Công thức tìm số hạng trong khai triển (siêu hay)

Công thức tìm số hạng trong khai triển Toán lớp 11 sẽ giúp học sinh nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 11.

Công thức tìm số hạng trong khai triển (siêu hay)

1. Tổng hợp lý thuyết tìm số hạng trong khai triển

Xét khai triển: (với a,b là các hệ số; x, y là biến)

(ax + by)ⁿ = C_n^k(ax)^n-k(by)^k

= C_n⁰aⁿxⁿ + C_n¹a^n-1b.x^n-1y + C_n²a^n-2y² + ... + C_n^n-1ab^n-1.xy^n-1 + C_nⁿbⁿyⁿ  

- Số hạng thứ k + 1 của khai triển: T_k+1 = C_a^ka^n-kb^kx^n-ky^k

- Hệ số của số hạng thứ k + 1 của khai triển:  C_a^ka^n-kb^k

2. Các công thức tìm số hạng trong khai triển

* Với khai triển (ax^p + bx^q)ⁿ (p, q là các hằng số)

Ta có: (ax^p + bx^q)ⁿ = C_n^k(ax^p)^n-k(bx^q)^k = C_n^ka^n-kb^kx^np-pk+kq    

Số hạng chứa x^m ứng với giá trị k thỏa mãn: np – pk + qk = m 

Từ đó tìm k =  

Vậy số hạng chứa x^m là: C_n^ka^n-k.b^kx^m  với giá trị k đã tìm được ở trên.

* Với khai triển P(x) = (a + bx^p + cx^q)ⁿ(p, q là các hằng số)

Ta có:  P(x) = (a + bx^p + cx^q)ⁿ = C_n^ka^n-k(bx^p + cx^q)^k

⁼ C_n^ka^n-kC_k^j (bx^p)^k-j (cx^q)^j  

Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được số hạng chứa x^m.

3. Ví dụ minh họa tìm số hạng trong khai triển

Ví dụ 1: Tìm số hạng thứ 6 trong khai triển: (2 – 3x)²⁰

Lời giải

Khai triển: (2 - 3x)²⁰ = C₂₀^k.2^20-k(-3x)^k 

Số hạng thứ k + 1 của khai triển là: T_k+1 = C₂₀^k2^20-k(-3x)^k  

Cần tìm số hạng thứ 6 nên k = 5.

Vậy số hạng thứ 6 trong khai triển là: T₆ = C₂₀⁵2^20-5(-3x)⁵  = -C₂₀⁵2¹⁵3⁵x⁵ .

Ví dụ 2: Tìm số hạng chứa x⁸ trong khai triển:  

Lời giải

    

Cần tìm số hạng chứa x⁸ nên -36 + 3k + k = 8 ⇔ k = 8

Vậy số hạng chứa x⁸ trong khai triển là C₁₂⁸x⁸ = 495x⁸ .

Xem thêm các Công thức Toán lớp 11 quan trọng hay khác:

• Công thức tính xác suất

• Công thức hoán vị

• Công thức chỉnh hợp

• Công thức tổ hợp

• Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn

---