15 Bài tập Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu (có đáp án) - Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 10

Đáp án đúng là: C

Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn, kí hiệu là S.

Đáp án đúng là: C

Đáp án A, B, D đúng.

Đáp án C sai. Sửa lại: Khoảng tứ phân vị không bị ảnh hưởng bởi các giá trị rất lớn hoặc rất bé trong mẫu.

Đáp án đúng là: A

Khoảng biến thiên của một mẫu số liệu, kí hiệu là R, là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đó, tức là:

R = x_n – x₁.

Do đó ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: B

Giả sử ta có một mẫu số liệu là x₁, x₂,..., x_n.

Phương sai của mẫu số liệu này, kí hiệu là S², được tính bởi công thức:

$S^2=\frac{1}{n}\left({\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2\right)$,

trong đó $\overline{x}$ là số trung bình của mẫu số liệu.

Do đó đơn vị của phương sai bằng bình phương đơn vị của mẫu số liệu.

Vậy nếu mẫu số liệu có đơn vị là kg thì phương sai có đơn vị là kg².

Do đó ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: D

Số trung bình của mẫu số liệu trên là: $\overline{x}=\frac{1}{9}\left(1+2+3+4+5+6+7+8+9\right)=5$.

Phương sai là: $S^2=\frac{1}{n}\left({\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2\right)$

$S^2=\frac{1}{9}\left({\left(1-5\right)}^2+{\left(2-5\right)}^2+{\left(3-5\right)}^2+{\left(4-5\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(8-5\right)}^2+{\left(9-5\right)}^2\right)$

$S^2=\frac{20}{3}$

Độ lệch chuẩn là: S = $\sqrt{S^2}=\sqrt{\frac{20}{3}}=\frac{2\sqrt{15}}{3}$.

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: C

Quan sát bảng số liệu, ta thấy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất lần lượt là 25 và 12.

Do đó ta có khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R = 25 – 12 = 13.

Vậy ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: D

- Vì cỡ mẫu n = 30 = 2.15 là số chẵn.

Do đó giá trị tứ phân vị thứ hai bằng trung bình cộng của số liệu thứ 15 và số liệu thứ 16.

Ta có bảng tần số sau:

Theo bảng tần số trên thì số liệu thứ 15 và số liệu thứ 16 cùng bằng 1.

Do đó ta có Q₂ = 1.

- Ta tìm tứ phân vị thứ nhất là trung vị của nửa mẫu số liệu bên trái Q₂.

Ta có cỡ mẫu lúc này n = 15 = 2.7 + 1 là số lẻ.

Nên giá trị tứ phân vị thứ nhất là số liệu thứ 8.

Do đó Q₁ = 0.

- Ta tìm tứ phân vị thứ ba là trung vị của nửa mẫu số liệu bên phải Q₂.

Ta có cỡ mẫu lúc này n = 15 = 2.7 + 1.

Nên giá trị tứ phân vị thứ ba là số liệu thứ 8 tính từ số liệu thứ 16 trở đi. Tức là giá trị tứ phân vị thứ ba là số liệu thứ 23 của mẫu dữ liệu ban đầu.

Do đó Q₃ = 3.

Ta suy ra khoảng tứ phân vị ∆_Q = Q₃ – Q₁ = 3 – 0 = 3.

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: B

Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm, ta được:

45; 45; 50; 65; 65; 70; 85; 100; 100; 165

Vì cỡ mẫu n = 10 là số chẵn, nên giá trị tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là trung bình cộng của số liệu thứ 5 và số liệu thứ 6.

Do đó Q₂ = (65 + 70) : 2 = 67,5.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 45; 45; 50; 65; 65.

Do đó Q₁ = 50.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 70; 85; 100; 100; 165.

Do đó Q₃ = 100.

Ta suy ra khoảng tứ phân vị ∆_Q = Q₃ – Q₁ = 100 – 50 = 50.

Vậy ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: B

Quan sát bảng số liệu, ta thấy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất lần lượt là 41 và 29.

Do đó ta có khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R = 41 – 29 = 12.

Vậy ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: A

Số tiền nước trung bình là: $\overline{x}=\frac{56+45+103+239+125}{5}=\frac{568}{5}=\mathrm{113,6}$.

Phương sai là: $S^2=\frac{1}{n}\left({\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2\right)$

$=\frac{1}{5}\left({\left(56-\frac{568}{5}\right)}^2+{\left(45-\frac{568}{5}\right)}^2+{\left(103-\frac{568}{5}\right)}^2+{\left(239-\frac{568}{5}\right)}^2+{\left(125-\frac{568}{5}\right)}^2\right)$

$=\frac{2395673}{500}=\mathrm{4791,346}$

Độ lệch chuẩn là: S =$\sqrt{S^2}=\sqrt{\mathrm{4791,346}}\approx \mathrm{69,22}$.

Đáp án đúng là:

Sắp xếp mẫu số liệu đã cho theo thứ tự không giảm, ta được:

3; 5; 5; 7; 8; 10; 10; 16; 20; 20; 50

Khoảng biến thiên là: R = 50 – 3 = 47.

Vì cỡ mẫu n = 11 = 2.5 + 1 là số lẻ, nên giá trị tứ phân vị thứ hai là số liệu thứ 6.

Do đó Q₂ = 10.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 3; 5; 5; 7; 8.

Do đó Q₁ = 5.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 10; 16; 20; 20; 50.

Do đó Q₃ = 20.

Khoảng tứ phân vị là: ∆_Q = Q₃ – Q₁ = 20 – 5 = 15.

Vậy ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: B

Để xét xem kết quả thi của lớp nào đồng đều hơn thì ta đi so sánh phương sai của điểm thi hai lớp.

- Điểm thi trung bình lớp 10A là:

${\overline{x}}_{10A}=\frac{3.7+5.9+6.3+7.3+8.7+9.12+10.4}{45}=\frac{103}{15}\approx \mathrm{6,87}$

Điểm thi trung bình lớp 10B là:

${\overline{x}}_{10B}=\frac{4.6+5.6+6.7+7.8+8.9+9.5+10.4}{45}=\frac{103}{15}\approx \mathrm{6,87}$

- Phương sai mẫu số liệu của lớp 10A là:

$S_{10A}^2=\frac{1}{45}\left({7.3}^2+{9.5}^2+{3.6}^2+{3.7}^2+{7.8}^2+{12.9}^2+{4.10}^2\right)-{\overline{x}}_{10A}^2$

$=\frac{2363}{45}-{\left(\frac{103}{15}\right)}^2=\frac{134}{25}=\mathrm{5,36}$

Phương sai mẫu số liệu của lớp 10B là:

$S_{10B}^2=\frac{1}{45}\left({6.4}^2+{6.5}^2+{7.6}^2+{8.7}^2+{9.8}^2+{5.9}^2+{4.10}^2\right)-{\overline{x}}_{10B}^2$

$=\frac{757}{15}-{\left(\frac{103}{15}\right)}^2=\frac{746}{225}\approx \mathrm{3,32}$

Vì 3,32 < 5,36 nên lớp 10B có kết quả thi đồng đều hơn lớp 10A.

Vậy ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: C

Ta có bảng tần số sau:

- Vì cỡ mẫu n = 20 = 2.10 là số chẵn. Nên giá trị tứ phân vị thứ hai bằng trung bình cộng của số liệu thứ 10 và số liệu thứ 11.

Khi sắp xếp mẫu số liệu đã cho theo thứ tự không giảm, ta được số liệu thứ 10 và số liệu thứ 11 cùng bằng 7.

Do đó Q₂ = 7.

- Ta tìm tứ phân vị thứ nhất là trung vị của nửa mẫu số liệu bên trái Q₂.

Vì cỡ mẫu lúc này n = 10 = 2.5 là số chẵn, nên giá trị tứ phân vị thứ nhất là trung bình cộng của số liệu thứ 5 và số liệu thứ 6.

Khi sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được số liệu thứ 5 và số liệu thứ 6 cùng bằng 5.

Do đó Q₁ = 5.

- Ta tìm tứ phân vị thứ ba là trung vị của nửa mẫu số liệu bên phải Q₂.

Vì cỡ mẫu lúc này n = 10 = 2.5 là số chẵn, nên giá trị tứ phân vị thứ ba là trung bình cộng của số liệu thứ 5 và số liệu thứ 6 (tính từ số liệu thứ 11 trở đi). Tức là giá trị tứ phân vị thứ ba là trung bình cộng của số liệu thứ 15 và số liệu thứ 16.

Khi sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được số liệu thứ 15 và số liệu thứ 16 lần lượt là 8 và 9.

Do đó Q₃ = (8 + 9) : 2 = 8,5.

Ta suy ra khoảng tứ phân vị ∆_Q = Q₃ – Q₁ = 8,5 – 5 = 3,5.

Ta có Q₃ + 1,5.∆_Q = 13,75 và Q₁ – 1,5.∆_Q = – 0,25.

Số liệu x trong mẫu là giá trị ngoại lệ nếu x > Q₃ + 1,5.∆_Q (1) hoặc x < Q₁ – 1,5.∆_Q (2)

Quan sát bảng số liệu ta thấy có số liệu x = 20 thoả mãn điều kiện (1) : 20 > 13,75.

Vậy mẫu số liệu có giá trị ngoại lệ là 20.

Đáp án đúng là: B

Điểm trung bình của An là:

$\overline{x}=\frac{\mathrm{8,0}+\mathrm{7,5}+\mathrm{7,8}+\mathrm{8,3}+\mathrm{7,0}+\mathrm{8,0}+\mathrm{8,2}+\mathrm{9,0}}{8}=\mathrm{7,975}$.

Điểm trung bình của Bình là:

$\overline{x}=\frac{\mathrm{8,5}+\mathrm{9,5}+\mathrm{9,5}+\mathrm{8,5}+\mathrm{5,0}+\mathrm{5,5}+\mathrm{6,0}+\mathrm{9,0}}{8}=\mathrm{7,6875}$.

Phương sai mẫu số liệu của An là:

$S^2=\frac{1}{8}\left({\left(\mathrm{8,0}-\mathrm{7,975}\right)}^2+{\left(\mathrm{7,5}-\mathrm{7,975}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(\mathrm{9,0}-\mathrm{7,975}\right)}^2\right)=\mathrm{0,302}$

Phương sai mẫu số liệu của Bình là:

$S^2=\frac{1}{8}\left({\left(\mathrm{8,5}-\mathrm{7,6875}\right)}^2+{\left(\mathrm{9,5}-\mathrm{7,6875}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(\mathrm{9,0}-\mathrm{7,6875}\right)}^2\right)=\mathrm{3,059}$

Vì 3,059 > 0,302 nên Bình học lệch hơn An.

Vậy ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: C

Ta thấy m, n đều là số tự nhiên.

Số học sinh của lớp đó là: 10 + m + 8 + 6 + n + 3 = 40 Þ m + n = 13 (1)

Số sách trung bình là:$\overline{x}=\frac{10.1+2m+3.8+4.6+5n+6.3}{40}=\frac{2m+5n+76}{40}$.

Vì phương sai của mẫu số liệu xấp xỉ 2,52 nên ta có:

$\frac{1}{40}\left({10.1}^2+m{.2}^2+{8.3}^2+{6.4}^2+n{.5}^2+{3.6}^2\right)-{\overline{x}}^2\approx \mathrm{2,52}$

$\iff \frac{1}{40}\left(4m+25n+286\right)-{\left(\frac{2m+5n+76}{40}\right)}^2\approx \mathrm{2,52}$ (2)

Ta thấy m, n là nghiệm của phương trình (1), (2) và m, n là số tự nhiên.

Cách 1:

Thế m = 7, n = 6 vào vế trái (2) ta được: VT ≈ 2,6 ≠ 2,52

Do đó ta loại đáp án A.

Thế m = 6, n = 7 vào vế trái (2) ta được: VT ≈ 2,669 ≠ 2,52

Do đó ta loại đáp án B.

Thế m = 8, n = 5 vào vế trái (2) ta được: VT ≈ 2,52 (đúng)

Do đó ta chọn đáp án C.

Thế m = 5, n = 8 vào vế trái (2) ta được: VT ≈ 2,73 ≠2,52

Do đó ta loại đáp án D.

Vậy m = 8 và n = 5.

Cách 2:

Từ (1) ta có: n = 13 – m, thay vào (2) ta được:

$\frac{1}{40}\left(4m+25\left(13-m\right)+286\right)-{\left(\frac{2m+5\left(13-m\right)+76}{40}\right)}^2\approx \mathrm{2,52}$

$\iff \frac{1}{40}\left(611-21m\right)-{\left(\frac{141-3m}{40}\right)}^2\approx \mathrm{2,52}$

$\iff \frac{1}{40}\left(611-21m\right)-\frac{{141}^2-\mathrm{2.141.3}m+9m^2}{1600}\approx \mathrm{2,52}$

⇔ ‒9m² + 6m + 4559 – 4032 ≈ 0

⇔ ‒9m² + 6m + 527 ≈ 0

$\iff \left(\begin{array}{c}m\approx 8\left(tm\right)\\ m\approx -\mathrm{7,3}\left(ktm\right)\end{array}\right)$

Với m = 8 ta có n = 13 – 8 = 5.

Vậy m = 8 và n = 5.

Vậy ta chọn đáp án C.