Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác Toán lớp 11 sẽ giúp học sinh nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 11.

Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác

1. Lí thuyết tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác

a) Sử dụng tính bị chặn của hàm số lượng giác

-1 ≤ sin[u(x)] ≤ 1; 0 ≤ sin2[u(x)] ≤ 1; Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác 

-1 ≤ cos[u(x)] ≤ 1; 0 ≤ cos2[u(x)] ≤ 1; Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác 

b) Dạng y = asinx + bcosx + c  

Bước 1: Đưa hàm số về dạng chỉ chứa sin[u(x)] hoặc cos[u(x)]:

y = asinx + bcosx + c = Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác  

⇔ y = Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác.sin(x + α ) + c với α thỏa mãn Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác

Bước 2: Đánh giá -1 ≤ sin[x + α] ≤ 1 ∀x ∈ R 

Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác

2. Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác

a) Dạng y = asin[u(x)] + b hoặc y = acos[u(x)] + b

Ta có: –|a| + b ≤ y ≤ |a| + b 

Hàm số có giá trị nhỏ nhất là –|a| + b và giá trị lớn nhất là |a| + b.

b) Dạng y = asin2[u(x)] + b ; y = a|sin[u(x)]| + b; 

Dạng y = acos2[u(x)] + b; y = a|cos[u(x)]| + b (với a khác 0)

+ Trường hợp 1: a > 0. Ta có: b ≤ y ≤ a + b  .

Hàm số có giá trị nhỏ nhất là b và giá trị lớn nhất là a + b.

+ Trường hợp 2: a < 0. Ta có: a + b ≤ y ≤ b .

Hàm số có giá trị nhỏ nhất là a + b và giá trị lớn nhất là b.

c) Dạng y = asinx + bcosx + c

Ta có: Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác  

Hàm số có giá trị nhỏ nhất là Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác và giá trị lớn nhất là Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác

                            Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác

3. Ví dụ minh họa tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau:

a) y = 3sin(2x+1) – 7

b) y =Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác 

Lời giải

a) y = 3sin(2x+1) – 7

Cách 1: Áp dụng công thức ta có: -3 - 7 ≤ y ≤ 3 - 7 ⇔ -10 ≤ y ≤ -4   

Cách 2: Giải chi tiết

Ta có -1 ≤ sin( 2x + 1 ) ≤ 1 ∀x ∈ R

-3 ≤ 3sin( 2x + 1 ) ≤ 3 ∀x ∈ R  

-10 ≤ sin( 2x + 1 ) -7 ≤ -4 ∀x ∈ R

⇔ -10 ≤ y ≤ -4 

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là -4 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -10.

b) Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác 

Cách 1: Áp dụng công thức ta có: -2 + 1 ≤ y ≤ 1 ⇔ -1 ≤ y ≤ 1 .

Cách 2: Giải chi tiết

Ta có 0 ≤ cos2 ( x + Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác ) ≤ 1 ∀x ∈ R

0 ≤ 2cos2 ( x + Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác ) ≤ 2 ∀x ∈ R

-2 ≤ -2cos2 ( x + Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác ) ≤ 0 ∀x ∈ R

-1 ≤ -2cos2 ( x + Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác ) + 1 ≤ 1 ∀x ∈ R

-1 ≤ y ≤ 1

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 5sin2x – 12cosx + 2

Lời giải

Cách 1: Áp dụng công thức ta có: Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác  .

Cách 2: Giải chi tiết

Ta có: y = 5sin2x – 12cosx + 2 

Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác 

Ta có -1 ≤ sin(2x - α) ≤ 1 ∀x ∈ R

⇔ -13 ≤ 13sin(2x - α) ≤ 13 ∀x ∈ R  

⇔ -11 ≤ 13sin(2x - α) + 2 ≤ 15 ∀x ∈ R

⇔ -11 ≤ y ≤ 15 

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 15 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -11.

4. Bài tập tự luyện tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác

Câu 1. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác lần lượt là:

A. 4 và 7                    B. -2 và 7                   C. 5 và 9                         D. -2 và 2

Câu 2. Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = 4cos2x – 3sin2x + 6 là:

A. 3 và 10                  B. 1 và 11                  C. 6 và 10                       D. -1 và 13

Câu 3. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = 3 – 2|sinx| lần lượt là

A. 1 và 0                    B. 3 và 2                    C. 3 và -2                       D. 3 và 1

Đáp án: 1 – C, 2 – B, 3 – D 

Xem thêm các Công thức Toán lớp 11 quan trọng hay khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


Đề thi, giáo án các lớp các môn học