Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo

Với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ

1. Elip

Quảng cáo

1.1. Nhận biết elip

Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo

Cho hai điểm cố định F1, F2 và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F1F2. Elip (E) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho F1M + F2M = 2a.

Các điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của elip.

Độ dài F1F2 = 2c gọi là tiêu cự của elip (a > c).

1.2. Phương trình chính tắc của elip

Quảng cáo


Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo

Cho elip (E) có các tiêu điểm F1 và F2 và đặt F1F2 = 2c. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F1(–c; 0) và F2(c; 0).

Người ta chứng minh được:

Mx;yEx2a2+y2b2=1(1),

trong đó b=a2c2.

Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip.

Chú ý:

Quảng cáo

Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo

• (E) cắt Ox tại hai điểm A1(–a; 0), A2(a; 0) và cắt Oy tại hai điểm B1(0; –b), B2(0; b).

• Các điểm A1, A2, B1, B2 gọi là các đỉnh của elip.

• Đoạn thẳng A1A2 = 2a gọi là trục lớn, đoạn thẳng B1B2 = 2b gọi là trục nhỏ của elip.

• Giao điểm O của hai trục gọi là tâm đối xứng của elip.

• Nếu M(x; y) ∈ (E) thì |x| ≤ a, |y| ≥ b.

Ví dụ: Cho elip (E) có độ dài trục lớn bằng 10, tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn là 25.

Quảng cáo

a) Tính độ dài trục nhỏ của elip.

b) Viết phương trình chính tắc của elip.

Hướng dẫn giải

a) Ta có độ dài trục lớn bằng 10. Ta suy ra 2a = 10.

Suy ra a = 5.

Theo đề, ta có tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn là 25.

Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo

Suy ra 2b = 2.3 = 6.

Vậy độ dài trục nhỏ của elip (E) bằng 6.

b) Ta có a = 5 và b = 3.

Phương trình chính tắc của elip (E) là: x225+y29=1.

2. Hypebol

2.1. Nhận biết hypebol

Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo

Cho hai điểm cố định F1, F2 và một độ dài không đổi 2a nhỏ hơn F1F2. Hypebol (H) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho |F1M – F2M| = 2a.

Các điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của hypebol.

Độ dài F1F2 = 2c gọi là tiêu cự của hypebol (c > a).

2.2. Phương trình chính tắc của hypebol

Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo

Cho hypebol (H) có các tiêu điểm F1 và F2 và đặt F1F2 = 2c. Điểm M thuộc hypebol (H) khi và chỉ khi |F1M – F2M| = 2a. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F1(–c; 0) và F2(c; 0).

Người ta chứng minh được:

Mx;yHx2a2y2b2=1(2),

trong đó b=c2a2.

Phương trình (2) gọi là phương trình chính tắc của hypebol.

Chú ý:

Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo

• (H) cắt Ox tại hai điểm A1(–a; 0) và A2(a; 0). Nếu ta vẽ hai điểm B1(0; –b) và B2(0; b) vào hình chữ nhật OA2PB2 thì OP=a2+b2=c.

• Các điểm A1, A2 gọi là các đỉnh của hypebol.

• Đoạn thẳng A1A2 = 2a gọi là trục thực, đoạn thẳng B1B2 = 2b gọi là trục ảo của hypebol.

• Giao điểm O của hai trục là tâm đối xứng của hypebol.

• Nếu M(x; y) ∈ (H) thì x ≤ –a hoặc x ≥ a.

Ví dụ: Cho hypebol (H) có một tiêu điểm F2(8; 0) và (H) đi qua điểm A(5; 0). Viết phương trình chính tắc của hypebol (H).

Hướng dẫn giải

Phương trình chính tắc của (H) có dạng x2a2y2b2=1, trong đó a, b > 0.

Vì A(5; 0) ∈ (H) nên ta có 52a202b2=1. Suy ra a = 5.

Do (H) có một tiêu điểm F2(8; 0) nên ta có c = 8.

Suy ra b=c2a2=6425=39.

Vậy phương trình chính tắc của (H) là x225y239=1.

3. Parabol

3.1. Nhận biết parabol

Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo

Cho một điểm F và một đường thẳng ∆ cố định không đi qua F. Parabol (P) là tập hợp các điểm M cách đều F và ∆.

F gọi là tiêu điểm và ∆ gọi là đường chuẩn của parabol (P).

3.2. Phương trình chính tắc của parabol

Cho parabol (P) có tiêu điểm F và đường chuẩn ∆. Gọi khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn là p, hiển nhiên p > 0.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho Fp2;0và ∆: x+p2=0.

Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo

Người ta chứng minh được:

M(x; y) ∈ (P) ⇔ y2 = 2px(3).

Phương trình (3) gọi là phương trình chính tắc của parabol.

Chú ý:

• O gọi là đỉnh của parabol (P).

• Ox gọi là trục đối xứng của parabol (P).

• p gọi là tham số tiêu của parabol (P).

• Nếu M(x; y) ∈ (P) thì x ≥ 0 và M’(x; –y) ∈ (P).

Ví dụ: Viết phương trình chính tắc của parabol (P), biết (P) có đường chuẩn ∆: x + 4 = 0.

Hướng dẫn giải

(P) có đường chuẩn ∆: x + 4 = 0.

Ta suy ra p2=4.

Khi đó p = 2.4 = 8.

Vậy phương trình chính tắc của parabol (P) là: y2 = 16x.

Bài tập Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ

Bài 1. Tìm tiêu điểm của các đường conic sau:

a) Elip (E): x2100+y264=1.

b) Hypebol (H): x24y29=1.

c) Parabol (P): y2 = 2x.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình (E) có dạng: x2a2+y2b2=1, với a = 10, b = 8.

Suy ra c=a2b2=10064=6.

Vậy elip (E) có các tiêu điểm F1(–6; 0) và F2(6; 0).

b) Phương trình (H) có dạng: x2a2y2b2=1, với a = 2, b = 3.

Suy ra c=a2+b2=4+9=13.

Vậy hypebol (H) có các tiêu điểm F113;0F213;0.

c) Phương trình parabol (P) có dạng: y2 = 2px, với p = 1.

Ta suy ra p2=12.

Vậy parabol (P) có tiêu điểm F12;0.

Bài 2. Viết phương trình chính tắc của các đường conic trong các trường hợp sau:

a) Elip (E) đi qua điểm B(0; 3) và có tiêu cự bằng 6.

b) Hypebol (H) đi qua điểm M(2; 4) và có độ dài trục ảo bằng 8.

c) Parabol (P) có tiêu điểm F(10; 0).

Hướng dẫn giải

a) Phương trình elip (E) có dạng: x2a2+y2b2=1, với a, b > 0.

Vì B(0; 3) ∈ (E) nên ta có 02a2+32b2=1.

Suy ra b = 3.

Theo đề, ta có tiêu cự bằng 6. Suy ra 2c = 6. Nghĩa là c = 3.

Ta có a=b2+c2=9+9=32.

Vậy phương trình elip (E) là: x218+y29=1.

b) Phương trình hypebol (H) có dạng: x2a2y2b2=1, với a, b > 0.

Vì (H) có độ dài trục ảo bằng 8 nên ta có 2b = 8. Suy ra b = 4.

Khi đó b2 = 16.

Vì M(2; 4) ∈ (H) nên ta có 4a216b2=1.

Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo

Vậy phương trình chính tắc của (H) là: x22y216=1.

c) Parabol (P) có tiêu điểm F(10; 0) nên ta có p2=10.

Suy ra p = 2.10 = 20.

Vậy phương trình chính tắc của (P) là: y2 = 40x.

Bài 3. Cho elip (E): x24+y21=1 và C(2; 0). Tìm A, B thuộc (E), biết A có tung độ dương, A và B đối xứng nhau qua trục hoành và ∆ABC cân tại A.

Hướng dẫn giải

Gọi A(x0; y0) với y0 > 0.

Vì A, B đối xứng nhau qua trục hoành nên ta có tọa độ B(x0; –y0).

Vì A ∈ (E) nên ta có x024+y021=1.

y02=1x024 (1).

Với A(x0; y0), B(x0; –y0) và C(2; 0) ta có:

Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo

Vì ∆ABC cân tại A nên ta có AB2 = AC2.

⇔ (–2y0)2 = (2 – x0)2 + (–y0)2

Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo

Thế (1) vào (2), ta được: 31x024=44x0+x02.

Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo

• Với x0 = 2, ta có y02=1x024=144=0. Suy ra y0 = 0.

Khi A(2; 0).

Lúc này A ≡ C (mâu thuẫn vì ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác).

Vậy ta loại trường hợp x0 = 2.

• Với x0=27, ta có y02=1x024=1149=4849. Suy ra y0=±437.

Vì y0 > 0 nên ta nhận y0=437.

Vậy A27;437, B27;437 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 4. Một tháp triển lãm có mặt cắt là một hypebol có phương trình x2252y2402=1. Biết chiều cao của tháp là 120 m và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol bằng 23 khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ dưới đây, tính bán kính nóc và bán kính đáy của tháp. (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo

Hướng dẫn giải

Theo bài ra, khoảng cách từ nóc tháp đến tâm O bằng 23 khoảng cách từ tâm O đến đáy nên ta có: OA = 23OB và OA + OB = 120 m.

Suy ra: OA = 48 m, OB = 72 m.

=> A (0; 48), B(0 ; –72).

Thay y = 48 vào phương trình x2252y2402=1, ta được:

x2252482402=1

=> x2 = 1 525 ⇒ x ≈ 39,1 hoặc x ≈ –39,1.

Suy ra bán kính nóc khoảng 39,1 (m).

Thay y = –72 vào phương trình x2252y2402=1 ta được:

x2252(72)2402=1

=> x2 = 2 650 ⇒ x ≈ 51,5 hoặc x ≈ –51,5.

Suy ra bán kính đáy khoảng 51,5 (m).

Vậy bán kính nóc và bán kính đáy của tháp triển lãm lần lượt là 39,1 (m) và 51,5 (m).

Học tốt Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ

Các bài học để học tốt Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ Toán lớp 10 hay khác:

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


Giải bài tập lớp 10 Chân trời sáng tạo khác
Tài liệu giáo viên