Tích vô hướng của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo
Với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.
Tích vô hướng của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo
Lý thuyết Tích vô hướng của hai vectơ
1. Góc giữa hai vectơ
Cho hai vectơ và đều khác . Từ một điểm O bất kì ta vẽ , .
Góc với số đo từ 0° đến 180° được gọi là góc giữa hai vectơ và .
Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ và là (, ).
Nếu (, )=90o thì ta nói rằng và vuông góc với nhau, kí hiệu là .
Chú ý:
+ Từ định nghĩa, ta có .
+ Góc giữa hai vectơ cùng hướng và khác luôn bằng 0°.
+ Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác luôn bằng 180°.
+ Trong trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ hoặc là vectơ thì ta quy ước số đo góc giữa hai vectơ đó là tùy ý (từ 0° đến 180°).
Ví dụ: Cho hình thoi ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và . Tính số đo các góc:
a) ; b) ;
c) ; d) .
Hướng dẫn giải
a) Vì cùng hướng nên .
b) Vì ngược hướng nên .
c) Vì O là giao điểm của hai đường chéo nên O là trung điểm AC (tính chất hình thoi).
Do đó AO = OC.
Mà cùng hướng nên .
Ta suy ra .
Vì ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.
Do đó .
Vậy .
d) Vì O là giao điểm của hai đường chéo nên O là trung điểm BD (tính chất hình thoi).
Suy ra OD = BO.
Mà cùng hướng nên (1).
Vì ABCD là hình thoi nên ta có CD // BA và CD = BA.
Mà cùng hướng nên (2).
Từ (1) (2), ta suy ra .
Vì ABCD là hình thoi nên AB = AD.
Do đó tam giác ABD cân tại A.
Mà suy ra tam giác ABD đều.
Do đó hay .
Vậy .
2. Tích vô hướng của hai vectơ
Cho hai vectơ và đều khác .
Tích vô hướng của và là một số, kí hiệu là ., được xác định bởi công thức:
.= ||.||.cos(,).
Chú ý:
a) Trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ và bằng , ta quy ước . = 0.
b) Với hai vectơ và , ta có .
c) Khi thì tích vô hướng được kí hiệu là và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ .
Ta có . Vậy bình phương vô hướng của một vectơ luôn bằng bình phương độ dài của vectơ đó.
Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có AB = AC = a. Tính các tích vô hướng:
Hướng dẫn giải
• Tam giác ABC vuông cân tại A nên AB ⊥ AC.
Do đó .
Vậy .
• Tam giác ABC cân tại A nên .
Tam giác ABC vuông tại A nên .
Do đó suy ra .
Suy ra .
Ta có
= BA.BC.cos45o = a.a.. = a2.
• Vẽ .
Khi đó ta có .
Vì nên ta có ABDC là hình bình hành.
Mà và AB = AC (tam giác ABC vuông cân tại A).
Do đó ABDC là hình vuông.
Ta suy ra đường chéo BC là phân giác của .
Do đó .
Khi đó ta có .
Tam giác ABC vuông cân tại A: BC2 = AB2 + AC2 (Định lý Pythagore)
⇔ BC2 = a2 + a2 = 2a2
⇒ BC = a.
Ta có:
= AC.BC.cos45o = a.a. = a2.
Chú ý: Trong Vật lí, tích vô hướng của và biểu diễn công A sinh bởi lực khi thực hiện độ dịch chuyển . Ta có công thức: A=..
Ví dụ: Một người dùng một lực có độ lớn là 150 N kéo một thùng gỗ trượt trên sàn nhà bằng một sợi dây có phương hợp góc 45° so với phương ngang. Tính công sinh bởi lực khi thùng gỗ trượt được 40 m.
Hướng dẫn giải
Gọi A, lần lượt là công sinh bởi lực và độ dịch chuyển của thùng gỗ.
Theo đề, ta có lực hợp với phương ngang (hướng dịch chuyển) một góc 45°.
Suy ra .
Ta có
Suy ra A = 150.40.cos45o = 3000 (J).
Vậy công sinh bởi lực là 3000 (J).
3. Tính chất của tích vô hướng
Với ba vectơ bất kì và mọi số k, ta có:
Ví dụ: Áp dụng các tính chất của tích vô hướng, chứng minh rằng:
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
Vậy .
Nhận xét: Chứng minh tương tự, ta cũng có:
;
.
Ví dụ: Cho tam giác ABC có a = BC, b = AC, c = AB. Tính cạnh BC theo hai cạnh còn lại và góc A bằng cách sử dụng tính chất của vectơ và tích vô hướng của hai vectơ.
Hướng dẫn giải
Ta có BC2 =
= AC2 + AB2 – 2AC.AB.cosA
Vậy BC2 = AC2 + AB2 – 2AC.AB.cosA hay a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA.
Bài tập Tích vô hướng của hai vectơ
1. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. Tính .
A. 30°;
B. 60°;
C. 120°;
D. 150°.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vẽ .
Khi đó ta có .
Tam giác ABC đều có AH là đường cao.
Suy ra AH cũng là đường phân giác của tam giác ABC.
Tam giác ABC đều, suy ra .
Do đó .
Ta có: (hai góc kề bù)
.
Khi đó
Vậy ta chọn phương án D.
Câu 2. Cho hai vectơ và thỏa mãn ||=3, || = 2 và .= -3. Xác định góc α giữa hai vectơ và .
A. α = 30°;
B. α = 45°;
C. α = 60°;
D. α = 120°.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có
Vậy ta chọn phương án D.
Câu 3.Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Giá trị của là:
A. ;
B. ;
C. ;
D. .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có
Vậy ta chọn phương án A.
2. Bài tập tự luận
Bài 1. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a và trọng tâm G. Tính:
a) ; b) .
Hướng dẫn giải
a) Tam giác ABC đều nên ta có AB = AC = BC = a và .
Ta có
= AB.AC.cos = a.a.cos60o =
Vậy
b) Vì G là trọng tâm của tam giác đều ABC.
Nên AG là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Do đó AG cũng là đường phân giác và cũng là đường cao của tam giác ABC.
Ta suy ra .
Gọi I là giao điểm của AG và BC.
Ta suy ra I là trung điểm BC.
Do đó BI = .
Tam giác ABI vuông tại I: AI2 = AB2 – BI2 (Định lý Pythagore)
.
Tam giác ABC đều có G là trọng tâm.
Ta suy ra AG = .
Ta có:
= AG.AB.cos = .a.cos30o = .
Vậy
Bài 2. Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:
.
Hướng dẫn giải
Ta có (1)
Lấy (1) + (2) + (3) vế theo vế, ta được:
Vậy .
Bài 3. Cho hai vectơ và thỏa mãn ||=||=1 và hai vectơ vuông góc với nhau sao cho . Xác định góc giữa hai vectơ và .
Hướng dẫn giải
Theo đề ta có: .
Vậy góc giữa hai vectơ và bằng 180°.
Học tốt Tích vô hướng của hai vectơ
Các bài học để học tốt Tích vô hướng của hai vectơ Toán lớp 10 hay khác:
Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Toán 10 Bài 2: Mô tả và biểu diễn dữ liệu trên các bảng và biểu đồ
Lý thuyết Toán 10 Bài 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu
Lý thuyết Toán 10 Bài 4: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu
Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:
- Giải sgk Toán 10 Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo
- Giải SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo
- Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
- Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
- Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)
Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Soạn văn 10 (hay nhất) - CTST
- Soạn văn 10 (ngắn nhất) - CTST
- Soạn văn 10 (siêu ngắn) - CTST
- Giải Toán 10 - CTST
- Giải Tiếng Anh 10 Global Success
- Giải Tiếng Anh 10 Friends Global
- Giải sgk Tiếng Anh 10 iLearn Smart World
- Giải sgk Tiếng Anh 10 Explore New Worlds
- Giải sgk Vật lí 10 - CTST
- Giải sgk Hóa học 10 - CTST
- Giải sgk Sinh học 10 - CTST
- Giải sgk Địa lí 10 - CTST
- Giải sgk Lịch sử 10 - CTST
- Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - CTST
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - CTST