18 Bài tập Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 (có đáp án) - Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 10

Đáp án đúng là: C

Nếu α là góc tù thì sinα > 0, cosα < 0, tanα < 0, cotα < 0.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: A

Hai góc α và β (0° ≤ α, β ≤ 180°) là hai góc phụ nhau (do α + β = 90°) nên sinα = cosβ; cosα = sinβ.

Do đó, P = cosα.cosβ – sinβ.sinα = cosα. sinα – cosα.sinα = 0.

Vậy P = 0.

Đáp án đúng là: C

Với mọi góc α thoả mãn 0° ≤ α ≤ 180°, ta luôn có: sin(180° ‒ α) = sinα.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC ta có: (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \hat{B}+\hat{C}=180°-\hat{A}$

$\Rightarrow$ cos(B + C) = cos(180° ‒ A) = ‒cosA;

Và sin(B + C) = sin(180° ‒ A)= sinA.

Do đó:

sinA.cos(B + C) + cosA.sin(B + C)

= sinA.(‒cosA) + cosA.sinA

= ‒sinA.cosA + cosA.sinA

= 0

Vậy sinA.cos(B + C) + cosA.sin(B + C) = 0.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $cos135°=-\frac{\sqrt{2}}{2};\sin 135°=\frac{\sqrt{2}}{2};$

Do đó: cos135° + sin135° $=-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=0$

Vậy cos135° + sin135° = 0.

Đáp án đúng là: A

Ta có:

+) sin0° + cos0° = 0 + 1 = 1. Do đó phương án A là mệnh đề sai.

+) sin90° + cos90° = 1 + 0 = 1. Do đó phương án B là mệnh đề đúng.

+) sin180° + cos180° = 0 + (‒1) = ‒1. Do đó phương án C là mệnh đề đúng.

+) $sin60°+cos60°=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}.$ Do đó phương án D là mệnh đề đúng.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

Ta có:

cos180° = cos(180° ‒ 0°) = ‒cos0° Þ cos0° + cos180° = 0;

cos179° = cos(180° ‒ 1°) = ‒cos1° Þ cos1° + cos179° = 0;

cos178° = cos(180° ‒ 2°) = ‒cos2° Þ cos2° + cos178° = 0;

…

cos91° = cos(180° ‒ 89°) = ‒cos89° Þ cos89° + cos91° = 0.

Suy ra: P = cos0° + cos1° + cos2° + ... + cos178° + cos179° + cos180°

= (cos0° + cos180°) + (cos1° + cos179°) + ... + (cos89° + cos91°) + cos90°

= 0 + 0 + ... + 0 + 0

= 0.

Do đó P = 0.

Vậy giá trị của biểu thức P = 0 thuộc khoảng (‒1;1).

Đáp án đúng là: A

Ta có:

A = sin30°.cos60° + sin60°.cos30°

$A=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\frac{4}{4}=1.$

Vậy A = 1.

Đáp án đúng là: D

Vì tanα = ‒3 nên $\frac{\sin \alpha }{cos\alpha }=-3$ do đó cosα ≠ 0

Ta có: $P=\frac{6\sin \alpha -7\cos \alpha }{7\sin \alpha +6\cos \alpha }$

$P=\frac{\frac{6\sin \alpha -7\cos \alpha }{cos\alpha }}{\frac{7\sin \alpha +6\cos \alpha }{cos\alpha }}$(do cosα ≠ 0)

$P=\frac{6\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }-7}{7\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+6}$

$P=\frac{6\tan \alpha -7}{7\tan \alpha +6}$

$P=\frac{6.\left(-3\right)-7}{7\left(-3\right)+6}=\frac{-25}{-15}=\frac{5}{3}$

Vậy $P=\frac{5}{3}.$

Đáp án đúng là: B

Tam giác ABC là tam giác đều nên có ba góc bằng 60°.

Do đó$\sin \widehat{ABC}=\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}.$ Do đó phương án B là đúng.

AH là đường cao của tam giác đều ABC nên $\widehat{BAH}=30°,\widehat{AHC}=90°$

$\Rightarrow cos\widehat{BAH}=cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2};\sin \widehat{BAH}=\sin 30°=\frac{1}{2}$ và $\sin \widehat{AHC}=\sin 90°=1.$

Do đó phương án A, C và D là sai.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: D

Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°) ta xác định được một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}=\alpha$. Gọi (x₀; y₀) là toạ độ điểm M, ta có:

- Tung độ y₀ của M là sin của góc α, kí hiệu là sinα = y₀;

- Hoành độ x₀ của M là côsin của góc α, kí hiệu là cosα = x₀;

- Tỉ số $\frac{y_0}{x_0}$ (x₀ ≠ 0) là tang của góc α, kí hiệu là $\tan \alpha =\frac{y_0}{x_0};$

- Tỉ số $\frac{x_0}{y_0}$(y₀ ≠ 0) là côtang của góc α, kí hiệu là $\cot \alpha =\frac{x_0}{y_0}.$

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M lên Ox và Oy.

Khi đó ta có: OH = x₀ = cosα, MH = OK = y₀ = sinα, OM = 1.

Tam giác OMH vuông tại H, áp dụng định lí Pythagore ta có:

MH² + OH² = OM²

Hay sin²α + cos²α = 1.

Do đó phương án A là mệnh đề đúng.

Với 0° < α < 180° và α ≠ 90° ta có: $\tan \alpha =\frac{y_0}{x_0};$ $\cot \alpha =\frac{x_0}{y_0}.$

$\Rightarrow \tan \alpha .\cot \alpha =\frac{y_0}{x_0}.\frac{x_0}{y_0}=1.$ Do đó phương án B là mệnh đề đúng.

Với α ≠ 90° ta có: $1+{\tan }^2\alpha =1+\frac{{\sin }^2\alpha }{{\text{cos}}^2\alpha }=\frac{{\text{cos}}^2\alpha +{\sin }^2\alpha }{{\text{cos}}^2\alpha }=\frac{1}{co{s}^2\alpha }$(do sin²α + cos²α = 1).

Do đó phương án C là mệnh đề đúng.

Với 0° < α < 180° và α ≠ 90° ta có:

$1+{\cot }^2\alpha =1+\frac{{\cot }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$(do sin²α + cos²α = 1).

Do đó phương án D là mệnh đề sai.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: A

Vì hai góc α và β (0° ≤ α, β ≤ 180°) là hai góc bù nhau (do α + β = 180°) nên:

cosβ = ‒cosα và sinβ = sinα.

Ta có: M = cosα.cosβ – sinβ.sinα

M = cosα.(‒cosα) ‒ sinα.sinα = ‒cos²α ‒ sin²α

M = ‒(cos²α + sin²α)

Mà cos²α + sin²α = 1 (đã chứng minh ở Câu 11).

Vậy M = ‒1.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $cos\alpha =-\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\Rightarrow$ α = 150°.

Suy ra: $sin\alpha =\frac{1}{2};\tan \alpha =-\frac{\sqrt{3}}{3};\cot \alpha =-\sqrt{3}$

Khi đó: A = sin²α – 3tanα + cot³α $={\left(\frac{1}{2}\right)}^2-3.\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)+{\left(-\sqrt{3}\right)}^3$

$A=\frac{1}{4}+\sqrt{3}-3\sqrt{3}=\frac{1}{4}-2\sqrt{3}.$

Vậy $A=\frac{1}{4}-2\sqrt{3}.$

Đáp án đúng là: B

Để tính cot22°12'21'' ta sử dụng máy tính cầm tay tính tan22°12'21'' và sau đó tính $\frac{1}{\tan 22°12\text{'}21\text{'}\text{'}}$.

Sau khi sử dụng máy tính cầm tay ta tính được cot22°12'21'' = 2,449712232…

Vậy cot22°12'21'' ≈ 2,45.

Đáp án đúng là: C

Để tìm α khi biết tanα = 1,607 thì ta sử dụng máy tính cầm tay và tính được: α ≈ 58°.

Vậy α ≈ 58°.

a) Sai. Ta có $90°<\alpha <180°$ nên $\cos \alpha <0$.

b) Đúng. Vì

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$$\Rightarrow {\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=\frac{16}{25}$.

Do đó $\cos \alpha =-\sqrt{\frac{16}{25}}=-\frac{4}{5}$.

c) Sai. Ta có

$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\frac{3}{4}$$\Rightarrow \tan \left(180°-\alpha \right)=-\tan \alpha =\frac{3}{4}$.

d) Đúng.

$A=\frac{\tan \alpha -\cot \left(180°-\alpha \right)}{\sin \left(90°-\alpha \right)}=\frac{\tan \alpha -\frac{1}{\tan \left(180°-\alpha \right)}}{\cos \alpha }$$=\frac{\frac{-3}{4}-\frac{4}{3}}{\frac{-4}{5}}=\frac{125}{48}.$

Vì $\cot \alpha =-\sqrt{2}\Rightarrow \sin \alpha \ne 0$. Chia cả tử và mẫu của biểu thức $P$ cho $\sin \alpha$ ta được:

$P=\frac{\frac{2\sin \alpha -\sqrt{2}\cos \alpha }{\sin \alpha }}{\frac{4\sin \alpha +3\sqrt{2}\cos \alpha }{\sin \alpha }}$$=\frac{2-\sqrt{2}\cot \alpha }{4+3\sqrt{2}\cot \alpha }$$=\frac{2-\sqrt{2}\cdot \left(-\sqrt{2}\right)}{4+3\sqrt{2}\cdot \left(-\sqrt{2}\right)}$$=-2=\frac{m}{n}$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}m=-2\\ n=1\end{array}\right.$

Khi đó $A={\left(-2\right)}^2+1^2=5$.

Đáp án: $5$.

Ta có

$P=\sin \left(90°-\alpha \right)-\cos \left(180°-\alpha \right)$$=\cos \alpha -\left(-\cos \alpha \right)=2\cos \alpha$

Mặt khác

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$$\Rightarrow {\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha$$=1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{8}{9}$

$\iff \left[\begin{array}{l}\cos \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}\\ \cos \alpha =-\frac{2\sqrt{2}}{3}\end{array}\right.$

Lại có $0°<\alpha <90°$ nên $\cos \alpha >0$, từ đó ta được $\cos \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Vậy $P=2\cos \alpha =\frac{4\sqrt{2}}{3}\approx 1,89$.

Đáp án: $1,89$.