Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo

Với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

1. Giá trị lượng giác

Mở rộng khái niệm tỉ số lượng giác đối với góc nhọn cho những góc α bất kì với 0° ≤ α ≤ 180°, ta có định nghĩa sau đây:

Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°) ta xác định được một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho . Gọi (x₀; y₀) là toạ độ điểm M, ta có:

– Tung độ y₀ của M là sin của góc α, kí hiệu là sinα = y₀;

– Hoành độ x₀ của M là côsin của góc α, kí hiệu là cosα = x₀;

– Tỉ số $\frac{y_0}{x_0}$ (x₀ ≠ 0) là tang của góc α, kí hiệu là tanα = $\frac{y_0}{x_0}$

–Tỉ số $\frac{x_0}{y_0}$ (y₀ ≠ 0) là côtang của góc α, kí hiệu là cotα = $\frac{x_0}{y_0}$

Các số sinα, cosα, tanα, cotα được gọi là các giá trị lượng giác của góc α.

Ví dụ 1. Tìm các giá trị lượng giác của góc 150°.

Hướng dẫn giải

Lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho

Ta có: = 150^o - 90^o = 60^o.

Khi đó ta tính được toạ độ của điểm M là $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2}\right).$

Theo định nghĩa ta có:

sin150^o = $\frac{1}{2}$; cos150^o = $-\frac{\sqrt{3}}{2}$; tan150^o = $-\frac{1}{\sqrt{3}}$; cot150^o = -$\sqrt{3}$.

Chú ý:

a) Nếu α là góc nhọn thì các giá trị lượng giác của α đều dương.

Nếu α là góc tù thì sinα > 0, cosα < 0, tanα < 0, cotα < 0.

b) tanα chỉ xác định khi α ≠ 90°.

cotα chỉ xác định khi α ≠ 0° và α ≠ 180°.

Ví dụ 2. Với α = 30° thì sinα > 0, cosα > 0, tanα > 0 và cotα > 0.

Với α = 150° (như trong Ví dụ 1) thì sinα > 0, cosα < 0, tanα < 0 và cotα < 0.

2. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau

– Từ lớp dưới ta đã biết hai góc phụ nhau thì các tỉ số lượng giác của chúng có mối liên hệ:

sin(90° – α) = cosα;

cos(90° – α) = sinα;

tan(90° – α) = cotα;

cot(90° – α) = tanα.

– Mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau

Với mọi góc α thoả mãn 0° ≤ α ≤ 180°, ta luôn có:

sin(180° ‒ α) = sinα;

cos(180° ‒ α) = ‒cosα;

tan(180° ‒ α) = ‒tanα (α ≠ 90°);

cot(180° ‒ α) = ‒cotα (0° < α < 180°).

Ví dụ 3.

a) Biết sin60^o=$\frac{\sqrt{3}}{2}$. Tính cos30°, cos150°, sin120°.

b) Biết tan45° = 1. Tính tan135°.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: sin60^o=$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Suy ra:

cos30° = cos(90° – 60°) = sin 60° = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ (vì 30° và 60° là hai góc phụ nhau);

cos150° = cos(180° – 30°) = –cos30° = -$\frac{\sqrt{3}}{2}$ (vì 150° và 30° là hai góc bù nhau);

sin120° = sin(180° – 60°) = sin60° = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ (vì 120° và 60° là hai góc bù nhau);

b) Ta có: tan45° = 1.

Suy ra:

tan135° = tan(180° ‒ 45°) = ‒tan45° = ‒1 (vì 135° và 45° là hai góc bù nhau).

3. Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt

Dưới đây là bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt:

Chú ý: Trong bảng, kí hiệu “||” để chỉ giá trị lượng giác không xác định.

Ví dụ 4. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) A = a².sin90° + b².cos90° + c².cos180°;

b) B = 3 – sin² 135° + 2cos² 120° ‒ 3tan² 150°.

Hướng dẫn giải

a) A = a².sin90° + b².cos90° + c².cos180°

A = a². 1 + b².0 + c².(‒1)

A = a² ‒ c².

b) B = 3 – sin² 135° + 2cos² 120° ‒ 3tan² 150°

B = 3 - ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2$ + 2.${\left(-\frac{1}{2}\right)}^2$ - 3.${\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2$

B = 3 - $\frac{1}{2}$ + 2.$\frac{1}{4}$ - 3.$\frac{1}{3}$

B = 3 - $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ - 1

B = 2.

Ví dụ 5. Tìm góc α (0° ≤ α ≤ 180°) trong mỗi trường hợp sau:

a) sinα = $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

b) cosα = ‒1;

c) tanα = 0;

d) cotα = -$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: sinα = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\Rightarrow$ α = 45° hoặc α = 135°.

b) cosα = ‒1 $\Rightarrow$ α = 180°.

c) tanα = 0 $\Rightarrow$ α = 0° hoặc α = 180°.

d) cotα = -$\frac{\sqrt{3}}{3}$$\Rightarrow$ α = 120°.

4. Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác của một góc

Có nhiều loại máy tính cầm tay có thể giúp tính nhanh chóng giá trị lượng giác của một góc.

Chẳng hạn, ta có thể thực hiện trên máy tính cầm tay vinacal 680EX PLUS như sau:

Sau khi mở máy, ẩn liên tiếp các phím để màn hình hiện lên bảng lựa chọn.

Ấn phím để vào chế độ cài đặt đơn vị đo góc.

Ấn tiếp phím để xác định đơn vị đo góc là “độ”.

Ấn các phím để vào chế độ tính toán như hình ảnh dưới đây:

4.1. Tính các giá trị lượng giác của góc

Ví dụ 6. Sử dụng máy tính cầm tay, tính sin125°, cos50°12', tan160°56'25'', cot100°.

Hướng dẫn giải

– Để tính sin125°, ta bấm liên tiếp các phím sau đây:

Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:

Vậy sin125° ≈ 0,8191520443.

– Để tính cos50°12', ta bấm liên tiếp các phím sau đây:

Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:

Vậy cos50°12' ≈ 0,6401096995.

– Để tính tan160°56'25'', ta bấm liên tiếp các phím sau đây:

Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:

Vậy tan160°56'25'' ≈ ‒0,34549339643.

– Để tính cot100°, ta bấm liên tiếp các phím sau đây:

Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:

Vậy cot100° ≈ ‒0,1763269807.

4.2. Xác định số đo của góc khi biết giá trị lượng giác của góc đó

Ví dụ 7. Sử dụng máy tính cầm tay, tìm α (0° < α < 180°) biết sinα = 0,51; cosα = ‒0,7; tanα = $\sqrt{2}$; cotα = 1,7.

Hướng dẫn giải

– Để tìm α khi biết sinα = 0,51, ta ấn liên tiếp các phím sau đây:

Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:

Vậy với sinα = 0,51 thì α ≈ 30°39'50''.

Ta đã được học với 0° < α < 180° thì sin(180° ‒ α) = sinα nên ngoài giá trị α ≈ 30°39'50'' thì ta còn có giá trị α ≈ 180° ‒ 30°39'50'' ≈ 149°20'10''.

Ta bấm máy tính như sau:

– Để tìm α khi biết cosα = ‒0,7, ta ấn liên tiếp các phím sau đây:

Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:

Vậy với cosα = ‒0,7 thì α ≈ 134°25'37''.

– Để tìm α khi biết tanα = $\sqrt{2}$ ta ấn liên tiếp các phím sau đây:

Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:

Vậy với tanα = $\sqrt{2}$ thì α ≈ 54°44'8''.

– Để tìm α khi biết cotα = 1,7, trước hết ta tính $\frac{1}{cot\alpha }$, ta ấn liên tiếp các phím sau đây:

Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:

Sau đó ta bấm liên tiếp các phím:

Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:

Vậy với cotα = 1,7 thì α ≈ 30°27'56''.

Bài tập Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho tam giác ABC. Giá trị biểu thức sinA.cos(B + C) + cosA.sin(B + C) là:

A. ‒1;

B. 0;

C. 1;

D. 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC ta có: = 180^o (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow$= 180^o-

$\Rightarrow$ cos(B + C) = cos(180° ‒ A) = ‒cosA;

Và sin(B + C) = sin(180° ‒ A) = sinA.

Do đó:

sinA.cos(B + C) + cosA.sin(B + C)

= sinA.(‒cosA) + cosA.sinA

= ‒sinA.cosA + cosA.sinA

= 0

Vậy sinA.cos(B + C) + cosA.sin(B + C) = 0.

Câu 2. Cho góc α (0° ≤ α ≤ 180°) với tanα = ‒3. Giá trị của $P=\frac{6\sin \alpha -7\cos \alpha }{7\sin \alpha +6\cos \alpha }$ là

A. $P=\frac{4}{3};$

B. $P=-\frac{4}{3};$

C. $P=-\frac{5}{3};$

D. $P=\frac{5}{3}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì tanα = ‒3 nên $\frac{\sin \alpha }{cos\alpha }$= -3 do đó cosα ≠ 0

Ta có: $P=\frac{6\sin \alpha -7\cos \alpha }{7\sin \alpha +6\cos \alpha }$

$P=\frac{\frac{6\sin \alpha -7\cos \alpha }{cos\alpha }}{\frac{7\sin \alpha +6\cos \alpha }{cos\alpha }}$ (do cosα ≠ 0)

$P=\frac{6\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }-7}{7\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+6}$

$P=\frac{6\tan \alpha -7}{7\tan \alpha +6}$

$P=\frac{6.\left(-3\right)-7}{7\left(-3\right)+6}=\frac{-25}{-15}=\frac{5}{3}$

Vậy $P=\frac{5}{3}.$

Câu 3. Cho hai góc α và β (0° ≤ α, β ≤ 180°) với α + β = 180°, giá trị của biểu thức: M = cosα.cosβ – sinβ.sinα là:

A. M = ‒1;

B. M = 2;

C. M = 0;

D. M = 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì hai góc α và β (0° ≤ α, β ≤ 180°) là hai góc bù nhau (do α + β = 180°) nên:

cosβ = ‒cosα và sinβ = sinα.

Ta có: M = cosα.cosβ – sinβ.sinα

M = cosα.(‒cosα) ‒ sinα.sinα = ‒cos²α ‒ sin²α

M = ‒(cos²α + sin²α)

Mà cos²α + sin²α = 1 (đã được chứng minh ở bài 5, trang 65, Sách giáo khoa Toán 10, Tập một).

Vậy M = ‒1.

2. Bài tập tự luận

Bài 1. Tính giá trị biểu thức:

a) A = sin30°.cos45°.sin60° ‒ cos120°.tan135°.cot150°.

b) B = cos0° + cos20° + cos40° + … + cos160° + cos180°;

c) C = sin(180^o-x) - cos(90^o-x) + sin²x.$\frac{1}{{\sin }^2\left(90°-x\right)}$- tan²x

Hướng dẫn giải

a) A = sin30°.cos45°.sin60° ‒ cos120°.tan135°.cot150°

$A=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right).\left(-1\right).\left(-\sqrt{3}\right)$

$A=\frac{\sqrt{6}}{8}+\frac{\sqrt{3}}{2}$

$A=\frac{\sqrt{6}+4\sqrt{3}}{8}$

b) B = cos0° + cos20° + cos40° + … + cos160° + cos180°

B = (cos0° + cos180°) + (cos20° + cos160°) + … + (cos80° + cos100°)

B = (cos0° ‒ cos0°) + (cos20° ‒ cos20°) + … + (cos80° ‒ cos80°) (hai góc bù nhau)

B = 0.

c) C = sin(180^o-x) - cos(90^o-x) + sin²x.$\frac{1}{{\sin }^2\left(90°-x\right)}$- tan²x

C = sinx - sinx + sin²x.$\frac{1}{{\text{cos}}^{2}x}$ - tan²x

C = 0 + tan²x ‒ tan²x

C = 0.

Bài 2. Cho góc α (0° ≤ α ≤ 180°) với tanα = -$\sqrt{3}$. Tính giá trị biểu thức:

M = cosα + cot²α - $\frac{1}{{\text{sin}}^{2}x}$

Hướng dẫn giải

Với tanα = -$\sqrt{3}$ ta có α = 120°.

Suy ra: sinα = $\frac{\sqrt{3}}{2}$; cosα = -$\frac{1}{2}$; cotα = -$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Do đó:

M = cosα + cot²α - $\frac{1}{{\text{sin}}^{2}x}$

$M=-\frac{1}{2}+{\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2-\frac{1}{{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}$

$M=-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{4}{3}$

$M=-\frac{3}{2}.$

Vậy $M=-\frac{3}{2}.$

Bài 3. Sử dụng máy tính cầm tay để thực hiện các yêu cầu sau:

a) Tính sin95°7'16'', cos22°12'21'', tan27°22', cot24°.

b) Tìm β biết (0° < β < 180°) trong các trường hợp:

i) cosβ = ‒0,19;

ii) tanβ = 1,2.

Hướng dẫn giải

a) – Để tính sin95°7'16'', ta bấm liên tiếp các phím sau đây:

Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:

Vậy sin95°7'16'' ≈ 0,9960082439.

– Để tính cos22°12'21'', ta bấm liên tiếp các phím sau đây:

Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:

Vậy cos22°12'21'' ≈ 0,9258321117.

– Để tính tan27°22', ta bấm liên tiếp các phím sau đây:

Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:

Vậy tan27°22' ≈ 0,5176128958.

– Để tính cot24°, ta bấm liên tiếp các phím sau đây:

Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:

Vậy cot24° ≈ 2,246036774.

b) – Để tìm β khi biết cosβ = ‒0,19, ta ấn liên tiếp các phím sau đây:

Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:

Vậy với cosβ = ‒0,19 thì β ≈ 100°57'10''.

– Để tìm β khi biết tanβ = 1,2, ta ấn liên tiếp các phím sau đây:

Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:

Vậy với tanβ = 1,2 thì β ≈ 50°11'40''.

Học tốt Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Các bài học để học tốt Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° Toán lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 10 Bài 2: Định lí côsin và định lí sin

• Lý thuyết Toán 10 Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế

• Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 4

• Lý thuyết Toán 10 Bài 1: Khái niệm vectơ

• Lý thuyết Toán 10 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---