15 Bài tập Nhị thức Newton (có đáp án) - Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 10

Đáp án đúng là:D

Ta có trong khai triển (a + b)ⁿ có n + 1 số hạng

Trong khai triển (a + 2)^{2n + 1} (n ∈ ℕ) có tất cả 6 số hạng nên ta có 2n + 1 = 5

Vậy n = 2.

Đáp án đúng là: A

Ta có tổng số mũ của a, b trong mỗi hạng tử khi khai triển (a + b)ⁿ luôn bằng n

Vậy tổng số mũ của a và b trong mỗi hạng tử khi khai triển biểu thức (a + b)⁴ bằng 4

Đáp án đúng là: D

Vì trong khai tiển (a + b)ⁿ thì trong mỗi số hạng tổng số mũ của a và b luôn bằng n Do đó, thay a = 5x, b = –6y² thì tổng số mũ của a và b bằng 5. Đáp án D đúng

Đáp án đúng là: C

Ta có trong khai triển (a + b)ⁿ có n + 1 hạng tử

Vậy trong khai triển (2x + y)⁴ có 5 hạng tử

Đáp án đúng là: C

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là $C_n^k$a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a = 3, b = –2x vào trong công thức ta có $C_5^k$3^{5 – k} .(–2x)^k = (–2)^k $C_5^k$3^{5 – k} .(x)^k

Vì tìm hệ số của x³ nên ta có x^k = x³ ⇒ k = 3

Hệ số của x⁷ trong khai triển là (– 2)³ .3² = –720.

Đáp án đúng là: A

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là $C_n^k$a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a = 1, b = x vào trong công thức ta có $C_5^k$1^{5 – k} .(x)^k = $C_5^k$1^{5 – k} .(x)^k

Vì tìm hệ số của x³ nên ta có x^k = x³ k = 3

Hệ số của x⁵ trong khai triển (1 + x)⁵ là .1² = 10.

Hệ số của x⁵ trong khai triển là: 10 + 3 = 13

Đáp án đúng là: C

Ta có hệ số của x³ có khai triển (1 + x)⁵ là

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là $C_n^k$a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a = 1, b = x vào trong công thức ta có $C_5^k$1^{5 – k} .(x)^k = $C_5^k$1^{5 – k} .(x)^k

Vì tìm hệ số của x³ nên ta có x^k = x³ k = 3

Hệ số của x³ trong khai triển (1 + x)⁵ là $C_5^3$ .1³ = 10.

Ta có hệ số của y³ có khai triển (1 + y)⁶ là

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là $C_n^k$a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a = 1, b = y vào trong công thức ta có $C_5^k$1^{5 – k} .(y)^k = $C_5^k$1^{5 – k} .(y)^k

Vì tìm hệ số của y³ nên ta có y^k = y³ ⇒ k = 3

Hệ số của y³ trong khai triển (1 + y)⁵ là $C_5^3$.1³ = 10

Hệ số của x³y³ trong khai triển nhị thức (1 + x)⁵(1 + y)⁵ là: 10.10 = 100

Đáp án đúng là: B

Khai triển nhị thức

(2x + y)⁵ = $C_5^0$(2x)⁵(y)⁰ – $C_5^1$(2x)⁴(y)¹ + $C_5^2$(2x)³(y)² – $C_5^3$(2x)²(y)³ + $C_5^4$(2x)(y)⁴ – $C_5^5$(2x)⁰(y)⁵ = 32x⁵ – 80x⁴y + 80x³y² – 40x²y³ + 10xy⁴ – y⁵ .

Đáp án đúng là:A

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là $C_n^k$a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a = x, b = –2y vào trong công thức ta có

$C_2^k$(x)^{4 – k} .(–2y)^k = (–2)^k $C_2^k$ (x)^{4 – k} .(y)^k

Số hạng cần tìm chứa x²y² nên ta có x^{4 – k}y^k = x²y²

Vậy k = 2 thoả mãn bài toán

Khi đó hệ số cần tìm là (– 2)² $C_4^2$ = 24.

Đáp án đúng là:C

Ta có ${\left(x+\frac{8}{x^2}\right)}^5$

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là $C_n^k$a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a = x, b = $\frac{8}{x^2}$ vào trong công thức ta có

$C_5^k$(x)^{5 – k} ${\left(\frac{8}{x^2}\right)}^k$ = 8^k $C_5^k$(x)^{5 – k} ${\left(\frac{1}{x^2}\right)}^k$ = 8^k $C_5^k$ x^{5 – 3k}

Số hạng cần tìm chứa x² nên ta có 5 – 3k = 2

Do đó k = 1 thoả mãn bài toán

Khi đó hệ số cần tìm là (8)¹ $C_5^1$ = 40.

Vậy số hạn cần tìm là 40x².

Đáp án đúng là:D

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là $C_n^k$a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a = x², b = –2x vào trong công thức ta có

$C_5^k$(x²)^{5 – k} .(–2x)^k = (–2)^k $C_5^k$ (x)^{10 – k}

Số hạng cần tìm chứa x⁶ nên ta có 10 – k = 6

Do đó k = 4 thoả mãn bài toán

Khi đó hệ số cần tìm là (– 2)⁴ $C_5^4$ = 80.

Đáp án đúng là: B

Khai triển nhị thức

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là $C_n^k$a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a = 2x², b = $\frac{1}{x}$ vào trong công thức ta có

$C_n^k$(2x²)^{n – k} ${\left(\frac{1}{x}\right)}^k$ = (2)^n-k $C_n^k$(x)^{2n –3k}

Vì hệ số của số hạng chứa x³ là $2^2{C}_n^1$ nên ta có k = 1

Số hạng cần tìm chứa x³ nên ta có 2n – 3.1 = 3

Vậy n = 3 thoả mãn bài toán

Đáp án đúng là: A

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là $C_n^k$a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a = 1, b = – 3x vào trong công thức ta có

$C_n^k$(1)^{n – k} .(–3x)^k = (–3)^k(1)^n-k $C_n^k$(x)^k

Số hạng cần tìm chứa x³ nên ta có k = 3

Vậy k = 3 thoả mãn bài toán

Vì hệ số chứa x³ bằng – 270 nên

(– 3)³(1)^n-3 $C_n^3$ = –270 ⇔ $C_n^3=10$

$\iff \frac{n!}{3!(n-3)!}=\frac{n(n-1)(n-2)\left(n-3\right)\mathrm{...1}}{6(n-3)\left(n-4\right)\mathrm{...1}}=10$

$\iff \frac{n(n-1)\left(n-2\right)}{6}=10$

⇔ n³ – 3n² + 2n – 60 = 0 ⇔ (n – 5)(n² + 2n + 12) = 0

Kết hợp với điều kiện n = 5 thoả mãn bài toán

Đáp án đúng là: B

Ta có: $A_n^2-C_n^2=10$ $\iff \frac{n!}{\left(n-2\right)!}-\frac{n!}{2!\left(n-2\right)!}=10$

$\iff \frac{n(n-1)(n-2)\mathrm{...1}}{(n-2)\mathrm{...1}}-\frac{n(n-1)(n-2)\mathrm{...1}}{2.(n-2)\mathrm{...1}}=10$

⇔ n(n – 1) – $\frac{1}{2}$n(n – 1) = 10

⇔ $\frac{1}{2}$n(n – 1) = 10 ⇔ n² – n – 20 = 0 $\iff \left(\begin{array}{c}n=5\\ n=-4\end{array}\right)$.

Kết hợp với điều kiện n = 5 thoả mãn

Nhị thức ${\left(x^2-\frac{1}{x}\right)}^n$

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là $C_n^k$a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a = x², b = $-\frac{1}{x}$ vào trong công thức ta có

$C_5^k$(x²)^{5 – k} . ${\left(-\frac{1}{x}\right)}^k$ = ( –1)^k $C_5^k$ (x)^{10 – 3k}

Số hạng cần tìm chứa x⁴ nên ta có 10 – 3k = 4

Vậy k = 2 thoả mãn bài toán

Vậy hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển là: (–1)²$C_5^2$ = 10

Đáp án đúng là: D

Ta có $C_n^1+C_n^2=10$

$\iff \frac{n!}{1!(n-1)!}+\frac{n!}{2!(n-2)!}=10$

$\iff \frac{n(n-1)\mathrm{...1}}{(n-1)\mathrm{...1}}+\frac{n(n-1)(n-2)\mathrm{...1}}{2(n-2)\mathrm{...1}}=10$

$\iff n+\frac{n\left(n-1\right)}{2}=10$

⇔ n² + n – 20 = 0 $\iff \left(\begin{array}{c}n=4\\ n=-5\end{array}\right)$

Kết hợp với điều kiện n = 4 thoả mãn bài toán.

Nhị thức ${\left(x^3+\frac{2}{x^2}\right)}^n$

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là $C_n^k$a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a = x³, b = $\frac{2}{x^2}$ vào trong công thức ta có

(x³)^{4 – k} . ${\left(\frac{2}{x^2}\right)}^k$ = (2)^k $C_4^k$ (x)^{12 – 5k}

Số hạng cần tìm hệ số chứa x² nên ta có 12 – 5k = 2

Do đó k = 2 thoả mãn bài toán

Vậy hệ số của số hạng chứa x² trong khai triển là: (2)² $C_4^2$ = 24.