Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác

Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác Toán lớp 11 sẽ giúp học sinh nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 11.

Bài viết Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác gồm 4 phần: Lý thuyết, Công thức, Ví dụ minh họa và Bài tập tự luyện có lời giải chi tiết giúp học sinh dễ học, dễ nhớ Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác Toán 11.

1. Lí thuyết

a) Sử dụng tính bị chặn của hàm số lượng giác

-1 ≤ sin[u(x)] ≤ 1; 0 ≤ sin2[u(x)] ≤ 1; Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác 

-1 ≤ cos[u(x)] ≤ 1; 0 ≤ cos2[u(x)] ≤ 1; Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác 

b) Dạng y = asinx + bcosx + c  

Bước 1: Đưa hàm số về dạng chỉ chứa sin[u(x)] hoặc cos[u(x)]:

y = asinx + bcosx + c = Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác  

⇔ y = Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác.sin(x + α ) + c với α thỏa mãn Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác

Bước 2: Đánh giá -1 ≤ sin[x + α] ≤ 1 ∀x ∈ R 

Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác

2. Công thức

a) Dạng y = asin[u(x)] + b hoặc y = acos[u(x)] + b

Ta có: –|a| + b ≤ y ≤ |a| + b 

Hàm số có giá trị nhỏ nhất là –|a| + b và giá trị lớn nhất là |a| + b.

b) Dạng y = asin2[u(x)] + b ; y = a|sin[u(x)]| + b; 

Dạng y = acos2[u(x)] + b; y = a|cos[u(x)]| + b (với a khác 0)

+ Trường hợp 1: a > 0. Ta có: b ≤ y ≤ a + b  .

Hàm số có giá trị nhỏ nhất là b và giá trị lớn nhất là a + b.

+ Trường hợp 2: a < 0. Ta có: a + b ≤ y ≤ b .

Hàm số có giá trị nhỏ nhất là a + b và giá trị lớn nhất là b.

c) Dạng y = asinx + bcosx + c

Ta có: Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác  

Hàm số có giá trị nhỏ nhất là Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác và giá trị lớn nhất là Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác

                            Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau:

a) y = 3sin(2x+1) – 7

b) y =Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác 

Lời giải

a) y = 3sin(2x+1) – 7

Cách 1: Áp dụng công thức ta có: -3 - 7 ≤ y ≤ 3 - 7 ⇔ -10 ≤ y ≤ -4   

Cách 2: Giải chi tiết

Ta có -1 ≤ sin( 2x + 1 ) ≤ 1 ∀x ∈ R

-3 ≤ 3sin( 2x + 1 ) ≤ 3 ∀x ∈ R  

-10 ≤ sin( 2x + 1 ) -7 ≤ -4 ∀x ∈ R

⇔ -10 ≤ y ≤ -4 

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là -4 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -10.

b) Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác 

Cách 1: Áp dụng công thức ta có: -2 + 1 ≤ y ≤ 1 ⇔ -1 ≤ y ≤ 1 .

Cách 2: Giải chi tiết

Ta có 0 ≤ cos2 ( x + Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác ) ≤ 1 ∀x ∈ R

0 ≤ 2cos2 ( x + Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác ) ≤ 2 ∀x ∈ R

-2 ≤ -2cos2 ( x + Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác ) ≤ 0 ∀x ∈ R

-1 ≤ -2cos2 ( x + Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác ) + 1 ≤ 1 ∀x ∈ R

-1 ≤ y ≤ 1

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 5sin2x – 12cosx + 2

Lời giải

Cách 1: Áp dụng công thức ta có: Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác  .

Cách 2: Giải chi tiết

Ta có: y = 5sin2x – 12cosx + 2 

Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác 

Ta có -1 ≤ sin(2x - α) ≤ 1 ∀x ∈ R

⇔ -13 ≤ 13sin(2x - α) ≤ 13 ∀x ∈ R  

⇔ -11 ≤ 13sin(2x - α) + 2 ≤ 15 ∀x ∈ R

⇔ -11 ≤ y ≤ 15 

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 15 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -11.

4. Bài tập tự luyện

Câu 1. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác lần lượt là:

A. 4 và 7                    B. -2 và 7                   C. 5 và 9                         D. -2 và 2

Câu 2. Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = 4cos2x – 3sin2x + 6 là:

A. 3 và 10                  B. 1 và 11                  C. 6 và 10                       D. -1 và 13

Câu 3. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = 3 – 2|sinx| lần lượt là

A. 1 và 0                    B. 3 và 2                    C. 3 và -2                       D. 3 và 1

Đáp án: 1 – C, 2 – B, 3 – D 

Xem thêm các Công thức Toán lớp 11 quan trọng hay khác:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official


Đề thi, giáo án các lớp các môn học
Tài liệu giáo viên