Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo
Với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.
Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo
Lý thuyết Giải tam giác và ứng dụng thực tế
1. Giải tam giác
Giải tam giác là tìm số đo các cạnh và các góc còn lại của tam giác khi ta biết được các yếu tố đủ để xác định tam giác đó.
Để giải tam giác, ta thường sử dụng một cách hợp lí các hệ thức lượng như: định lí sin, định lí côsin và các công thức tính diện tích tam giác.
Ví dụ 1. Giải tam giác ABC biết AB = 45, AC = 32 và = 60o
Hướng dẫn giải
+) Theo định lí côsin ta có:
BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cosA
BC2 = 452 + 322 – 2.45.32.cos60° = 1609.
BC ≈ 40,11.
+) Theo định lí sin ta có:
= 44° (không thể xảy ra trường hợp ≈ 136o do > 180o)
Xét tam giác ABC có = 60o, = 44o ta có:
= 180o (định lí tổng ba góc trong tam giác)
= 180o -- ≈ 180o - 60o - 44o = 76o
Vậy BC ≈ 40,11; ≈44o và ≈ 76o
2. Áp dụng giải tam giác vào thực tế
Vận dụng giải tam giác giúp ta giải quyết rất nhiều bài toán trong thực tế, đặc biệt là trong thiết kế và xây dựng.
Ví dụ 2. Một khung thành bóng đá rộng 5 mét. Một cầu thủ đứng ở vị trí cách cột dọc khung thành 26 mét và cách cột còn lại 23 mét, sút bóng vào khung thành. Tính góc nhìn của cầu thủ tới hai cột khung thành trên.
Hướng dẫn giải
Vị trí cầu thủ C và khung thành AB được mô tả như hình vẽ dưới đây:
Gọi α là góc nhìn của cầu thủ C tới hai cột khung thành A và B, tức là =
Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:
Suy ra α ≈ 9°23'.
Vậy góc nhìn của cầu thủ tới hai cột khung thành là khoảng 9°23'.
Ví dụ 3.Từ hai vị trí A và B của một toà nhà, người ta quan sát đỉnh C của một ngọn núi. Biết rằng độ cao AB = 70 m, phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 30°, phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15°30' (hình vẽ). Tính độ cao của ngọn núi.
Hướng dẫn giải
Ta có = 90o - 30o = 60o.
= 90o+15o30' = 105o30'
Xét tam giác ABC ta có:
= 180o (định lí tổng ba góc trong tam giác)
= 180o-
= 180o- 60o - 105o30' = 14o30'
Áp dụng định lí sin ta có:
AC ≈ 269,4 (m)
Tam giác ACH vuông tại H ta có:
CH = AC.sin 269,4.sin30o 134,7 (m)
Vậy ngọn núi cao khoảng 134,7 m.
Bài tập Giải tam giác và ứng dụng thực tế
1. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Tam giác ABC có góc A nhọn, AB = 5, AC = 8, diện tích bằng 12. Độ dài cạnh BC là khoảng:
A. 2
B. 3
C. 4;
D. 5.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Diện tích tam giác ABC là: S = .AB.Ac.sinA sinA =
sinA = 36o52' (vì góc A là góc nhọn)
Xét tam giác ABC có AB = 5, AC = 8 và , áp dụng định lí côsin ta có:
BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cosA
BC2 ≈ 52 + 82 – 2.5.8.cos36°52' ≈ 25
BC ≈ 5.
Vậy BC ≈ 5.
Câu 2. Cho tam giác ABC. Biết AB = 2, BC = 3 và = 60o. Chu vi và diện tích tam giác ABC lần lượt là:
A. 5+ và ;
B. 5+ và ;
C. 5+ và ;
D. 5+ và .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Xét tam giác ABC có AB = 2, BC = 3 và = 60o áp dụng định lí côsin ta có:
AC2 = AB2 + BC2 – 2.AB.BC. cos
AC2 = 22 + 32 – 2.2.3.cos60° = 7
AC =
Do đó chu vi tam giác ABC là:
AB + AC + BC = 2 +3 + = 5 +
Diện tích tam giác ABC là:
S = .BA.BC.sin= .2.3.sin60o = (đơn vị diện tích).
Vậy chu vi và diện tích tam giác ABC lần lượt là: 5 + và
Câu 3. Trong khi khai quật một ngôi mộ cổ, các nhà khảo cổ học đã tìm được một chiếc đĩa cổ hình tròn bị vỡ, các nhà khảo cổ muốn khôi phục hình dạng chiếc đĩa này. Để xác định bán kính của chiếc đĩa, các nhà khảo cổ lấy 3 điểm trên chiếc đĩa và tiến hành đo đạc thu được kết quả như hình vẽ (AB = 4,3 cm; BC = 3,7 cm; CA = 7,5 cm).
Bán kính của chiếc đĩa này bằng (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai):
A. 5,73 cm;
B. 6,01 cm;
C. 5,85 cm;
D. 4,57 cm.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Bán kính R của chiếc đĩa bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Nửa chu vi của tam giác ABC là:
(cm)
Diện tích tam giác ABC theo công thức Heron là:
Mặt khác:
Vậy bán kính của chiếc đĩa là khoảng 5,73 cm.
2. Bài tập tự luận
Bài 1. Giải tam giác ABC biết AC = 16, = 60o và = 50o (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Hướng dẫn giải
Xét tam giác ABC có = 60o, = 50o ta có:
= 180o (định lí tổng ba góc trong tam giác)
= 180o -- ≈ 180o - 60o - 50o = 70o
Theo định lí sin ta có:
Vậy = 70o , BC ≈ 18,1 và AB ≈ 19,6.
Bài 2. Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù lao giữa sông, người ta chọn một điểm B cùng ở trên bờ với A sao cho từ A và B đều có thể nhìn thấy điểm C. Người ta đo được khoảng cách AB = 40 m, = 45o và = 70o.Tính khoảng cách AC (làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần trăm).
Hướng dẫn giải
Xét tam giác ABC có = 45o, = 70o ta có:
= 180o (định lí tổng ba góc trong tam giác)
= 180o -- ≈ 180o - 45o - 70o = 65o
Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có:
Vậy khoảng cách từ A trên bờ sông đến gốc cây C khoảng 41,47 m.
Bài 3. Trên nóc một toà nhà có một cột cờ cao 2 m. Từ vị trí quan sát A cao 5 m so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột cờ dưới góc 45° và 40° so với phương nằm ngang (hình vẽ). Tìm chiều cao của toà nhà.
Hướng dẫn giải
Từ hình vẽ ta có = 45o-40o = 5o và = 180o - (định lí tổng ba góc trong tam giác)
Do đó = 45o .
Suy ra: = = 45o
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC có:
Suy ra
Trong tam giác vuông ADC có:
CD = AC.sin 16,2.sin40o 10,4 (m)
Do đó CH = CD + DH ≈ 10,4 + 5 ≈ 15,4 (m).
Vậy chiều cao của toà nhà là khoảng 15,4 m.
Bài 4. Tam giác ABC có AB = 3, BC = 8, M là trung điểm của BC, và AM > 3. Tính AM và giải tam giác ABC biết tam giác ABC là tam giác tù.
Hướng dẫn giải
Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC = BC = .8 = 4.
Xét tam giác ABM, áp dụng hệ quả định lí côsin ta có:
Do đó AM = .
Vì và là hai góc kề bù nên + = 180°.
Suy ra cos = - cos =
Xét tam giác AMC, áp dụng định lí côsin ta có:
AC2 = AM2 + CM2 - 2.AM.CM.cos
AC2 = ()2 + 42 - 2..4.
AC2 = 49
AC = 7.
Xét tam giác ABM có AB = 3, BM = 4, AM = áp dụng định lí côsin ta có:
Xét tam giác ABC, áp dụng định lí sin ta có:
Mà tam giác ABC là tam giác tù nên 98o .
Xét tam giác ABC ta có:
= 180o (định lí tổng ba góc trong tam giác)
= 180o -
180o - 98o - 60o = 22o
Vậy AM = , AC = 7, = 60o, 98o và 22o.
Học tốt Giải tam giác và ứng dụng thực tế
Các bài học để học tốt Giải tam giác và ứng dụng thực tế Toán lớp 10 hay khác:
Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:
- Giải sgk Toán 10 Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo
- Giải SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo
- Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
- Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
- Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)
Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Soạn văn 10 (hay nhất) - CTST
- Soạn văn 10 (ngắn nhất) - CTST
- Soạn văn 10 (siêu ngắn) - CTST
- Giải Toán 10 - CTST
- Giải Tiếng Anh 10 Global Success
- Giải Tiếng Anh 10 Friends Global
- Giải sgk Tiếng Anh 10 iLearn Smart World
- Giải sgk Tiếng Anh 10 Explore New Worlds
- Giải sgk Vật lí 10 - CTST
- Giải sgk Hóa học 10 - CTST
- Giải sgk Sinh học 10 - CTST
- Giải sgk Địa lí 10 - CTST
- Giải sgk Lịch sử 10 - CTST
- Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - CTST
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - CTST