Bài toán thực tế lớp 11 Giới hạn. Hàm số liên tục

Bài toán thực tế lớp 11 Giới hạn. Hàm số liên tục có lời giải chương trình mới dùng chung cho ba sách Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo, Cánh diều với bài tập đa dạng giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy các dạng toán thực tế lớp 11.

Bài toán thực tế lớp 11 Giới hạn. Hàm số liên tục

Xem thử

Chỉ từ 300k mua trọn bộ Chuyên đề, các dạng toán thực tế lớp 11 (sách mới) bản word trình bày đẹp mắt, chỉnh sửa dễ dàng:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

Câu 1: Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T = 24000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khoẻ của con người ( T được gọi là chu kì bán rã).

Gọi $u_n$ là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n .

a) Tìm số hạng tổng quát $u_n$ của dãy số $\left(u_n\right)$.

b) Chứng minh rằng $\left(u_n\right)$ có giối hạn là 0.

c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, biết rằng chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn ${10}^{-6}\text{ g}$.

Lời giải

a) Ta có: $u_1=1;u_2=\frac{1}{2};u_3={\left(\frac{1}{2}\right)}^2;\dots$

Suy ra $\left(u_n\right)$ lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu $u_1=1$ và $q=\frac{1}{2}$ có số hạng tổng quát là: $u_n={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$.

b) Ta có: $\text{lim}{u}_n=\text{lim}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=0$.

c) Đổi $u_n={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}\text{ kg}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}\cdot {10}^3\text{ g}$

Để chất phóng xạ bé hơn ${10}^{-6}\left(\text{ g}\right)$ thì ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}\cdot {10}^3<{10}^{-6}\iff \text{n>}31$ .

Vậy cần ít nhất 30 chu kì tương ứng với 720000 năm khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người.

Câu 2: Tại một nhà máy, người ta đo được rằng 80% lượng nước sau khi sử dụng được xử lí và tái sử dụng. Với $100 m^3$ ban đầu được sử dụng lần đầu tại nhà máy, khi quá trình xử lí và tái sử dụng lặp lại mãi mãi, nhà máy sử dụng được tổng lượng nước là bao nhiêu?

Lời giải

$100+100\cdot 0,8+100\cdot {(0,8)}^2+100\cdot {(0,8)}^3+\dots$$=100\cdot \frac{1}{1-0,8}=500\left( m^3\right)$.

Câu 3: Cho tam giác $O{A}_1{A}_2$vuông cân tại $A_2$ có cạnh huyền $O{A}_1$ bằng a. Bên ngoài tam giác $O{A}_1{A}_2$, vẽ tam giác $O{A}_2{A}_3$ vuông cân tại $A_3$ . Tiếp theo, bên ngoài tam giác $O{A}_2{A}_3$ , vẽ tam giác $O{A}_3{A}_4$ vuông cân tại $A_4$ . Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta vẽ được một dãy các hình tam giác vuông cân (Hình 2).

Tính độ dài đường gấp khúc $A_1{A}_2{A}_3{A}_4\cdots$

Lời giải

Ta có các góc $\widehat{A_{1}O{A}_2},\widehat{A_{2}O{A}_3},\widehat{A_{3}O{A}_4},\dots$ đều bằng ${45}^{°}$. Ta có:

$A_1{A}_2=O{A}_2=O{A}_1\cdot \cos {45}^{°}=a\frac{\sqrt{2}}{2}$

$A_2{A}_3=O{A}_3=O{A}_2\cdot \cos {45}^{°}$$=a\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=a{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2;$

$\begin{array}{l}{A}_3{A}_4=O{A}_4=O{A}_3\cdot \cos {45}^{°}\end{array}$$=a{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$=a{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^3;\dots$

Vậy độ dài các đoạn thẳng $A_1{A}_2,A_2{A}_3,A_3{A}_4,\dots$ tạo thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ và công bội bằng $\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Do đó, độ dài đường gấp khúc $A_1{A}_2{A}_3{A}_4\dots$  là

$l=\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$$=\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot (2+\sqrt{2})=a(1+\sqrt{2}).$

Câu 4: Cho tam giác đều ABC  có độ dài cạnh bằng 1. Nối các trung điểm $A_1,B_1,C_1$ của các cạnh $BC,CA,AB$ ta được tam giác đều $A_1{B}_1{C}_1$ . Tiếp tục nối các trung điểm $A_2,B_2,C_2$ của các cạnh $B_1{C}_1,C_1{A}_1,A_1{B}_1$ ta được tam giác đều $A_2{B}_2{C}_2$ , thực hiện quá trình này đến vô hạn. Gọi $S_n$ là diện tích của tam giác đều $A_n{B}_n{C}_n$ .

a) Tính $S_8$

b) Tính tổng diện tích các tam giác đều $A_n{B}_n{C}_n$ thu được

c) Tính tổng các độ dài $l=A{A}_1+A_1{A}_2+A_2{A}_3+\mathrm{...}+A_{n-1}{A}_n+\mathrm{...}$

Lời giải

a) Diện tích tam giác ABC là: $S_0=\frac{\sqrt{3}}{4}$

Ta có:$S_1=\frac{1}{4}{S}_0,S_2=\frac{1}{4}{S}_1,S_3=\frac{1}{4}{S}_2,\mathrm{...}$ . Do đó $\left\{S_n\right\}$  là một cấp số nhân với công bội $q=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow S_8=S_1.q^7=S_0.q^8=\frac{\sqrt{3}}{4}.{\left(\frac{1}{4}\right)}^8=\frac{\sqrt{3}}{4^9}$

b) Tổng diện tích các tam giác đều $A_n{B}_n{C}_n$ là tổng của một CSN lùi vô hạn với công bội $q=\frac{1}{4}$ . Do đó tổng diện tích là

$S=S_1+S_2+S_3+\mathrm{...}+S_n+\mathrm{...}=\frac{S_1}{1-q}$$=\frac{\sqrt{3}}{12}$

c) Đặt $u_1=A{A}_1,u_2=A_1{A}_2,$$u_3=A_2{A}_3,\mathrm{...},$$u_n=A_{n-1}{A}_n$, ta có:

$u_1=\frac{\sqrt{3}}{2},$$u_2=\frac{1}{2}{u}_1,$$u_3=\frac{1}{2}{u}_2,\mathrm{...},u_n=\frac{1}{2}{u}_{n-1},\mathrm{...}\Rightarrow \left\{u_n\right\}$ là một CSN lùi vô hạn với công bội $q=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow l=\frac{u_1}{1-q}=\sqrt{3}$.

Câu 5: Cho đường tròn (C) tâm O, bán kính r = 20cm. Vẽ đường tròn $\left(C_1\right)$ đi qua tâm O và tiếp xúc với (C) , vẽ đường tròn $\left(C_2\right)$ đi qua tâm của $\left(C_1\right)$ và tiếp xức với $\left(C_1\right)$ . Tiếp tục quá trình này đến vô hạn. Ta tô màu phần ngoài của hình tròn mới theo quy luật nhu hình vẽ dưới đây. Tình diện tích toàn bộ phần tô màu.

Câu 6: Từ hình vuông có độ dài cạnh bằng 1, người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra hình vuông mới như hình bên dưới. Tiếp tục quá trình này đến vô hạn.

a) Tính diện tích $S_n$ của hình vuông được tạo thành ở bước thứ n;

b) Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành.

Câu 7: Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T= 24000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khoẻ của con người (T  được gọi là chu kì bán rã).

(Nguồn: Đại số và Giải tich 11, NXB GD Việt Nam, 2021)

Gọi $u_n$ là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n .

a) Tìm số hạng tổng quát $u_n$ của dãy số $\left(u_n\right)$.

b) Chứng minh rằng $\left(u_n\right)$ có giới hạn là 0.

c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, biết rằng chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn ${10}^{-6}\text{ g}$ .

Câu 8: Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R , $C_1$ là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính $\frac{AB}{2},C_2$ là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính $\frac{AB}{4},\dots C_n$ là đường gồm $2^n$ nửa đường tròn đường kính $\frac{AB}{2^n},\dots$ (Hình bên dưới).

Gọi $p_n$ là độ dài của $C_n,S_n$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $C_n$ và đoạn thẳng AB .

a) Tính $p_n,S_n$ .

b) Tìm giới hạn của các dãy số $\left(p_n\right)$ và $\left(S_n\right)$ .

Câu 9: Từ độ cao 55,8m của tháp nghiêng Pisa nước Ý, người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất ( hình bên dưới). Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng $\frac{1}{10}$  độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi $S_n$  là tổng độ dài quãng đường di chuyển của quả bóng tính từ lúc thả ban đầu cho đến khi quả bóng đó chạm đất n lần. Tính $\lim S_n$.

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm Chuyên đề Toán thực tế lớp 11 sách mới hay khác:

• Bài toán thực tế lớp 11 Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

• Bài toán thực tế lớp 11 Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

• Bài toán thực tế lớp 11 Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

• Bài toán thực tế lớp 11 Quan hệ song song trong không gian

• Bài toán thực tế lớp 11 Hàm số mũ và hàm số lôgarit

• Bài toán thực tế lớp 11 Quan hệ vuông góc trong không gian

• Bài toán thực tế lớp 11 Các quy tắc tính xác suất

• Bài toán thực tế lớp 11 Đạo hàm

---