Công thức về phép quay hay nhất | Toán lớp 11

Công thức về phép quay hay nhất

Công thức về phép quay hay nhất Toán lớp 11 sẽ giúp học sinh nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 11.

Bài viết Công thức về phép quay hay nhất gồm 4 phần: Lý thuyết, Công thức, Ví dụ minh họa và Bài tập tự luyện có lời giải chi tiết giúp học sinh dễ học, dễ nhớ Công thức về phép quay hay nhất Toán 11.

1. Lý thuyết

* Định nghĩa: Cho điểm O và góc lượng giác  . Phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM’ = OM và góc lượng giác (OM; OM’) bằng   được gọi là phép quay tâm O góc  .

Điểm O được gọi là tâm quay, còn   được gọi là góc quay của phép quay đó.

Phép quay tâm O góc   biến điểm M thành M’ thường được kí hiệu là Q_(O,α)

* Tính chất:

- Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm

- Biến đường thẳng thành đường thẳng .

- Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.

- Biến tam giác thành tam giác bằng nó.

- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

2. Công thức:

Phép quay tâm O, góc 90⁰: Q_(o;90^o_) [ M(x;y)] = M’(x’;y’). Khi đó:

Phép quay tâm O, góc -90⁰: Q_(o;-90^o_) [ M(x;y)] = M’(x’;y’). Khi đó:

Phép quay tâm O, góc 180⁰: Q_(o;180^o_) [ M(x;y)] = M’(x’;y’). Khi đó:

Tổng quát: 

Phép quay tâm O, góc quay  : Q_{(O,α) [} M(x;y)] = M’(x’;y’). 

Phép quay tâm I(a;b), góc quay  : Q_{(I, ∞) [} M(x;y)] = M’(x’;y’).

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1;5).

a) Tìm tọa độ điểm B là ảnh của điểm A qua phép quay tâm O(0; 0) góc quay –90⁰ .

b) Tìm tọa độ điểm C là ảnh của điểm A qua phép quay tâm O(0; 0) góc quay 45⁰ .

Lời giải

a) Điểm B là ảnh của điểm A qua phép quay Q_(O,-90^o₎

Cách 1: Vẽ hình

Dựa vào vẽ, ta suy ra B(5;1).

Cách 2: Áp dụng công thức:

b) Điểm C là ảnh của điểm A qua phép quay Q_(O,45^o₎

.

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: 5x – 3y + 15 = 0.

Tìm đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép quay tâm O(0;0) góc quay –90⁰ .

Lời giải

Đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép quay Q_(O,-90^o₎

Cách 1:

Do Q_(O,-90^o₎(d) = d’ nên d' ⊥ d . Do đó phương trình d’ có dạng: 3x + 5y + c = 0.

Lấy điểm M(-3;0) ∈ d , gọi M’(x’;y’) ∈ d’ là ảnh của điểm M qua phép quay Q_(O,-90^o₎

Do M'(0;-3) ∈ d'  nên 3.0 + 5.3 + c = 0  ⇒ c = -15

Vậy d’ có phương trình là 3x + 5y – 15 = 0.              

Cách 2:

Với mọi điểm M(x;y) ∈ d, M’(x’;y’) ∈ d’ sao cho Q_(O,-90^o₎(M) = M’.

4. Bài tập tự luyện

Câu 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1;-5). Tìm ảnh của M qua phép quay tâm O, góc quay 90⁰

A. N(5;1)                   B. N(5;-1)                  C. N(1;5)                   D. N(1;-5)

Câu 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: 5x – 2y + 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm O, góc quay -180⁰

A. d’: 5x – 2y + 6 = 0                                   B. d’: 5x – 2y – 3 = 0 

C. d’: 2x – 5y – 3 = 0                                   D. d’: 2x – 5y + 6 = 0 

Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x² + y² + 6x + 5 = 0. Ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay 90⁰ là:

A. x² + (y – 3)=2² = 4                                   B. x² + y² + 6x – 6 = 0

C. x² + (y + 3)=2² = 4                                    D. x² + y² + 6x – 5 = 0

Đáp án 1A, 2B, 3C

5. Bài tập bổ sung

Bài 1. Trong mặt phẳng có tọa độ Oxy cho một đường thẳng d: 3x – 5y + 15 = 0.

Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d thông qua phép quay tâm O(0; 0) góc quay 90°.

Bài 2. Cho điểm M(3; 4), tìm ảnh của điểm M qua phép quay tâm O và góc quay bằng 30°.

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; 3). Tìm tọa độ điểm A’ là ảnh của A qua phép quay Q(O; −45°) .

Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm phép quay Q biến điểm A(−1; 5) thành điểm A′(5; 1).

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phép quay tâm O góc quay α biến điểm M(x;y) thành điểm M′$\left(\frac{1}{2}x-\frac{\sqrt{3}}{2}y;\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y\right)$.  Tìm α.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 11 quan trọng hay khác:

• Công thức về phép tịnh tiến

• Công thức về phép đối xứng tâm

• Công thức về phép đối xứng trục

• Công thức về phép vị tự

• Công thức về phép đồng dạng

---