Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo

Với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Giải tam giác và ứng dụng thực tế

1. Giải tam giác

Quảng cáo

Giải tam giác là tìm số đo các cạnh và các góc còn lại của tam giác khi ta biết được các yếu tố đủ để xác định tam giác đó.

Để giải tam giác, ta thường sử dụng một cách hợp lí các hệ thức lượng như: định lí sin, định lí côsin và các công thức tính diện tích tam giác.

Ví dụ 1. Giải tam giác ABC biết AB = 45, AC = 32 và Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 1) = 60o

Hướng dẫn giải

+) Theo định lí côsin ta có:

BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cosA

BC2 = 452 + 322 – 2.45.32.cos60° = 1609.

BC ≈ 40,11.

+) Theo định lí sin ta có: BCsinA=ACsinB

40,11sin60°=32sinB

Quảng cáo


sinB=32.sin60°40,110,69

Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 2) = 44° (không thể xảy ra trường hợp Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 2) ≈ 136o do Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 4)> 180o)

Xét tam giác ABC có Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 5)= 60o, Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 2) = 44o ta có:

Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 7)= 180o (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 8) = 180o -Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 5)- Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 2) ≈ 180o - 60o - 44o = 76o

Vậy BC ≈ 40,11; Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 2)≈44oGiải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 8) ≈ 76o

2. Áp dụng giải tam giác vào thực tế

Vận dụng giải tam giác giúp ta giải quyết rất nhiều bài toán trong thực tế, đặc biệt là trong thiết kế và xây dựng.

Ví dụ 2. Một khung thành bóng đá rộng 5 mét. Một cầu thủ đứng ở vị trí cách cột dọc khung thành 26 mét và cách cột còn lại 23 mét, sút bóng vào khung thành. Tính góc nhìn của cầu thủ tới hai cột khung thành trên.

Hướng dẫn giải

Vị trí cầu thủ C và khung thành AB được mô tả như hình vẽ dưới đây:

Quảng cáo

Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 13)

Gọi α là góc nhìn của cầu thủ C tới hai cột khung thành A và B, tức là α = Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 14)

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 15)

Suy ra α ≈ 9°23'.

Vậy góc nhìn của cầu thủ tới hai cột khung thành là khoảng 9°23'.

Ví dụ 3.Từ hai vị trí A và B của một toà nhà, người ta quan sát đỉnh C của một ngọn núi. Biết rằng độ cao AB = 70 m, phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 30°, phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15°30' (hình vẽ). Tính độ cao của ngọn núi.

Quảng cáo

Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 16)

Hướng dẫn giải

Ta có Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 17) = 90o - 30o = 60o.

Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 18)= 90o+15o30' = 105o30'

Xét tam giác ABC ta có:

Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 19)= 180o (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 20) = 180o- Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 21)

Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 20) = 180o- 60o - 105o30' = 14o30'

Áp dụng định lí sin ta có: ACsinABC^=ABsinACB^

ACsin105°30'=70sin14°30'

AC=70sin14°30'.sin105°30'

AC ≈ 269,4 (m)

Tam giác ACH vuông tại H ta có:

CH = AC.sinGiải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 23) 269,4.sin30o 134,7 (m)

Vậy ngọn núi cao khoảng 134,7 m.

Bài tập Giải tam giác và ứng dụng thực tế

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Tam giác ABC có góc A nhọn, AB = 5, AC = 8, diện tích bằng 12. Độ dài cạnh BC là khoảng:

A. 23

B. 32

C. 4;

D. 5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Diện tích tam giác ABC là: S = 12.AB.Ac.sinA sinA = 2SAB.AC

sinA = 2.125.8=35Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 24) 36o52' (vì góc A là góc nhọn)

Xét tam giác ABC có AB = 5, AC = 8 và , áp dụng định lí côsin ta có:

BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cosA

BC2 ≈ 52 + 82 – 2.5.8.cos36°52' ≈ 25

BC ≈ 5.

Vậy BC ≈ 5.

Câu 2. Cho tam giác ABC. Biết AB = 2, BC = 3 và Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 25)= 60o. Chu vi và diện tích tam giác ABC lần lượt là:

A. 5+732;

B. 5+7332;

C. 5+1932;

D. 5+19332.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC có AB = 2, BC = 3 và Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 25)= 60o áp dụng định lí côsin ta có:

AC2 = AB2 + BC2 – 2.AB.BC. cosGiải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 25)

AC2 = 22 + 32 – 2.2.3.cos60° = 7

AC = 7

Do đó chu vi tam giác ABC là:

AB + AC + BC = 2 +3 + 7 = 5 + 7

Diện tích tam giác ABC là:

S = 12.BA.BC.sinGiải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 28)= 12.2.3.sin60o = 332(đơn vị diện tích).

Vậy chu vi và diện tích tam giác ABC lần lượt là: 5 + 7332

Câu 3. Trong khi khai quật một ngôi mộ cổ, các nhà khảo cổ học đã tìm được một chiếc đĩa cổ hình tròn bị vỡ, các nhà khảo cổ muốn khôi phục hình dạng chiếc đĩa này. Để xác định bán kính của chiếc đĩa, các nhà khảo cổ lấy 3 điểm trên chiếc đĩa và tiến hành đo đạc thu được kết quả như hình vẽ (AB = 4,3 cm; BC = 3,7 cm; CA = 7,5 cm).

Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 29)

Bán kính của chiếc đĩa này bằng (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai):

A. 5,73 cm;

B. 6,01 cm;

C. 5,85 cm;

D. 4,57 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Bán kính R của chiếc đĩa bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Nửa chu vi của tam giác ABC là:

Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 30) (cm)

Diện tích tam giác ABC theo công thức Heron là:

S=ppABpACpBC5,2cm2

Mặt khác: S=AB.AC.BC4R

R=AB.AC.BC4S4,3.7,5.3,74.5,25,73cm

Vậy bán kính của chiếc đĩa là khoảng 5,73 cm.

2. Bài tập tự luận

Bài 1. Giải tam giác ABC biết AC = 16, Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 53)= 60oGiải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 54) = 50o (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 53)= 60o, Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 54) = 50o ta có:

Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 57) = 180o (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 8) = 180o -Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 5)- Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 2) ≈ 180o - 60o - 50o = 70o

Theo định lí sin ta có: BCsinA=ACsinB=ABsinC

Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 61)

Vậy Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 8) = 70o , BC ≈ 18,1 và AB ≈ 19,6.

Bài 2. Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù lao giữa sông, người ta chọn một điểm B cùng ở trên bờ với A sao cho từ A và B đều có thể nhìn thấy điểm C. Người ta đo được khoảng cách AB = 40 m, Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 53)= 45o Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 54) = 70o.Tính khoảng cách AC (làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần trăm).

Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 65)

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 53)= 45o, Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 54) = 70o ta có:

Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 57) = 180o (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 8) = 180o -Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 5)- Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 2) ≈ 180o - 45o - 70o = 65o

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có: BCsinA=ACsinB

Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 72)

Vậy khoảng cách từ A trên bờ sông đến gốc cây C khoảng 41,47 m.

Bài 3. Trên nóc một toà nhà có một cột cờ cao 2 m. Từ vị trí quan sát A cao 5 m so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột cờ dưới góc 45° và 40° so với phương nằm ngang (hình vẽ). Tìm chiều cao của toà nhà.

Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 73)

Hướng dẫn giải

Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 74)

Từ hình vẽ ta có Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 75) = 45o-40o = 5oGiải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 76) = 180o - Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 77) (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Do đó Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 76) = 45o .

Suy ra: Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 79) = Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 76) = 45o

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC có: Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 81)

Suy ra Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 82)

Trong tam giác vuông ADC có:

CD = AC.sinGiải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 83) 16,2.sin40o 10,4 (m)

Do đó CH = CD + DH ≈ 10,4 + 5 ≈ 15,4 (m).

Vậy chiều cao của toà nhà là khoảng 15,4 m.

Bài 4. Tam giác ABC có AB = 3, BC = 8, M là trung điểm của BC, Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 31) và AM > 3. Tính AM và giải tam giác ABC biết tam giác ABC là tam giác tù.

Hướng dẫn giải

Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 32)

Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC = 12BC = 12.8 = 4.

Xét tam giác ABM, áp dụng hệ quả định lí côsin ta có:

Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 33)

AM2+7=401326AM

AM2201313AM+7=0

Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 34)

Do đó AM = 13.

Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 35)Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 36) là hai góc kề bù nên Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 35) + Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 36) = 180°.

Suy ra cosGiải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 36) = - cosGiải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 35) = 51326.

Xét tam giác AMC, áp dụng định lí côsin ta có:

AC2 = AM2 + CM2 - 2.AM.CM.cosGiải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 36)

AC2 = (13)2 + 42 - 2.13.4.51326

AC2 = 49

AC = 7.

Xét tam giác ABM có AB = 3, BM = 4, AM = 13 áp dụng định lí côsin ta có:

Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 42)

Xét tam giác ABC, áp dụng định lí sin ta có: Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 43)

Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 44)

Mà tam giác ABC là tam giác tù nên Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 45)98o .

Xét tam giác ABC ta có:

Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 46) = 180o (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 47)= 180o - Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 48)

Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 47) 180o - 98o - 60o = 22o

Vậy AM = 13 , AC = 7, Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 50)= 60o, Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 51)98oGiải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 47) 22o.

Học tốt Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Các bài học để học tốt Giải tam giác và ứng dụng thực tế Toán lớp 10 hay khác:

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


Giải bài tập lớp 10 Chân trời sáng tạo khác
Tài liệu giáo viên