18 Bài tập Dấu của tam thức bậc hai (có đáp án) - Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 10

Đáp án đúng là: D

Xét biếu thức f(x) = x² + 2x + 1 có ∆ = 0 và nghiệm là x = – 1; a = 1 > 0.

Ta có bảng xét dấu như sau:

Đáp án đúng là D.

Đáp án đúng là: C

Xét đáp án A có f(x) = x + 2 là nhị thức bậc nhất

Xét đáp án B có f(x) = 2x³ + 2x² – 1 là biểu thức bậc ba

Xét đáp án C có f(x) = x² – 3x là tam thức bậc hai

Xét đáp án D có f(x) = 2x – 1 là nhị thức bậc nhất

Chọn C

Để f(x) không dương thì x² – 6x + 8 ≤ 0

Xét biểu thức f(x) = x² – 6x + 8 có ∆ = 4 > 0, hai nghiệm phân biệt là x = 2; x = 4 và a = 1 > 0.

Ta có bảng xét dấu sau

Từ bảng xét dấu f(x) ta thấy để f(x) ≤ 0 thì x ∈ [2; 4]

Đáp án đúng là: C

Ta có: f(x) = x² + 4x + m + 3 luôn luôn dương ⇔ x² + 4x + m + 3 > 0 với mọi x ∈ ℝ $\iff \left(\begin{array}{c}a=1>0\\ {\Delta }^{\text{'}}=2^2-(m+3)<0\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}a=1>0\\ m>1\end{array}\right)$.

Vậy đáp án đúng là C.

Đáp án đúng là: D

Xét đáp án A: f(x) = x² – 5x + 6

Xét biểu thức f(x) = x² – 5x + 6 có ∆ = 1 > 0, hai nghiệm phân biệt là x = 2 ; x = 3 và a = 1 > 0

Ta có bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu ta có tam thức f(x) = x² – 5x + 6 nhận giá trị âm khi 2 < x < 3.

Vậy đáp án A sai.

Xét đáp án B: f(x) = x² – 16

Xét biểu thức f(x) = x² – 16 có ∆’ = 16 > 0, hai nghiệm phân biệt là x = 4 ; x = – 4 ; và a = 1 > 0. Ta có bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta có tam thức f(x) = x² – 16 nhận giá trị âm khi – 4 < x < 4

Vậy đáp án B sai.

Xét đáp án C: f(x) = x² + 2x + 3

Xét biểu thức f(x) = x² + 2x + 3 = 0 có ∆ < 0 ⇔ Phương trình vô nghiệm và a = 1 > 0

Ta có bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta có tam thức y = x² – 2x + 3 nhận giá trị dương với mọi x ∈ ℝ

Vậy đáp án C sai.

Xét đáp án D: y = – x² + 5x – 4.

Xét biểu thức f(x) = – x² + 5x – 4 = 0 có ∆ = 9 > 0, hai nhiệm phân biệt là x = 1, x = 4 và a = – 1 < 0

Ta có bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta có tam thức y = –x² + 5x – 6 nhận giá trị âm khi $x\in (-\infty ;1)\cup (4;+\infty )$.

Vậy đáp án D đúng.

Đáp án đúng là:D

Trường hợp 1, m = 0. Khi đó: f(x) = – 1 < 0 ∀x ∈ ℝ. Vậy m = 0 thoả mãn bài toán.

Trường hợp 2, m ≠ 0.Khi đó:

f(x) = mx² – 2mx + m – 1 < 0 ∀x ∈ ℝ $\iff \left(\begin{array}{c}a=m<0\\ {\Delta }^{\text{'}}=m^2-m\left(m-1\right)<0\end{array}\right)$

Vậy m ≤ 0 thỏa mãn bài toán.

Đáp án đúng là: B

Ta có f(x) nhận giá trị không dương với mọi x ⇔ f(x) ≤ 0 ∀x ∈ ℝ.

Xét m = 3 ta có f(x) = 5x – 4 với f(x) ≤ 0 thì $x\le \frac{4}{5}$ nên m = 3 không thỏa mãn.

Xét m ≠ 3 ta có f(x) ≤ 0 ∀x ∈ ℝ $\iff \left(\begin{array}{c}a=m-3<0\\ \Delta =m^2+20m-44\le 0\end{array}\right)$$\iff \left(\begin{array}{c}m<3\\ m^2+20m-44\le 0\end{array}\right)$

Xét m² + 20m – 44 = 0$\iff \left(\begin{array}{c}m=2\\ m=-22\end{array}\right)$

Ta có bảng xét dấu:

Để f(x) ≤ 0 ∀x ∈ ℝ $\iff \left(\begin{array}{c}m<3\\ -22\le m\le 2\end{array}\right)\iff -22\le m\le 2$

Vậy đáp án đúng là B.

Đáp án đúng là: C

+) Với m = 0 thì f(x) = – x, f(x) > 0 ⇔ – x > 0 ⇔ x < 0. Do đó m = 0 không thỏa mãn.

Ta có để f(x) = mx² – x + m > 0, ∀x ∈ ℝ $\iff \left(\begin{array}{c}m>0\\ \Delta ={\left(-1\right)}^2-4.m.m<0\end{array}\right)$$\iff \left(\begin{array}{c}m>0\\ 1-4m^2<0\end{array}\right)$

Xét biểu thức g(m) = 1 – 4m² có ∆ = 16 > 0, hai nghiệm phân biệt là m = $\frac{1}{2}$, m = $-\frac{1}{2}$ và a = – 4 < 0

Ta có bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu ta có 1 – 4m² < 0 $\iff m\in \left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{2};+\infty \right)$;

Vậy để f(x) = mx² – x + m nhận giá trị dương , ∀x ∈ ℝ

$\iff \left(\begin{array}{c}m>0\\ m\in \left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{2};+\infty \right)\end{array}\right)\iff m>\frac{1}{2}$

Đáp án đúng là: D

Xét tam thức y = – x² – 3x – 4 có ∆ = – 7, và a = – 1 < 0

Ta có bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta có tam thức y = – x² – 3x – 4 nhận giá trị âm với mọi x ∈ ℝ.

Đáp án đúng là: A

Trường hợp 1, m = 0 ta có f(x) < 0 ⇔– 2x – 1 < 0 ⇔ $x>-\frac{1}{2}$

Do đó m = 0 không thỏa yêu cầu bài toán.

Trường hợp 2, m ≠ 0

Ta có để f(x) < 0 với mọi x ∈ ℝ$\iff \left(\begin{array}{c}m<0\\ {\Delta }^{\text{'}}<0\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}m<0\\ 1+m<0\end{array}\right)\iff m<-1$.

Đáp án đúng là: D

Để biểu thức f(x) = (m + 2)x² – 3mx + 1 là tam thức bậc hai thì m + 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ – 2.

Đáp án đúng là: B

Ta có f(x) = (m² + 2)x² – 2(m – 2)x + 2 luôn nhận giá trị dương ⇔ (m² + 2)x² – 2(m – 2)x + 2 > 0 với mọi x ∈ ℝ $\iff \left(\begin{array}{c}a>0\\ {\Delta }^{/}<0\end{array}\right)$$\iff \left(\begin{array}{c}{m}^2+2>0\\ -m^2-4m<0\end{array}\right)$

Vì m² + 2 > 0 với mọi m nên để (m² + 2)x² – 2(m – 2)x + 2 > 0 thì – m² – 4m < 0

Xét f(m) = – m² – 4m có ∆ = 16 > 0, hai nghiệm phân biệt là m = 0; m = – 4 và a = – 1 < 0. Ta có bảng xét dấu:

Vậy để – m² – 4m < 0 thì m < – 4 hoặc m > 0.

Đáp án đúng là: B

Ta có: f(x) = x² – (m + 2)x + 8m + 1 đổi dấu 2 lần khi phương trình x² – (m + 2)x + 8m + 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt

Vậy ∆ = (– (m + 2))² – 4.1.(8m + 1) > 0 ⇔ m² – 28m > 0

Xét f(m) = m² – 28m có ∆’ = 196 > 0, hai nghiệm phân biệt là m = 0; m = 28 và a = 1 > 0. Ta có bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu để m² – 28m > 0 thì m < 0 hoặc m > 28.

Vậy tam thức f(x) đổi dấu 2 lần khi m < 0 hoặc m > 28.

Đáp án đúng là: A

Để f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ $\iff \left(\begin{array}{c}a=1>0\\ \Delta \text{'}\le 0\end{array}\right)$

Ta có ∆’ = m² – 3m + 2 ≤ 0

Xét f(m) = m² – 3m + 2 có ∆ = 1 > 0, hai nghiệm phân biệt là m = 1; m = 2 và a = 1 > 0. Ta có bản xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta có để m² – 3m + 2 ≤ 0 thì 1 ≤ m ≤ 2.

Vậy với 1 ≤ m ≤ 2 thì f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.

Đáp án đúng là: A

Từ đồ thị ta có:

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ x = – 1 và x = 3 nên f(x) có 2 nghiệm phân biệt là x = –1; x = 3 ta loại đáp án C và D.

f(x) nhận giá trị dương trên các khoảng (– ∞; –1) và (3; + ∞); f(x) nhận giá trị âm trên khoảng (–1; 3) ta loại đáp án B.

a) Đúng. Ta có $f\left(0\right)=\left(m-1\right)\cdot 0^2+0+3=3>0$.

b) Đúng. $f\left(x\right)$ là tam thức bậc hai khi và chỉ khi $m-1\ne 0$, tức là $m\ne 1$.

c) Sai. Ta có $f\left(1\right)=\left(m-1\right)\cdot 1^2+1+3=m+3$.

Do đó $f\left(1\right)\ge 0$ khi $m+3\ge 0$, tức là $m\ge -3$.

d) Sai. Thay $m=1$ vào $f\left(x\right)$, ta được $f\left(x\right)=x+3$, ta thấy $f\left(x\right)$ không thể nhận giá trị dương với mọi $x$.

Ta có $\Delta =1^2-4\left(m-1\right)\cdot 3=13-4m$.

Với $m\ne 1$ hàm số $f\left(x\right)$ là tam thức bậc hai, do đó $f\left(x\right)>0\forall x$ khi $\left\{\begin{array}{l}m-1>0\\ \Delta <0\end{array}\right.$, suy ra $\left\{\begin{array}{l}m>1\\ m>\frac{13}{4}\end{array}\right.$, suy ra $m>\frac{13}{4}$.

Vậy hàm số luôn nhận giá trị dương khi $m>\frac{13}{4}$.

Để hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{2x^2-\left(2m-1\right)x+1}}$ có tập xác định là $ℝ$ thì $2x^2-\left(2m-1\right)x+1>0$ đúng $\forall x\in ℝ$, điều này xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}a>0\\ \Delta <0\end{array}\right.$.

Ta có a = 2 > 0 và $\Delta ={\left(2m-1\right)}^2-4\cdot 2\cdot 1<0$$\iff 4m^2-4m-7<0$.

Tam thức $4m^2-4m-7$ có hai nghiệm $m=\frac{1-2\sqrt{2}}{2}$ và $m=\frac{1+2\sqrt{2}}{2}$ và hệ số của $m^2$ bằng 4 lớn hơn 0 nên $4m^2-4m-7<0$ khi $\frac{1-2\sqrt{2}}{2}<m<\frac{1+2\sqrt{2}}{2}$.

Mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left(0;1\right)$.

Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Đáp án: 2.

Ta có: $a=m-1,b=2\left(m-1\right),b^{\text{'}}=m-1,c=m-3$.

Theo giả thiết: $\left(m-1\right)x^2+2\left(m-1\right)x+m-3\le 0,\forall x\in ℝ(*)$.

Trường hợp 1: $a=m-1=0\Rightarrow m=1$. Thay vào (*): $1-3\le 0,\forall x\in ℝ$ (đúng).

Suy ra m = 1 thỏa mãn.

Trường hợp 2: $a=m-1\ne 0\Rightarrow m\ne 1$.

$(*)\iff \left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}a<0\\ {\Delta }^{\text{'}}\le 0\end{array}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}m-1<0\\ {\left(m-1\right)}^2-\left(m-1\right)\left(m-3\right)\le 0\end{array}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}m<1\\ m^2-2m+1-\left(m^2-4m+3\right)\le 0\end{array}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}m<1\\ 2m-2\le 0\end{array}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}m<1\\ m\le 1\end{array}\end{array}\iff m<1.\right.$

Hợp hai kết quả trên, ta được $m\le 1$. Mà $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$ nên m=1.

Đáp án: 1.