Công thức Toán 11 Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng quan trọng

Công thức Toán 11 Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng quan trọng

Nhằm mục đích giúp học sinh dễ dàng nhớ và nắm vững các công thức Toán 11, VietJack biên soạn tài liệu trọn bộ công thức Toán lớp 11 Hình học Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng đầy đủ công thức quan trọng, lý thuyết và bài tập tự luyện giúp học sinh vận dụng và làm bài tập thật tốt môn Toán lớp 11.

• Công thức về phép tịnh tiến

• Công thức về phép đối xứng tâm

• Công thức về phép đối xứng trục

• Công thức về phép quay

• Công thức về phép vị tự

• Công thức về phép đồng dạng

---

---

---

Công thức về phép tịnh tiến hay nhất

1. Lí thuyết

Phép tịnh tiến theo vectơ – không được gọi là phép đồng nhất. (Biến mỗi điểm thành chính nó)

* Tính chất

- Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

- Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

- Biến một vecto thành 1 vectơ bằng nó.

- Biến tam giác thành tam giác bằng nó.

- Biến một góc thành một góc bằng nó.

- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

2. Công thức

(Tọa độ ảnh = tọa độ điểm + tọa độ vectơ tịnh tiến)

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ=(1,-5)  , điểm A(2; 2), đường thẳng d: 3x + 4y - 4 = 0, đường tròn: (C): x² + y² – 2x + 4y – 1 = 0. Xác định:

a) Điểm A’ là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo vectơ .

b) Đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ.

c) Đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ .

Lời giải

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai parabol (P): y = x² và (Q): y = x²+ 2x + 2. Tìm phép tịnh tiến T  biến (Q) thành (P).

Lời giải

4. Bài tập tự luyện

Câu 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(0; 1). Ảnh của  điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ   là điểm nào?

A. M'(2; 3)                 B. M'(1; 3)                 C. M'(1; 1)                      D. M'(-1; -1)

Câu 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: x – 2y + 2 = 0. Ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo   có phương trình là:

A. x + 2y + 2 = 0                                          B. x – 2y + 6 = 0             

C. 2x – y + 2 = 0                                          D. 2x + y +2 = 0

Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x² + y² – 2x + 4y – 4 = 0. Ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ   là đường tròn có phương trình:

A. (x – 2)² + (y + 1)² = 16                            B. (x + 2)² + (y – 1)² = 9

C. (x – 2)² + (y + 1)² = 9                              D. (x + 2)² + (y + 1)² = 9

Đáp án 1B, 2B, 3C

Công thức về phép đối xứng tâm hay nhất

1. Lí thuyết

* Định nghĩa: Cho điểm I. Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M  khác I thành M’ sao cho I là trung điểm của MM’ được gọi là phép đối xứng tâm I.

Điểm I được gọi là tâm đối xứng.

Phép đối xứng tâm I thường được kí hiệu là Đ_I.

Từ định nghĩa suy ra: M’ = Đ_I(M)

* Tính chất: 

- Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

- Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

- Biến một vectơ thành 1 vectơ đối với nó.

- Biến tam giác thành tam giác bằng nó.

- Biến một góc thành một góc bằng nó.

- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

2. Công thức

Trong hệ tọa độ Oxy, cho I(a;b) và M(x;y). Ta có: Đ_I(M) = M’(x’; y’) có biểu thức tọa độ:  

Với tâm đối xứng là gốc tọa độ O(0; 0), ta có M’(x’; y’) = Đ_O[M(x; y)] thì  ANH

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho điểm A(-2;3), đường thẳng d: x − 2y + 5 = 0 và đường tròn (C): (x – 1)² + (y + 2)² = 4.

a) Tìm ảnh của điểm A qua phép đối xứng tâm O.

b) Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O.

c) Tìm ảnh của đường tròn qua phép đối xứng tâm O.

Lời giải

a) Gọi A’ là ảnh của A qua phép đối xứng tâm O

Ta có: A’ = Đ_O(A) suy ra A’(2; -3).

b) Gọi d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O

Ta có: d’ song song hoặc trùng với d. Phương trình d’ có dạng: x − 2y + c = 0.

Lấy điểm M(-5;0)∈ d. Gọi M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O, khi đó M' ∈ d' .

Vậy phương trình đường thẳng d’ là: x − 2y – 5 = 0.

c) Đường tròn (C) có tâm I(1;-2) và bán kính R = 2.

Gọi (C’) là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm O

Khi đó (C’) có bán kính R = 2 và tâm I’ là ảnh của I qua phép đối xứng tâm O.

Vậy phương trình đường tròn (C’): (x + 1)² + (y - 2)² = 4.

Ví dụ 2: Cho điểm I(3; -4) và đường thẳng d: 5x + 2y – 3 = 0. Viết phương trình d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I.

Lời giải

Cách 1: 

Vì d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I

Nên d’ song song hoặc trùng với d. Phương trình d’ có dạng: 5x + 2y + c = 0.

Lấy điểm M(1;-1) ∈ d . Gọi M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I, khi đó M' ∈  d' .

Vậy phương trình đường thẳng d’: 5x + 2y – 11  = 0.

Cách 2: 

Lấy M(x,y) bất kì thuộc d. Gọi M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I, khi đó M' ∈  d'  .

Vậy phương trình đường thẳng d’ là: 5x + 2y − 11 = 0.

4. Bài tập tự luyện

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép đối xứng tâm O(0; 0) biến điểm M(-3; 2) thành điểm M’ có tọa độ là:

A.  M’(-4; 2)              B. M’(2; -3)               C. M’(-2; 3)                    D.  M’(2; 3)

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: 3x – 2y – 1 = 0. Ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O có phương trình là:

A. 3x + 2y + 1 = 0                                       B. -3x + 2y – 1 = 0

C. 3x + 2y – 1 = 0                                        D. 3x – 2y – 1 = 0

Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm phương trình đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C): x² + y² = 1 qua phép đối xứng tâm I(1;0).

A. (C'): (x – 2)² + y² = 1                               B. (C'): (x + 2)² + y² = 1  

C. (C'): x² + (y + 2)² = 1                               D. (C'): x² + (y – 2)² = 1

Đáp án 1B, 2B, 3A

..............................

..............................

..............................

Trên đây tóm tắt một số nội dung trong trọn bộ công thức Toán lớp 11 Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng, để xem đầy đủ mời quí bạn đọc vào từng bài ở trên!

---