13 Bài tập Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (có đáp án) - Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 10

Đáp án đúng là: A

- Hệ bất phương trình là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có hai bất phương trình x < 1 và y - 1 > 2 đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

- Hệ bất phương trình không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có bất phương trình x² + y < 0 không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

- Bất phương trình y – 2x < 0 không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chỉ có một bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hệ bất phương trình không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có bất phương trình 2x – y² < 5 là bất phương trình bậc hai hai ẩn.

Đáp án đúng là: B

Câu A: Thay x = 2 và y = 1 vào bất phương trình x + y > 4 ta có: 2 + 1 = 3 > 4 là mệnh đề sai nên cặp số (x; y) = (2; 1) không là nghiệm của bất phương trình x + y > 4.

Vậy cặp số (x; y) = (2; 1) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Do đó A là sai.

Câu B: Thay x = 10 và y = 2 vào bất phương trình x + y > 4 ta có: 10 + 2 = 12 > 4 là mệnh đề đúng nên cặp số (x; y) = (10; 2) là nghiệm của bất phương trình x + y > 4.

Thay x = 10 và y = 2 vào bất phương trình x – y < 10 ta có: 10 – 2 = 8 < 10 là mệnh đề đúng nên cặp số (x; y) = (10; 2) là nghiệm của bất phương trình x – y < 10.

Cặp (x; y) = (10; 2) là nghiệm của bất phương trình x + y > 4 và cũng là nghiệm của bất phương trình x – y < 10. Nên cặp (x; y) = (10; 2) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Do đó B là đúng.

Câu C: Thay x = ‒3 và y = 4 vào bất phương trình x + y > 4 ta có: ‒3 + 4 = 1 > 4 là mệnh đề sai nên cặp số (x; y) = (‒3; 4) không là nghiệm của bất phương trình x + y > 4.

Vậy cặp số (x; y) = (‒3; 4) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Do đó C là sai.

Câu D: Thay x = 0 và y = ‒10 vào bất phương trình x – y < 10 ta có: 0 ‒ (‒10) = 10 < 10 là mệnh đề sai nên cặp số (x; y) = (0; ‒10) không là nghiệm của bất phương trình x ‒ y < 10.

Vậy cặp số (x; y) = (0; ‒10) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Do đó D là sai.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: A

Ta thấy bất phương trình thứ hai của hệ bất phương trình trong các phương án đều là 2x + 5y ≤ 12x + 8 nên ta chỉ cần xét đến bất phương trình thứ nhất của từng hệ.

Với x = 0 và y = -3 thay vào bất phương trình 2x – y ≤ 3 ta có: 2.0 – (‒3) = 3 ≤ 3 là mệnh đề đúng.

Do đó (0; -3) là nghiệm của bất phương trình 2x – y ≤ 3.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình trên.

- Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình x + y ≤ 100:

+ Vẽ đường thẳng d₁: x + y = 100.

+ Xét gốc toạ độ O(0; 0) có: 0 + 0 = 0 ≤ 100 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 100.

Do đó, miền nghiệm D₁ của bất phương trình x + y ≤ 100 là nửa mặt phẳng bờ d₁ (kể cả bờ d₁) chứa gốc tọa độ O.

- Miền nghiệm D₂ của bất phương trình 2x + y ≤ 120:

+ Vẽ đường thẳng d₂: 2x + y = 120.

+ Xét gốc toạ độ O(0; 0) có: 2. 0 + 0 = 0 ≤ 120 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình 2x + y ≤ 120.

Do đó, miền nghiệm D₂ của bất phương trình 2x + y ≤ 120 là nửa mặt phẳng bờ d₂ (kể cả bờ d₂) chứa gốc tọa độ O.

- Xác định miền nghiệm D₃ của bất phương trình x ≥ 0.

+ Đường thẳng x = 0 là trục tọa độ Oy.

+ Miền nghiệm D₃ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy (kể cả bờ Oy) nằm bên phải trục Oy.

- Tương tự, miền nghiệm D₄ của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox (kể cả bờ Ox) nằm bên trên trục Ox.

Từ đó ta có miền nghiệm không bị gạch chính là giao miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

Miền nghiệm là miền tứ giác OABC với O(0;0), A(0;100), B(20;80) và C(60;0).

Tính giá trị của biểu thức F(x; y) = 3,5x + 2y tại các đỉnh của tứ giác:

Tại O(0; 0): F = 3,5.0 + 2.0 = 0;

Tại A(0; 100): F = 3,5.0 + 2.100 = 200;

Tại B(20; 80): F = 3,5.20 + 2.80 = 230;

Tại C(60; 0): F = 3,5.60 + 2.0 = 210;

So sánh các giá trị thu được kết luận giá trị lớn nhất của F(x; y) là 230 khi (x; y) = (20; 80).

Đáp án đúng là: A

Hệ bất phương trình là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Khi y = 0, hệ trở thành: (vô lí)

Vậy không có giá trị nguyên nào của x thoả mãn để y = 0.

Đáp án đúng là: C

+) Xét cặp số (-1; -1): Thay x = -1 và y = -1 vào bất phương trình x ≥ 0 ta được -1 ≥ 0 là mệnh đề sai nên cặp số (-1; -1) không là nghiệm của bất phương trình x ≥ 0. Do đó cặp số (-1; -1) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Do đó A là sai.

+) Xét cặp số (-1; 0): Ta thấy x = -1 ≥ 0 là mệnh đề sai nên cặp số (-1; 0) không là nghiệm của bất phương trình x ≥ 0. Do đó cặp số (-1; 0) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Do đó B là sai.

+) Xét cặp số (1; 1):

Thay x = 1 và y = 1 vào bất phương trình x ≥ 0 ta được 1 ≥ 0 là mệnh đề đúng. Do đó cặp (1; 1) là nghiệm của bất phương trình x ≥ 0.

Thay x = 1 và y = 1 vào bất phương trình y ≥ 0 ta được 1 ≥ 0 là mệnh đề đúng. Do đó cặp (1; 1) là nghiệm của bất phương trình y ≥ 0.

Thay x = 1 và y = 1 vào bất phương trình x + y ≤ 80 ta được 1 + 1 = 2 ≤ 80 là mệnh đề đúng. Do đó cặp (1; 1) là nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 80.

Thay x = 1 và y = 1 vào bất phương trình 2x + y ≤ 120 ta được 2. 1 + 1 = 3 ≤ 120 là mệnh đề đúng. Do đó cặp (1; 1) là nghiệm của bất phương trình 2x + y ≤ 120.

Vậy (x; y) = (1; 1) là nghiệm của hệ bất phương trình .

Tương tự (x; y) = (2; 2) là nghiệm của hệ bất phương trình .

Xét cặp số: (0; -1): ta thấy y = -1 ≥ 0 là mệnh đề sai nên cặp số (0; -1) không là nghiệm của bất phương trình y ≥ 0. Do đó cặp số (-1; 0) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Do đó D là sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: B

Số giờ bác An làm xong x cây nến loại A là: 0,5x (giờ).

Số giờ bác An làm xong y cây nến loại B là: y (giờ).

Tổng số giờ để bác An làm x nến loại A và y nến loại B là: 0,5x + y (giờ).

Do bác An cần phải làm nến trong vòng không quá 8 giờ nên 0,5x + y ≤ 8.

Số nến bạn An làm luôn không âm nên x ≥ 0, y ≥ 0.

Ta có hệ bất phương trình sau:

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: A

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:

- Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0.

+ Đường thẳng x = 0 là trục tọa độ Oy.

+ Miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy (kể cả trục Oy) nằm bên phải trục Oy.

- Tương tự, miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox (kể cả trục Ox) nằm bên trên trục Ox.

- Miền nghiệm D₃ của bất phương trình 0,5x + y ≤ 8:

+ Vẽ đường thẳng ∆: 0,5x + y = 8.

+ Xét gốc toạ độ O(0; 0) có: 0,5. 0 + 0 = 0 ≤ 8 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình 0,5x + y ≤ 8.

Do đó, miền nghiệm D₃ của bất phương trình 0,5x + y ≤ 8 là nửa mặt phẳng bờ ∆ (kể cả bờ ∆) chứa gốc tọa độ O.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác OAB với: O(0; 0), A(0; 8), B(16; 0).

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

Để hệ bất phương trình trở thành hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn thì hệ số của x², y² đều phải bằng 0

⇔ m = 0.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: B

Câu A: Thay x = 1, y = 0 vào từng bất phương trình trong hệ ta có:

2.1 + 0 = 2 > 1 là mệnh đề đúng và 1 + 0 = 1 > 2 là mệnh đề sai, vậy điểm M(1; 0) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. Do đó A là sai.

Câu B: Thay x = 1, y = 0 vào từng bất phương trình trong hệ ta có:

2.1 + 0 = 2 > 1 là mệnh đề đúng và 1 + 0 = 1 > 0 là mệnh đề đúng, vậy điểm M(1; 0) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. Do đó B là đúng.

Câu C: Thay x = 1, y = 0 vào từng bất phương trình trong hệ ta có:

2.1 + 0 = 2 > 2 là mệnh đề sai và 1 + 0 = 1 > 3 là mệnh đề sai, vậy điểm M(1; 0) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. Do đó C là sai.

Câu D: Thay x = 1, y = 0 vào từng bất phương trình trong hệ ta có:

2.1 + 0 = 2 > 1 là mệnh đề đúng và 1 + 0 = 1 > 4 là mệnh đề sai, vậy điểm M(1; 0) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. Do đó D là sai.

Vậy ta chọn phương án B.

a) Đúng. Hệ đã cho là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Đúng. Thay (-2; 8) vào hệ bất phương trình ta được:

$\left\{\begin{array}{c}-2+2.8\le 30\\ 8>5\\ -2.(-2)+6.8>40\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{c}14\le 30\\ 8>5\\ 52>40\end{array}\right.$(đúng).

Vậy (-2; 8) là một nghiệm của hệ bất phương trình đó.

c) d) Sai. Tương tự, ta thay các cặp số (3; 1) và (-2; -1) vào hệ bất phương trình ta thấy không thỏa mãn, vậy đây không phải là các nghiệm của hệ bất phương trình.

Gọi x, y lần lượt là số sản phẩm loại I và loại II được sản xuất ra. Điều kiện x, y nguyên dương.

Ta có hệ bất phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}3x+2y\le 180\\ x+6y\le 220\\ x>0\\ y>0\end{array}\right.$.

Miền nghiệm của hệ trên là

Tiền lãi trong một tháng của xưởng là T = 0,5x + 0,4y (triệu đồng).

Ta thấy T đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm A, B, C. Vì C có tọa độ không nguyên nên loại.

Tại A (60, 0) thì T = 30 triệu đồng.

Tại B (30; 40) thì T = 32 triệu đồng.

Vậy tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là 32 triệu đồng.

Đáp án: 32.

Gọi x, y lần lượt là số lít nước cam và nước táo mà mỗi đội cần pha chế ( x ≥ 0; y ≥ 0).

Để pha chế  lít nước cam cần 30x g đường, x lít nước và x g hương liệu.

Để pha chế y lít nước táo cần 10y g đường, x lít nước và 4y g hương liệu.

Theo bài ra ta có hệ bất phương trình: $\left\{\begin{array}{l}30x+10y\le 210\\ x+y\le 9\\ x+4y\le 24\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}\right.\left(*\right)$.

Số điểm đạt được khi pha x lít nước cam và y lít nước táo là M (x; y) = 60x + 80y. Bài toán trở thành tìm x, y để M (x, y) đạt giá trị lớn nhất.

Ta biểu diễn miền nghiệm của hệ (*) trên mặt phẳng tọa độ như sau:

Miền nghiệm là ngũ giác ABCD.

Tọa độ các điểm: A (4; 5), B (6; 3), C (7; 0), D (0; 0), E (0; 6).

M (x; y) sẽ đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại các đỉnh của miền nghiệm nên thay tọa độ các điểm vào biểu thức M (x; y) ta được:

M (4; 5) = 640; M (6; 3) = 600; M (7; 0) = 420; M (0; 0) = 0;  M (0; 6) = 480.

Vậy giá trị lớn nhất của M (x, y) bằng 640 khi x = 4; y = 5 ⇒ a = 4; b = 5 ⇒ a - b = -1

Đáp án: −1.