Công thức biến đổi biểu thức asinx + bcosx - Toán lớp 11

Công thức biến đổi biểu thức asinx + bcosx Toán lớp 11 sẽ giúp học sinh nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 11.

Công thức biến đổi biểu thức asinx + bcosx

1. Lý thuyết biến đổi biểu thức asinx + bcosx

y = asinx + bcosx = (Điều kiện: a² + b² ≠ 0 )

Đặt  

Khi đó: (sinxcosα + cosxsin α)

 

Công thức đặc biệt:

2. Công thức biến đổi biểu thức asinx + bcosx

a) Giải phương trình asinx + bcosx = c. Phương trình có nghiệm khi a² + b² ≥ c² .

Ta có:  

(Bấm máy tính để tìm góc α ).

Sau đó, đưa về phương trình lượng giác cơ bản để giải.

b) Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số có dạng y = asinx + bcosx + c

Ta có:  

Hàm số có giá trị nhỏ nhất là - và giá trị lớn nhất là .

                           

3. Ví dụ minh họa biến đổi biểu thức asinx + bcosx

Ví dụ 1: Giải phương trình sau:

a) sin 2x + √3 cos 2x = √2

b) cosx – sinx = 1

Lời giải

a) sin 2x + √3 cos 2x = √2  

    

Vậy họ nghiệm của phương trình là: 

b) cosx – sinx = 1

 

Vậy họ nghiệm của phương trình là: 

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số sau: y = √3 sin5x + cos5x + 1 

Lời giải

Cách 1: Áp dụng công thức ta có: .

Cách 2: Giải chi tiết

Ta có: y = √3 sin5x + cos5x + 1 

 

 

 Ta có -1 ≤ sin(5x +  ) ≤ 1 ∀x ∈ R

⇔ -2 ≤ 2sin(5x +  ) ≤ 2 ∀x ∈ R 

⇔ -1 ≤ 2sin(5x +  ) +  1 ≤ 3 ∀x ∈ R 

⇔ -1 ≤ y ≤ 3 

Vậy hàm số có giá trị lớn nhất là 3 và giá trị nhỏ nhất là -1.

4. Bài tập tự luyện biến đổi biểu thức asinx + bcosx

Câu 1. Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

A. 3sinx + cosx = 3                                      B. √3sinx - cosx = -3 

C. √3sin2x - cos2x = 2                                 D. 3sinx – 4cosx = 5

Câu 2. Phương trình sinx + √3cosx = 2 có tập nghiệm là.

Câu 3. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = sin3x – cos3x + 3 lần lượt là

A. √2 + 3 và -√2 - 3                                    B. √2 + 3  và -√2 + 3 

C. √2 - 3 và -√2 - 3                                    D. √2 - 3  và -√2 + 3  

Đáp án: 1 – B, 2 – C, 3 – B 

Xem thêm các Công thức Toán lớp 11 quan trọng hay khác:

• Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác

• Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác

• Công thức giải phương trình lượng giác cơ bản

---