng giác) là điểm P2 trên hình vẽ.

Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác

Bước 4: Loại nghiệm

Nghiệm của phương trình là các điểm M. Các điểm không thỏa mãn điều kiện xác định là các điểm N, P.

Theo hình vẽ ta chỉ lấy được nghiệm là biểu diễn bởi điểm M1 và M3.

Điểm M1; M3 cách nhau một góc π và chọn điểm bắt đầu là M1 có góc lượng giác là 0. Công thức biểu diễn hai điểm M1; M3 là x = kπ (k ∈ Z)  hay x = kπ;k ∈ Z .

Vậy họ nghiệm của phương trình là: x = kπ;k ∈ Z .

4. Bài tập tự luyện

Câu 1. Phương trình Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giáccó nghiệm là:

A.                           B. k2π                        C. Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác               D. (2k + 1)π  

Câu 2. Cho phương trình Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác. Các nghiệm của phương trình là:

Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác

Câu 3. Phương trình lượng giác Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác  có nghiệm là: 

Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác

Đáp án: 1 – B, 2 – B, 3 – B 

Xem thêm các Công thức Toán lớp 11 quan trọng hay khác:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official


Đề thi, giáo án các lớp các môn học
Tài liệu giáo viên