Công thức tính xác suất hay nhất

Công thức tính xác suất hay nhất

Công thức tính xác suất Toán lớp 11 sẽ giúp học sinh nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 11.

Bài viết Công thức tính xác suất gồm 3 phần: Lý thuyết, Công thức, Ví dụ minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh dễ học, dễ nhớ Công thức tính xác suất Toán 11.

1. Tổng hợp lý thuyết

a)  Định nghĩa cổ điển của xác suất:

Cho T là một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu Ω là một tập hữu hạn.

Giả sử A là một biến cố được mô tả bằng Ω_A ⊂ Ω. Xác suất của biến cố A, kí hiệu bởi P(A), được cho bởi công thức

P(A) =  

Trong đó: |Ω_A| là số phần tử của biến cố A

|Ω| là số phần tử của không gian mẫu Ω .

* Tính chất

0 ≤ P(A) ≤1

P(Ω) = 1

P(∅) = 0

b) Các quy tắc tính xác suất

*  Quy tắc cộng

- Nếu A ∩ B = ∅  thì A và B được gọi là hai biến cố xung khắc.

- Nếu hai biến cố A, B xung khắc nhau thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

- Nếu các biến cố A₁ ; A₂; A₃ ; _… A_n đôi một xung khắc với nhau thì 

P(A₁ ∪ A₂∪ ... ∪ A_k) = P(A₁) + P(A₂) + ...+ P(A_k)

- Công thức tính xác suất của biến cố đối: P() = 1 - P(A)

- Mở rộng : Với hai biến cố bất kì cùng liên quan đến phép thử thì:  

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

* Quy tắc nhân

- Hai biến cố gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra biến cố kia.

- Nếu A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P(A ∩ B) = P(A).P(B) 

- Một cách tổng quát, nếu k biến cố A₁,A₂,A₃,...,A_k là độc lập thì 

P(A₁ ∩ A₂∩ A₃∩  ... ∩ A_k) = P(A₁).P(A₂).P(A₃) ... P(A_k)

2. Các công thức

* Công thức xác suất cổ điển: P(A) =

Trong đó: |Ω_A| là số phần tử của biến cố A

|Ω|  là số phần tử của không gian mẫu Ω .

* Nếu hai biến cố A, B xung khắc nhau thì P (A ∪ B) = P(A) + P(B)

* Công thức tính xác suất của biến cố đối: P( ) = 1 - P(A)

* Nếu A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P(A ∩ B) = P(A).P(B)

* Công thức mở rộng:

- Với hai biến cố bất kì cùng liên quan đến phép thử thì:  

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

- Nếu k biến cố A₁ ; A₂; _… A_k đôi một xung khắc thì  

P(A₁ ∪ A₂∪ ... ∪ A_k) = P(A₁) + P(A₂) + ...+ P(A_k)

- Nếu k biến cố A₁,A₂,A₃,...,A_k là độc lập thì 

P(A₁ ∩ A₂∩ ... ∩ A_k) = P(A₁).P(A₂) ... P(A_k)

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một hộp có 8 viên bi xanh và 7 viên bi vàng. Lấy ra 4 viên bi từ hộp đó. Tính xác suất lấy được:

a) 2 viên bi màu xanh và 2 viên bi màu vàng

b) Có ít nhất 1 viên bi vàng

c) Có đủ 2 màu.

Lời giải

Không gian mẫu: Ω : “Lấy 4 viên bi ra từ hộp”

Số phần tử của không gian mẫu |Ω| = C₁₅⁴ .

a) Gọi A là biến cố: “Lấy được 2 viên bi màu xanh và 2 viên bi màu vàng”

Số cách chọn được 2 viên bi màu xanh và 2 viên bi màu vàng là: |A| = C₈².C₇²

Xác suất để lấy được 2 viên bi màu xanh và 2 viên bi màu vàng là: P(A) =   .

b) Gọi B là biến cố: “Có ít nhất 1 viên bi màu vàng”

Khi đó   là biến cố: “Không lấy được bi màu vàng”

Số cách chọn không có màu vàng là: | | = C₈⁴

Xác suất để lấy được ít nhất 1 viên bi màu vàng là: P(B) = 1 - P() = 1 -    .

c) Gọi C là biến cố: “Có đủ 2 màu”

Khi đó   là biến cố: “Không có đủ 2 màu”

Trường hợp 1: Chọn được 4 viên bi cùng màu xanh: C₈⁴  cách

Trương hợp 2: Chọn được 4 viên bi cùng màu vàng: C₇⁴ cách

Số cách chọn không đủ hai màu là:  C₈⁴ + C₇⁴

Xác suất để chọn được 4 viên bi đủ hai màu là: P(C) = 1 - P() = 1 -    .

Ví dụ 2: Hai người xạ thủ độc lập với nhau, bắn súng vào hai bia khác nhau. Xác suất trúng của người thứ nhất là 0,4 và của người thứ hai là 0,7. Tính xác suất để:

a) Cả 2 người cùng bắn trúng

b) Có đúng một người bắn trúng

c) Không ai bắn trúng

Lời giải

Gọi A là biến cố: “Người thứ nhất bắn trúng”; P(A) = 0,4

B là biến cố: “Người thứ hai bắn trúng”; P(B) = 0,7

A, B là hai biến cố độc lập

Khi đó:

là biến cố: “Người thứ nhất bắn không trúng”; P() = 1 - P(A) = 1 - 0,4 = 0,6

 là biến cố: “Người thứ hai bắn không trúng”; P() = 1 - P(B) = 1 - 0,7 = 0,3 .

a) Ta có: A ∩ B là biến cố: “Cả hai người cùng bắn trúng”

Xác suất để cả hai người bắn trúng là: P (A ∩ B) = P(A)P(B) = 0,4.0,7 = 0,28.

b) Gọi C là biến cố: “Có đúng một người bắn trúng”

Ta có: C = (A ∩  ) ∪ (∩ B) 

Xác suất để có đúng một người bắn trúng là:

P(C) = P(A)P( ) + P( )P(B) = 0,4.0,3 + 0,6.0,7 = 0,54.

c) Ta có ∩  là biến cố: “Cả hai người bắn không trúng”

Xác suất để không ai bắn trúng là: P( ∩) = P( ) P() = 0,6.0,3 = 0,18.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 11 quan trọng hay khác:

• Công thức hoán vị

• Công thức chỉnh hợp

• Công thức tổ hợp

• Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn

• Công thức tính tổng các hệ số trong khai triển

---