13 Bài tập Định lí côsin và định lí sin (có đáp án) - Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 10

Đáp án đúng là: D

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

$\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=\frac{5^2+{\left(5\sqrt{2}\right)}^2-{\left(5\sqrt{5}\right)}^2}{\mathrm{2.5.5}\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow \hat{A}=135°.$

Vậy $\hat{A}=135°.$

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC có $\hat{A}=105°,\hat{B}=45°$ ta có:

$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$(định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \hat{C}=180°-\hat{A}-\hat{B}$

$\Rightarrow \hat{C}=180°-105°-45°=30°$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$

$\Rightarrow \frac{10}{\sin 45°}=\frac{AB}{\sin 30°}\Rightarrow AB=\frac{10.\sin 30°}{\sin 45°}=5\sqrt{2}.$

Vậy $AB=5\sqrt{2}.$

Đáp án đúng là: C

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

$\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2.AB.BC}=\frac{3^2+6^2-{\left(3\sqrt{3}\right)}^2}{\mathrm{2.3.6}}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \hat{B}=60°.$

Đáp án đúng là: A

Trong tam giác ABC có $\hat{A}$ là góc tù nên $\hat{B},\hat{C}$ là góc nhọn.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}=2R$

$\Rightarrow \frac{R\sqrt{2}}{\sin B}=\frac{R}{\sin C}=2R$

$\Rightarrow \left(\begin{array}{c}\sin B=\frac{R\sqrt{2}}{2R}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ sinC=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{c}\hat{B}=45°\\ \hat{C}=30°\end{array}\right)$(vì là góc nhọn)

Xét tam giác ABC có $\hat{B}=45°,\hat{C}=30°$ ta có:

$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$(định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \hat{A}=180°-\hat{B}-\hat{C}$

$\Rightarrow \hat{A}=180°-45°-35°=105°$

Vậy $\hat{A}=105°.$

Đáp án đúng là: B

Góc nhỏ nhất ứng với cạnh đối diện có độ dài nhỏ nhất.

Giả sử tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, BC = 4. Khi đó góc nhỏ nhất là góc C ứng với cạnh đối diện AB.

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

$\cos C=\frac{A{C}^2+B{C}^2-A{B}^2}{2.AC.BC}=\frac{3^2+4^2-2^2}{\mathrm{2.3.4}}=\frac{7}{8}.$

Vậy côsin của góc nhỏ nhất trong tam giác bằng

Đáp án đúng là: C

Diện tích tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin A=\frac{1}{2}\mathrm{.20.10.}\sin 60°=50\sqrt{3}$(đơn vị diện tích).

Vậy $S=50\sqrt{3}$(đơn vị diện tích).

Đáp án đúng là: A

Nửa chu vi tam giác có độ dài ba cạnh $\sqrt{3},\sqrt{2}$, 1 là: $p=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1}{2}$

Diện tích tam giác theo công thức Heron là: $S=\sqrt{p.\left(p-\sqrt{3}\right).\left(p-\sqrt{2}\right).\left(p-1\right)}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy $S=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Đáp án đúng là: A

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

$\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}$

Nếu BC² < AB² + AC² thì AB² + AC² ‒ BC² > 0

Do đó $\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}>0$ hay cosA > 0

Mà $0°<\hat{A}<180°$

=> Góc là góc nhọn.

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác ABC có $\hat{B}+\hat{C}=135°$ ta có:

$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \hat{A}=180°-\left(\hat{B}+\hat{C}\right)$

$\Rightarrow \hat{A}=180°-135°=45°$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{BC}{\sin A}=2R$

$\Rightarrow R=\frac{BC}{2.\sin A}=\frac{a}{2.\sin 45°}=\frac{a}{2.\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: $R=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Đáp án đúng là: B

Diện tích tam giác ABC là: $S=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin A$

$\Rightarrow \sin A=\frac{2S}{AB.AC}=\frac{2.120}{10.24}=1$

Mà $0°<\hat{A}<180°$

$\Rightarrow \hat{A}=90°$

$\Rightarrow$ DABC vuông tại A

Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Py – ta – go ta có:

BC² = AB² + AC² Þ BC² = 10² + 24² = 676

$\Rightarrow$ BC = 26.

Do đó trung tuyến AM ứng với cạnh huyền BC có độ dài là: $AM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.26=13.$

Vậy độ dài đường trung tuyến AM bằng 13.

a) Sai. Áp dụng định lí côsin trong tam giác, ta có:

Do đó, $a=\sqrt{109}\text{cm}$.

b) Sai.

c) Đúng.

Tương tự, $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{109+7^2-5^2}{2\sqrt{109}\cdot 7}\approx 0,91.$

d) Đúng. Áp dụng định lí sin trong tam giác, ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

nên $R=\frac{a}{2\cdot \sin A}=\frac{\sqrt{109}}{2\cdot \sin 120°}\approx 6,03\left(\text{cm}\right).$

Suy ra $BC=7$.

Ta có nửa chu vi của $△ABC$ là: $p=\frac{5+7+8}{2}=10.$

Diện tích của $△ABC$ là:

$S=\sqrt{10.\left(10-8\right).\left(10-5\right).\left(10-7\right)}=10\sqrt{3}.$

Vì $S=\frac{1}{2}AH.BC$$\Rightarrow AH=\frac{2S}{BC}=\frac{2.10\sqrt{3}}{7}=\frac{20\sqrt{3}}{7}\approx 4,95.$

Đáp án: 4,95.

Theo định lý sin trong tam giác ta tính được $b=8,c=6$.

Chu vi tam giác là $a+b+c=24$.

Đáp án: 24.