18 Bài tập Giải tam giác và ứng dụng thực tế (có đáp án) - Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 10

Đáp án đúng là: D

Áp dụng hệ quả định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

$\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=\frac{{15}^2+{13}^2-{24}^2}{\mathrm{2.15.13}}=-\frac{7}{15}$

Do đó $\hat{A}\approx 117°49\text{'}.$

Vậy $\hat{A}\approx 117°49\text{'}.$

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác ABC có $\hat{A}=68°12\text{'},\hat{B}=34°44\text{'},$ ta có:

$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \hat{C}=180°-\hat{A}-\hat{B}$

$\Rightarrow \hat{C}=180°-68°12\text{'}-34°44\text{'}=77°4\text{'}.$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$

$\Rightarrow AC=\frac{AB.\sin B}{\sin C}=\frac{117.\sin 34°44\text{'}}{\sin 77°4\text{'}}\approx 68.$

Vậy AC ≈ 68.

Đáp án đúng là: B

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

AB² = AC² + BC² – 2.AC.BC.cosC

$\Rightarrow {\left(\sqrt{2}\right)}^2={\left(\sqrt{3}\right)}^2+B{C}^2-2.\sqrt{3}.BC.cos45°$

$\Rightarrow B{C}^2-\sqrt{6}.BC+1=0$

$\Rightarrow BC=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$(vì BC > 0)

Vậy $BC=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}.$

Đáp án đúng là: B

Áp dụng hệ quả định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

+) $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=\frac{{\left(\sqrt{3}+1\right)}^2+{\left(\sqrt{6}\right)}^2-2^2}{2.\left(\sqrt{3}+1\right)\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

+) $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2.AB.BC}=\frac{{\left(\sqrt{3}+1\right)}^2+2^2-{\left(\sqrt{6}\right)}^2}{2.\left(\sqrt{3}+1\right).2}=\frac{1}{2}$

Do đó $\hat{B}-\hat{A}=60°-45°=25°.$

Vậy $\hat{B}-\hat{A}=25°.$

Đáp án đúng là: D

Diện tích tam giác ABC là: $S=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin A\Rightarrow \sin A=\frac{2S}{AB.AC}$

$\Rightarrow \sin A=\frac{2.12}{5.8}=\frac{3}{5}\Rightarrow \hat{A}\approx 36°52\text{'}$ (vì góc A là góc nhọn)

Xét tam giác ABC có AB = 5, AC = 8 và $\hat{A}\approx 36°52\text{'}$, áp dụng định lí côsin ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA

BC² ≈ 5² + 8² – 2.5.8.cos36°52' ≈ 25

Þ BC ≈ 5.

Vậy BC ≈ 5.

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC có $\hat{A}=40°,\hat{B}=60°,$ ta có:

$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$(định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \hat{C}=180°-\hat{A}-\hat{B}$

$\Rightarrow \hat{C}=180°-40°-60°=80°.$

Theo định lí sin ta có: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$

$\Rightarrow BC=\frac{AB.\sin A}{\sin C}=\frac{5.\sin 40°}{\sin 80°}\approx 3,3$

Vậy BC ≈ 3,3.

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC có AB = 2, BC = 3 và $\widehat{ABC}=60°,$ áp dụng định lí côsin ta có:

AC² = AB² + BC² – 2.AB.BC.$cos\widehat{ABC}$

=> AC² = 2² + 3² – 2.2.3.cos60° = 7 $\Rightarrow AC=\sqrt{7}$

Do đó chu vi tam giác ABC là: AB + AC + BC $=2+3+\sqrt{7}=5+\sqrt{7}.$

Diện tích tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}.BA.BC.\sin \widehat{ABC}=\frac{1}{2}\mathrm{.2.3.}\sin 60°=\frac{3\sqrt{3}}{2}$(đơn vị diện tích).

Vậy chu vi và diện tích tam giác ABC lần lượt là: $5+\sqrt{7}$ và $\frac{3\sqrt{3}}{2}.$

Đáp án đúng là: C

Ta có $\widehat{ABM}=\widehat{MBN}=\widehat{NBC}=\frac{\widehat{ABC}}{3}=\frac{90°}{3}=30°$

$\Rightarrow \widehat{ABN}=\widehat{MBC}=60°$

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABM ta có:

AM² = AB² + BM² – 2.AB.BM.$cos\widehat{ABM}$

=> AM² = q² + x² – 2.q.x.cos30°

$\Rightarrow A{M}^2=q^2+x^2-2.q.x.\frac{\sqrt{3}}{2}=q^2+x^2-qx\sqrt{3}.$ (1)

Do đó phương án B là mệnh đề sai.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABN ta có:

AN² = AB² + BN² – 2.AB.BN.$cos\widehat{ABN}$

Þ AN² = q² + y² – 2.q.y.cos60°

$\Rightarrow A{N}^2=q^2+y^2-2.q.y.\frac{1}{2}=q^2+y^2-qy.$ (2)

Do đó phương án C là mệnh đề đúng.

Từ (1) và (2) suy ra AM² ≠ AN² nên phương án A là mệnh đề sai.

Tam giác ABC vuông tại B nên AC² = AB² + BC² = q² + m².

Do đó phương án D là mệnh đề sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\widehat{CAB}=180°-51°40\text{'}=128°20\text{'}$

Xét tam giác ABC ta có: $\widehat{CAB}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{ACB}=180°-\widehat{CAB}-\widehat{ABC}$

$\Rightarrow \widehat{ACB}=180°-128°20\text{'}-45°39\text{'}=6°1\text{'}.$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}}=\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}$

$\Rightarrow \frac{AC}{\sin 45°39\text{'}}=\frac{10}{\sin 6°1\text{'}}$ $\Rightarrow AC=\frac{10.\sin 45°39\text{'}}{\sin 6°1\text{'}}$

Xét tam giác ACH vuông tại H có:

$\Rightarrow CH=\frac{10.\sin 45°39\text{'}}{\sin 6°1\text{'}}.\sin 51°40\text{'}$ ≈ 53,51 (m)

Chiều cao của cột cờ là khoảng: 1,5 + 53,51 = 55,01 (m)

Vậy cột cờ cao khoảng 55,01 m.

Đáp án đúng là: A

Bán kính R của chiếc đĩa bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Nửa chu vi của tam giác ABC là: $p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{4,3+7,5+3,7}{2}=\frac{31}{4}\left(cm\right)$

Diện tích tam giác ABC theo công thức Heron là:

$S=\sqrt{p\left(p-AB\right)\left(p-AC\right)\left(p-BC\right)}\approx 5,2\left(c{m}^2\right)$

Mặt khác: $S=\frac{AB.AC.BC}{4R}\Rightarrow R=\frac{AB.AC.BC}{4S}\approx \frac{4,3.7,5.3,7}{4.5,2}\approx 5,73\left(cm\right)$

Vậy bán kính của chiếc đĩa là khoảng 5,73 cm.

Đáp án đúng là: B

Gọi x giờ (x > 0) là khoảng thời gian kể từ khi bắt đầu chạy từ điểm O đến khi hai vận động viên cách nhau 10 km.

Khi đó đoạn đường mà vận động viên A chạy được là 13x (km);

Đoạn đường mà vận động viên B chạy được là 12x (km).

Theo hình vẽ trên ta có: AB = 10, OA = 13x, OB = 12x và $\widehat{AOB}=135°-15°=120°$

Áp dụng định lí côsin trong tam giác OAB ta có:

AB² = OA² + OB² – 2.OA.OB.$\sin \widehat{AOB}$

$\Rightarrow$ 10² = (13x)² + (12x)² – 2.13x.12x.sin120°

$\Rightarrow {10}^2=169x^2+144x^2-312x^2.\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow {10}^2=\left(313-156\sqrt{3}\right)x^2$

$\Rightarrow x^2=\frac{10}{313-156\sqrt{3}}$$\Rightarrow$ x ≈ 0,483 (giờ) (vì x > 0) ≈ 29 phút.

Do đó thời điểm mà hai vận động viên cách nhau 10 km là khoảng: 9 giờ 29 phút.

Vậy vào khoảng 9 giờ 29 phút thì hai vận động viên sẽ cách nhau 10 km.

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác ABD ta có: $\alpha =\widehat{ADB}+\beta$ (tính chất góc ngoài của tam giác)

$\Rightarrow \widehat{ADB}=\alpha -\beta =63°–48°=15°.$

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABD, ta có: $\frac{AD}{\sin B}=\frac{AB}{\sin \widehat{ADB}}$

$\Rightarrow AD=\frac{AB}{\sin \widehat{ADB}}.\sin B=\frac{24}{\sin 15°}.\sin 48°\approx 68,91\left(m\right)$

Trong tam giác vuông ACD, có h = CD = AD.sinα

$\Rightarrow$ h ≈ 68,91.sin63° ≈ 61,4 (m)

Vậy kết quả gần với phương án D nhất nên ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

Ta có:

$\Rightarrow$ DABC vuông tại A hoặc DABC cân tại A.

Vậy DABC vuông tại A hoặc DABC cân tại A.

Đáp án đúng là: A

Từ hình vẽ ta có $\widehat{ABC}=90°+15°30\text{'}=105°30\text{'}$

Xét tam giác ABC có ta có: $\widehat{CAB}=60°,\widehat{ABC}=105°30\text{'}$

$\widehat{CAB}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$(định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{ACB}=180°-\widehat{CAB}-\widehat{ABC}$

$\Rightarrow \widehat{ACB}=180°-60°-105°30\text{'}=14°30\text{'}.$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có: $\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}}=\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}$

$\Rightarrow AC=\frac{AB.\sin \widehat{ABC}}{\sin \widehat{ACB}}=\frac{70.\sin 105°30\text{'}}{\sin 14°30\text{'}}\approx 269,4\left(m\right)$

Tam giác ACH vuông tại H nên ta có: $CH=AC.\sin \widehat{CAH}\approx 269,4.\sin 30°\approx 134,7\left(m\right)$

Vậy ngọn núi cao khoảng 135 m.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\widehat{SQB}=\widehat{PQT}=\alpha ,\widehat{TPO}=\beta$

Áp dụng định lí côsin trong tam giác OPQ ta có:

PQ² = OP² + OQ² – 2.OP.OQ.cos$\widehat{POQ}$

$\Rightarrow P{Q}^2=2^2+{\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)}^2–\mathrm{2.2.}\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right).cos45°$$\Rightarrow$ PQ² = 8 $\Rightarrow PQ=2\sqrt{2}\left(m\right)$

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác OPQ ta có:

$cos\alpha =cos\widehat{OQP}=\frac{O{Q}^2+P{Q}^2-O{P}^2}{2.OQ.PQ}=\frac{{\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)}^2+8-2^2}{2.\left(\sqrt{2}+\sqrt{+6}\right).2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

$\Rightarrow$ α = 30°

Xét tam giác POQ có: β = 45° + α (tính chất góc ngoài của tam giác)

$\Rightarrow$ β = 45° + 30° = 75° $\Rightarrow \widehat{TPO}=75°$

Xét tam giác OTP ta có: $\widehat{OTP}+\widehat{TOP}+\widehat{TPO}=180°$(định lí tổng ba góc trong tam giác)

Hay $\widehat{OTP}+45°+75°=180°$

$\Rightarrow \widehat{OTP}=180°-45°-75°=60°$

Áp dụng định lí sin cho tam giác OTP ta có: $\frac{OP}{\sin \widehat{OTP}}=\frac{PT}{\sin \widehat{TOP}}$

$\Rightarrow \frac{2}{\sin 60°}=\frac{PT}{\sin 45°}\Rightarrow PT=\frac{2.\sin 45°}{\sin 60°}=\frac{2.\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}.$

Vậy $PT=\frac{2\sqrt{6}}{3}.$

a) Đúng. Ta có

$\hat{B}=180°-\left(\hat{A}+\hat{C}\right)=180°-\left(135°+15°\right)=30°$.

b) Đúng. Theo định lí sin trong $△ABC$, ta có:

$\frac{BC}{\sin A}=\frac{CA}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}=2R\iff \frac{BC}{\sin 135°}=\frac{12}{\sin 30°}=\frac{AB}{\sin 15°}=2R$.

Suy ra $BC=\frac{12\cdot \sin 135°}{\sin 30°}=12\sqrt{2}.$

c) Sai. Ta có $AB=\frac{12\cdot \sin 15°}{\sin 30°}\approx 6,21$.

d) Sai. Ta có $R=\frac{12}{2\sin 30°}=12.$

Xét tam giác $PAD$ có

$PD=\sqrt{P{A}^2+A{D}^2-2\cdot PA\cdot AD\cdot \cos \widehat{PAD}}$

$=\sqrt{8^2+3^2-2\cdot 8\cdot 3\cdot \cos 100°}\approx 9,02$

và $\cos \widehat{APD}=\frac{P{A}^2+P{D}^2-A{D}^2}{2\cdot PA\cdot PD}=\frac{8^2+9,{02}^2-3^2}{2\cdot 8\cdot 9,02}\approx 0,94$

suy ra $\widehat{APD}\approx 19°$.

Xét tam giác $PBD$có $\widehat{BPD}=\widehat{BPA}-\widehat{APD}\approx 40°-19°=21°$,

và $BD=\sqrt{P{B}^2+P{D}^2-2\cdot PB\cdot PD\cdot \cos \widehat{BPD}}$$\approx 3,53$(km).

Vậy bạn Bình phải đi khoảng $3,53$ km nữa để đến đích.

Đáp án: $3,53$.

Giả sử tàu du lịch xuất phát từ vị trí $A$, chuyển động theo hướng $N80°E$ tới vị trí $B$ sau đó chuyển hướng $N80°S$ tới vị trí $C$ như hình vẽ dưới đây:

Ta có $\widehat{ABC}=180°-10°-20°=150°$.

Tàu chạy từ vị trí $A$ đến vị trí $B$ với vận tốc $20km/h$ trong 30 phút  (tức 0,5 giờ) nên: $AB=20\cdot 0,5=10$(km).

Tàu chạy từ vị trí  $B$ đến vị trí  $C$ với vận tốc $20km/h$ trong 36 phút (tức 0,6 giờ) nên: $BC=20\cdot 0,6=12$(km).

Áp dụng định lí côsin cho tam giác $ABC$ ta được:

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2AB\cdot AC\cdot \cos \widehat{BAC}$

$={10}^2+{12}^2-2\cdot 10\cdot 12\cdot \cos 150°\approx 452$

Suy ra $AC\approx \sqrt{452}\approx 21,3\left(\text{km}\right)$.

Vậy khi tới đảo Cát Bà thì tàu du lịch cách vị trí xuất phát (bãi biển Đồ Sơn) một khoảng $21,3$ km.

Đáp án: 21,3.