Công thức Toán 11 Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác quan trọng

Công thức Toán 11 Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác quan trọng

Nhằm mục đích giúp học sinh dễ dàng nhớ và nắm vững các công thức Toán 11, VietJack biên soạn tài liệu trọn bộ công thức Toán lớp 11 Đại số và Giải tích Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác đầy đủ công thức quan trọng, lý thuyết và bài tập tự luyện giúp học sinh vận dụng và làm bài tập thật tốt môn Toán lớp 11.

• Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác

• Công thức giải phương trình lượng giác cơ bản

• Công thức biến đổi biểu thức asinx + bcosx

• Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác

---

---

---

Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác

1. Lí thuyết

a) Sử dụng tính bị chặn của hàm số lượng giác

-1 ≤ sin[u(x)] ≤ 1; 0 ≤ sin²[u(x)] ≤ 1;  

-1 ≤ cos[u(x)] ≤ 1; 0 ≤ cos²[u(x)] ≤ 1;  

b) Dạng y = asinx + bcosx + c  

Bước 1: Đưa hàm số về dạng chỉ chứa sin[u(x)] hoặc cos[u(x)]:

y = asinx + bcosx + c =   

⇔ y = .sin(x + α ) + c với α thỏa mãn

Bước 2: Đánh giá -1 ≤ sin[x + α] ≤ 1 ∀x ∈ R 

2. Công thức

a) Dạng y = asin[u(x)] + b hoặc y = acos[u(x)] + b

Ta có: –|a| + b ≤ y ≤ |a| + b 

Hàm số có giá trị nhỏ nhất là –|a| + b và giá trị lớn nhất là |a| + b.

b) Dạng y = asin²[u(x)] + b ; y = a|sin[u(x)]| + b; 

Dạng y = acos²[u(x)] + b; y = a|cos[u(x)]| + b (với a khác 0)

+ Trường hợp 1: a > 0. Ta có: b ≤ y ≤ a + b  .

Hàm số có giá trị nhỏ nhất là b và giá trị lớn nhất là a + b.

+ Trường hợp 2: a < 0. Ta có: a + b ≤ y ≤ b .

Hàm số có giá trị nhỏ nhất là a + b và giá trị lớn nhất là b.

c) Dạng y = asinx + bcosx + c

Ta có:   

Hàm số có giá trị nhỏ nhất là  và giá trị lớn nhất là 

Công thức giải phương trình lượng giác cơ bản

1. Lí thuyết

* Công thức nghiệm cơ bản

a) Phương trình sin x = m 

Trường hợp 1: |m| > 1. Phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2: |m| ≤ 1. Phương trình có nghiệm.

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng sin của những góc đặc biệt thì:

sinx = m ⇔ sinx = sinα ⇔  

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng sin của những góc đặc biệt thì:

sinx = m ⇔

- Các trường hợp đặc biệt:

sinx = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z)

sinx = 1 ⇔ x =  + k2π (k ∈ Z)

sinx = -1 ⇔ x = - + k2π (k ∈ Z)

b) Phương trình cos x = m

Trường hợp 1: |m| > 1. Phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2: |m| ≤ 1 . Phương trình có nghiệm.

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng cos của những góc đặc biệt thì:

 

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng cos của những góc đặc biệt thì:

 

- Các trường hợp đặc biệt:

cosx = 0 ⇔ x =  + kπ (k ∈ Z)

cosx = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ Z)

cosx = -1 ⇔ x = π + k2π (k ∈ Z)

c) Phương trình: tan x = m. Điều kiện: x ≠ + kπ (k ∈ Z)

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng tan của những góc đặc biệt thì:

tan x = m ⇔ tan x = tan α ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z)   

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng tan của những góc đặc biệt thì:

tan x = m ⇔ x = αrctan m + kπ (k ∈ Z)

d) Phương trình: cot x = m. Điều kiện: x ≠ kπ (k ∈ Z) 

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng cot của những góc đặc biệt thì:

cot x = m ⇔ cot x = cot α ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z) 

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng cot của những góc đặc biệt thì:

cot x = m ⇔ x = αrccot m + kπ (k ∈ Z)

* Mở rộng công thức nghiệm, với u(x) và v(x) là hai biểu thức của x.

 

cos u(x) = cos v(x) ⇔ u(x) =  + k2π (k ∈ Z)

tan u(x) = tan v(x) ⇔ u(x) = v(x) + kπ (k ∈ Z)

cot u(x) = cot v(x) ⇔ u(x) = v(x) + kπ (k ∈ Z) 

2. Công thức

Khi đã cho số m, ta có thể tìm các giá trị arcsin m, arccos m, arctan m, arccot m bằng máy tính bỏ túi với các phím sin^-1; cos^-1; tan^-1.

Bước 1. Chỉnh chế độ rad hoặc độ

- Muốn tìm số đo radian: 

ta ấn qw4 (đối với Casio fx - 570VN) 

ta ấn qw22 (đối với Casio fx - 580VN X)

-  Muốn tìm số đo độ: 

ta ấn qw3 (đối với Casio fx - 570VN) 

ta ấn qw21 (đối với Casio fx - 580VN X)

Bước 2. Tìm số đo góc

Tìm góc α khi biết sin của góc đó bằng m, ta ấn lần lượt qj m =.

Tương tự đối với cos và tan.

Chú ý: Muốn tìm góc α khi biết cot của góc đó bằng m, ta ấn lần lượt ql1a m $)=.

Sau đó áp dụng công thức lượng giác để giải phương trình.

..........................

..........................

..........................

Trên đây là tóm lược một số nội dung có trong tổng hợp công thức Toán lớp 11 Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác, mời quí bạn đọc vào từng bài để xem đầy đủ, chi tiết!

---