Tích vô hướng của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo

Với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Tích vô hướng của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Tích vô hướng của hai vectơ

1. Góc giữa hai vectơ

Quảng cáo

Cho hai vectơ abđều khác 0. Từ một điểm O bất kì ta vẽ OA=a, OB=b.

Tích vô hướng của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Góc AOB^với số đo từ 0° đến 180° được gọi là góc giữa hai vectơ ab.

Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ ab là (a, b).

Nếu (a, b)=90o thì ta nói rằng ab vuông góc với nhau, kí hiệu là ab.

Chú ý:

+ Từ định nghĩa, ta có a, b=b, a.

Quảng cáo


+ Góc giữa hai vectơ cùng hướng và khác 0 luôn bằng 0°.

+ Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác 0 luôn bằng 180°.

+ Trong trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ a hoặc b là vectơ 0 thì ta quy ước số đo góc giữa hai vectơ đó là tùy ý (từ 0° đến 180°).

Tích vô hướng của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 2)

Ví dụ: Cho hình thoi ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và BAD^=60°. Tính số đo các góc:

a) OC, AC; b) OA, AC;

Quảng cáo

c) OB, AO; d) OD, CD.

Hướng dẫn giải

Tích vô hướng của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 3)

a) Vì OC, AC cùng hướng nên OC, AC=0°.

b) Vì OA, AC ngược hướng nên OA, AC=180°.

c) Vì O là giao điểm của hai đường chéo nên O là trung điểm AC (tính chất hình thoi).

Do đó AO = OC.

AO, OC cùng hướng nên AO=OC.

Ta suy ra OB, AO=OB, OC=BOC^.

Quảng cáo

Vì ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

Do đó BOC^=90°.

Vậy OB, AO=BOC^=90°.

d) Vì O là giao điểm của hai đường chéo nên O là trung điểm BD (tính chất hình thoi).

Suy ra OD = BO.

OD, BO cùng hướng nên OD=BO (1).

Vì ABCD là hình thoi nên ta có CD // BA và CD = BA.

CD, BA cùng hướng nên CD=BA (2).

Từ (1) (2), ta suy ra OD, CD=BO, BA=OBA^.

Vì ABCD là hình thoi nên AB = AD.

Do đó tam giác ABD cân tại A.

BAD^=60° suy ra tam giác ABD đều.

Do đó DBA^=60° hay OBA^=60°.

Vậy OD, CD=OBA^=60°.

2. Tích vô hướng của hai vectơ

Cho hai vectơ ab đều khác 0.

Tích vô hướng của ab là một số, kí hiệu là a.b, được xác định bởi công thức:

a.b= |a|.|b|.cos(a,b).

Chú ý:

a) Trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ ab bằng 0, ta quy ước a.b = 0.

b) Với hai vectơ ab, ta có aba.b=0.

c) Khi a=b thì tích vô hướng a.b được kí hiệu là a2 và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ a.

Ta có Tích vô hướng của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 4). Vậy bình phương vô hướng của một vectơ luôn bằng bình phương độ dài của vectơ đó.

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có AB = AC = a. Tính các tích vô hướng: AB.AC, BA.BC, AC.BC.

Hướng dẫn giải

Tích vô hướng của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 5)

• Tam giác ABC vuông cân tại A nên AB ⊥ AC.

Do đó ABAC.

Vậy AB.AC=0.

• Tam giác ABC cân tại A nên ACB^=ABC^.

Tam giác ABC vuông tại A nên ACB^+ABC^=90°.

Do đó 2ABC^=90° suy ra ABC^=45°.

Suy ra BA, BC=ABC^=45°.

Ta có Tích vô hướng của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 6)

= BA.BC.cos45o = a.a.2.22 = a2.

• Vẽ BD=AC.

Khi đó ta có AC, BC=BD, BC=CBD^.

BD=AC nên ta có ABDC là hình bình hành.

BAC^=90° và AB = AC (tam giác ABC vuông cân tại A).

Do đó ABDC là hình vuông.

Ta suy ra đường chéo BC là phân giác của ABD^.

Do đó CBD^=ABD^2=90°2=45°.

Khi đó ta có AC, BC=CBD^=45°.

Tam giác ABC vuông cân tại A: BC2 = AB2 + AC2 (Định lý Pythagore)

⇔ BC2 = a2 + a2 = 2a2

⇒ BC = a2.

Ta có: Tích vô hướng của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 7)

= AC.BC.cos45o = a.a2.22 = a2.

Chú ý: Trong Vật lí, tích vô hướng của Fd biểu diễn công A sinh bởi lực F khi thực hiện độ dịch chuyển d. Ta có công thức: A=F.d.

Ví dụ: Một người dùng một lực F có độ lớn là 150 N kéo một thùng gỗ trượt trên sàn nhà bằng một sợi dây có phương hợp góc 45° so với phương ngang. Tính công sinh bởi lực F khi thùng gỗ trượt được 40 m.

Hướng dẫn giải

Gọi A, d lần lượt là công sinh bởi lực F và độ dịch chuyển của thùng gỗ.

Theo đề, ta có lực F hợp với phương ngang (hướng dịch chuyển) một góc 45°.

Suy ra F, d=45°.

Ta có Tích vô hướng của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 8)

Suy ra A = 150.40.cos45o = 30002 (J).

Vậy công sinh bởi lực F là 30002 (J).

3. Tính chất của tích vô hướng

Với ba vectơ a, b, c bất kì và mọi số k, ta có:

Tích vô hướng của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 9)

Ví dụ: Áp dụng các tính chất của tích vô hướng, chứng minh rằng:

ab2=a22a.b+b2.

Hướng dẫn giải

Ta có: ab2=abab

=a.aa.ba.b+b.b

=a22a.b+b2

Vậy ab2=a22a.b+b2.

Nhận xét: Chứng minh tương tự, ta cũng có:

a+b2=a2+2a.b+b2;

a+bab=a2b2.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có a = BC, b = AC, c = AB. Tính cạnh BC theo hai cạnh còn lại và góc A bằng cách sử dụng tính chất của vectơ và tích vô hướng của hai vectơ.

Hướng dẫn giải

Ta có BC2 = BC2=ACAB2=AC2+AB22.AC.AB

Tích vô hướng của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 10)

= AC2 + AB2 – 2AC.AB.cosA

Vậy BC2 = AC2 + AB2 – 2AC.AB.cosA hay a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA.

Bài tập Tích vô hướng của hai vectơ

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. Tính AH, BA.

A. 30°;

B. 60°;

C. 120°;

D. 150°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Tích vô hướng của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 11)

Vẽ AE=BA.

Khi đó ta có AH, BA=AH, AE=HAE^=α.

Tam giác ABC đều có AH là đường cao.

Suy ra AH cũng là đường phân giác của tam giác ABC.

Tam giác ABC đều, suy ra BAC^=60°.

Do đó HAB^=12BAC^=12.60°=30°.

Ta có: HAE^+HAB^=180° (hai góc kề bù)

HAE^=180°HAB^=180°30°=150°.

Khi đó AH, BA=150°.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 2. Cho hai vectơ ab thỏa mãn |a|=3, |b| = 2 và a.b= -3. Xác định góc α giữa hai vectơ ab.

A. α = 30°;

B. α = 45°;

C. α = 60°;

D. α = 120°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có Tích vô hướng của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 12)

Tích vô hướng của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 13)

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 3.Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Giá trị của P=AB+AC.BC là:

A. P=b2c2;

B. P=b2+c22;

C. P=c2+b2+a23;

D. P=c2+b2a22.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có Tích vô hướng của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 14)

Tích vô hướng của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 15)

Vậy ta chọn phương án A.

2. Bài tập tự luận

Bài 1. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a và trọng tâm G. Tính:

a) AB.AC; b) AG.AB.

Hướng dẫn giải

Tích vô hướng của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 16)

a) Tam giác ABC đều nên ta có AB = AC = BC = a và BAC^=60°.

Ta có Tích vô hướng của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 17)

= AB.AC.cosBAC^ = a.a.cos60o = a22

Vậy AB.AC=a22.

b) Vì G là trọng tâm của tam giác đều ABC.

Nên AG là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Do đó AG cũng là đường phân giác và cũng là đường cao của tam giác ABC.

Ta suy ra GAB^=BAC^2=60°2=30°.

Gọi I là giao điểm của AG và BC.

Ta suy ra I là trung điểm BC.

Do đó BI = BC2=a2.

Tam giác ABI vuông tại I: AI2 = AB2 – BI2 (Định lý Pythagore)

AI2=a2a22=3a24

AI=a32.

Tam giác ABC đều có G là trọng tâm.

Ta suy ra AG = 23AI=a33.

Ta có: Tích vô hướng của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 18)

= AG.AB.cosGAB^ = a33.a.cos30o = a22.

Vậy AG.AB=a22.

Bài 2. Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

MA.BC+MB.CA+MC.AB=0.

Hướng dẫn giải

Ta có Tích vô hướng của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 19) (1)

Tích vô hướng của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 21)

Lấy (1) + (2) + (3) vế theo vế, ta được:

Tích vô hướng của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 21)

Vậy MA.BC+MB.CA+MC.AB=0.

Bài 3. Cho hai vectơ ab thỏa mãn |a|=|b|=1 và hai vectơ u,v vuông góc với nhau sao cho u=25a3b, v=a+b. Xác định góc giữa hai vectơ ab.

Hướng dẫn giải

Theo đề ta có: uvu.v=0.

Tích vô hướng của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 22)

Vậy góc giữa hai vectơ ab bằng 180°.

Học tốt Tích vô hướng của hai vectơ

Các bài học để học tốt Tích vô hướng của hai vectơ Toán lớp 10 hay khác:

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


Giải bài tập lớp 10 Chân trời sáng tạo khác
Tài liệu giáo viên