15 Bài tập Định lí côsin và định lí sin (có đáp án) - Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 10

Đáp án đúng là: D

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

$\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=\frac{5^2+{\left(5\sqrt{2}\right)}^2-{\left(5\sqrt{5}\right)}^2}{\mathrm{2.5.5}\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow \hat{A}=135°.$

Vậy $\hat{A}=135°.$

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC có $\hat{A}=105°,\hat{B}=45°$ ta có:

$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$(định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \hat{C}=180°-\hat{A}-\hat{B}$

$\Rightarrow \hat{C}=180°-105°-45°=30°$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$

$\Rightarrow \frac{10}{\sin 45°}=\frac{AB}{\sin 30°}\Rightarrow AB=\frac{10.\sin 30°}{\sin 45°}=5\sqrt{2}.$

Vậy $AB=5\sqrt{2}.$

Đáp án đúng là: C

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

$\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2.AB.BC}=\frac{3^2+6^2-{\left(3\sqrt{3}\right)}^2}{\mathrm{2.3.6}}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \hat{B}=60°.$

Đáp án đúng là: A

Trong tam giác ABC có $\hat{A}$ là góc tù nên $\hat{B},\hat{C}$ là góc nhọn.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}=2R$

$\Rightarrow \frac{R\sqrt{2}}{\sin B}=\frac{R}{\sin C}=2R$

$\Rightarrow \left(\begin{array}{c}\sin B=\frac{R\sqrt{2}}{2R}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ sinC=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{c}\hat{B}=45°\\ \hat{C}=30°\end{array}\right)$(vì là góc nhọn)

Xét tam giác ABC có $\hat{B}=45°,\hat{C}=30°$ ta có:

$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$(định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \hat{A}=180°-\hat{B}-\hat{C}$

$\Rightarrow \hat{A}=180°-45°-35°=105°$

Vậy $\hat{A}=105°.$

Đáp án đúng là: B

Góc nhỏ nhất ứng với cạnh đối diện có độ dài nhỏ nhất.

Giả sử tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, BC = 4. Khi đó góc nhỏ nhất là góc C ứng với cạnh đối diện AB.

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

$\cos C=\frac{A{C}^2+B{C}^2-A{B}^2}{2.AC.BC}=\frac{3^2+4^2-2^2}{\mathrm{2.3.4}}=\frac{7}{8}.$

Vậy côsin của góc nhỏ nhất trong tam giác bằng

Đáp án đúng là: C

Diện tích tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin A=\frac{1}{2}\mathrm{.20.10.}\sin 60°=50\sqrt{3}$(đơn vị diện tích).

Vậy $S=50\sqrt{3}$(đơn vị diện tích).

Đáp án đúng là: A

Nửa chu vi tam giác có độ dài ba cạnh $\sqrt{3},\sqrt{2}$, 1 là: $p=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1}{2}$

Diện tích tam giác theo công thức Heron là: $S=\sqrt{p.\left(p-\sqrt{3}\right).\left(p-\sqrt{2}\right).\left(p-1\right)}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy $S=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Đáp án đúng là: A

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

$\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}$

Nếu BC² < AB² + AC² thì AB² + AC² ‒ BC² > 0

Do đó $\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}>0$ hay cosA > 0

Mà $0°<\hat{A}<180°$

=> Góc là góc nhọn.

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác ABC có $\hat{B}+\hat{C}=135°$ ta có:

$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \hat{A}=180°-\left(\hat{B}+\hat{C}\right)$

$\Rightarrow \hat{A}=180°-135°=45°$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{BC}{\sin A}=2R$

$\Rightarrow R=\frac{BC}{2.\sin A}=\frac{a}{2.\sin 45°}=\frac{a}{2.\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: $R=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Đáp án đúng là: B

Diện tích tam giác ABC là: $S=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin A$

$\Rightarrow \sin A=\frac{2S}{AB.AC}=\frac{2.120}{10.24}=1$

Mà $0°<\hat{A}<180°$

$\Rightarrow \hat{A}=90°$

$\Rightarrow$ DABC vuông tại A

Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Py – ta – go ta có:

BC² = AB² + AC² Þ BC² = 10² + 24² = 676

$\Rightarrow$ BC = 26.

Do đó trung tuyến AM ứng với cạnh huyền BC có độ dài là: $AM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.26=13.$

Vậy độ dài đường trung tuyến AM bằng 13.

Đáp án đúng là: C

Vì BE là trung tuyến của tam giác ABC nên E là trung điểm của AC.

Do đó $EC=\frac{1}{2}.AC=\frac{1}{2}.30=15\left(cm\right)$

Hai đường trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó $GE=\frac{1}{3}BE$(tính chất trọng tâm của tam giác)

Hay $\frac{GE}{BE}=\frac{1}{3}.$

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ G xuống AC.

Suy ra GH // AB.

Do đó $\frac{GH}{BA}=\frac{GE}{BE}$(định lí Ta – let trong tam giác ABE)

Hay $\frac{GH}{BA}=\frac{1}{3}\Rightarrow GH=\frac{1}{3}.BA=\frac{1}{3}.30=10\left(cm\right)$

Diện tích tam giác GEC là: $S_{GEC}=\frac{1}{2}.GH.EC=\frac{1}{2}\mathrm{.10.15}=75\left(c{m}^2\right)$

Vậy diện tích tam giác GEC là 75 cm².

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác có độ dài ba cạnh là 5, 12, 13 ta có: 5² + 12² = 169 và 13² = 169.

Do đó 5² + 12² = 13² nên tam giác này là tam giác vuông (định lí Py – ta – go đảo)

Diện tích tam giác này là: $S=\frac{1}{2}\mathrm{.5.12}=30$(đơn vị diện tích)

Nửa chu vi tam giác này là: $p=\frac{5+12+13}{2}=15$

Mặt khác S = pr $\Rightarrow r=\frac{S}{p}=\frac{30}{15}=2.$

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 2.

Đáp án đúng là: D

Ta có diện tích ban đầu của tam giác ABC là: $S=\frac{1}{2}.BC.AC.\sin C$.

Diện tích của tam giác mới sau khi thay đổi kích thước là:

$S^{\text{'}}=\frac{1}{2}.2BC.3AC.\sin C=6.\left(\frac{1}{2}.BC.AC.\sin C\right)=6S$.

Vậy diện tích của tam giác mới được tạo thành là 6S.

Đáp án đúng là:

Hình bình hành có một cạnh là 4, hai đường chéo là 6 và 8 được mô tả như hình vẽ, do đó AD = 4, AC = 6, BD = 8.

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo.

Khi đó O là trung điểm của AC và BD (tính chất hình bình hành).

Þ AO = 3 và DO = 4.

Áp dụng hệ quả định lí côsin vào tam giác ADO ta có:

$cos\widehat{ADO}=\frac{A{D}^2+D{O}^2-A{O}^2}{2.AD.DO}=\frac{4^2+4^2-3^2}{\mathrm{2.4.4}}=\frac{23}{32}$ $\Rightarrow cos\widehat{ADB}=\frac{23}{32}$

Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABD ta có:

AB² = AD² + BD² – 2.AD.BD.$cos\widehat{ADB}$

$\Rightarrow$ AB² = 4² + 8² – 2.4.8.$\frac{23}{32}$ = 34

$\Rightarrow AB=\sqrt{34}.$

Vậy độ dài cạnh kề với cạnh có độ dài bằng 4 của hình bình hành đó là $\sqrt{34}.$

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác ABC vuông cân tại A, giả sử AB = AC = a, theo định lí Py – ta – go ta có:

BC² = AB² + AC² = a² + a² = 2a²

$\Rightarrow BC=a\sqrt{2}.$

Do đó nửa chu vi tam giác ABC là $p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{a+a+a\sqrt{2}}{2}=a.\left(\frac{2+\sqrt{2}}{2}\right)$

Tam giác ABC vuông tại A nên diện tích tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}.AB.AC=\frac{1}{2}.a.a=\frac{a^2}{2}$(đơn vị diện tích)

Mặt khác $S=pr=\frac{AB.AC.BC}{4R}$

$\Rightarrow r=\frac{S}{p}=\frac{\frac{a^2}{2}}{a.\left(\frac{2+\sqrt{2}}{2}\right)}=\frac{a}{2+\sqrt{2}}$ và $R=\frac{AB.AC.BC}{4S}=\frac{a.a.a\sqrt{2}}{4.\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Do đó $\frac{R}{r}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a}{2+\sqrt{2}}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}:\frac{a}{2+\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{2+\sqrt{2}}{a}=1+\sqrt{2}$

Vậy $\frac{R}{r}=1+\sqrt{2}.$