Phương trình quy về phương trình bậc hai (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo
Với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.
Phương trình quy về phương trình bậc hai (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo
Lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc hai
1. Phương trình dạng
Để giải phương trình ta làm như sau:
Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình để được phương trình:
ax2 + bx + c = dx2 + ex + f
Bước 2: Giải phương trình nhận được ở Bước 1.
Bước 3: Thử lại xem các giá trị x tìm được ở Bước 2 có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.
Ví dụ: Giải phương trình sau:
Hướng dẫn giải
(1)
Bình phương hai vế của phương trình (1) ta có:
x2 + 3x – 2 = x + 1
<=> x2 + 2x – 3 = 0
<=> x = 1 hoặc x = –3.
• Với x = 1 thay vào phương trình (1) ta được:
(đúng)
Do đó x = 1 là nghiệm của phương trình (1).
• Với x = –3 ta thấy x + 1 = –3 +1 = –2 < 0 nên không tồn tại
Do đó x = –3 không là nghiệm của phương trình (1).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1.
2. Phương trình dạng
Để giải phương trình ta làm như sau:
Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình để được phương trình:
ax2 + bx + c = dx +e
Bước 2: Giải phương trình nhận được ở Bước 1.
Bước 3: Thử lại xem các giá trị x tìm được ở Bước 2 có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.
Ví dụ: Giải phương trình sau:
Hướng dẫn giải
(2)
Bình phương hai vế phương trình (2) ta có:
4 + 2x – x2 = (x – 2)2
<=> 4 + 2x – x2 = x2 – 4x + 4
<=> 2x2 – 6x = 0
<=> 2x(x – 3) = 0
<=> x = 0 hoặc x = 3
• Với x = 0 thay vào phương trình (2) ta được:
<=> <=> 2 = –2 (vô lí)
Do đó x = 0 không là nghiệm của phương trình (2).
• Với x = 3 thay vào phương trình (2) ta được:
<=> 1 = 1 (đúng)
Do đó x = 3 là nghiệm của phương trình (1).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3.
Bài tập Phương trình quy về phương trình bậc hai
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
b)
c)
Hướng dẫn giải
a) (1)
Bình phương hai vế phương trình (1) ta có:
x2 – 5x + 4 = –2x2 – 3x + 12
=> 3x2 – 2x – 8 = 0
=> x = 2 hoặc x =
• Với x = 2 ta có x2 – 5x + 4 = 22 – 5.2 + 4 = –10.
Khi đó không tồn tại
Do đó x = 2 không là nghiệm của phương trình (1).
• Với x = thay vào phương trình (1) ta được:
(đúng)
Do đó x = là nghiệm của phương trình (1).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = .
b)
(2)
Bình phương hai vế phương trình (2) ta có:
x2 – 4x + 4 = (6 – x)(2x – 1)
=> x2 – 4x + 4 = 12x – 6 – 2x2 + x
=> 3x2 – 17x + 10 = 0
• Với x = 5 thay vào phương trình (2) ta có:
<=> 3 = 3 (đúng)
Do đó x = 5 là nghiệm của phương trình đã cho.
• Với x = thay vào phương trình (2) ta có:
<=> = (đúng)
Do đó x = là nghiệm của phương trình đã cho.
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S =
c) (3)
Bình phương hai vế phương trình (3) ta có:
x2 – 2x + 4 = 2 – x
=> x2 – x + 2 = 0
=>
(vô lí vì với mọi x).
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a)
b)
c)
d)
Hướng dẫn giải
a) (1)
Bình phương hai vế phương trình (1) ta có:
x2 – 3x + 2 = (x – 1)2
=> x2 – 3x + 2 = x2 – 2x + 1
=> –x = –1
=> x = 1
Thay x = 1 vào phương trình (1) ta có:
<=> 0 = 0 (đúng)
Do đó x = 1 là nghiệm của phương trình (1).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1.
b) (2)
Bình phương hai vế phương trình (2) ta có:
4x2 + 2x + 10 = (3x + 1)2
=> 4x2 + 2x + 10 = 9x2 + 6x + 1
=> –5x2 – 4x + 9 = 0
• Với x = 1 thay vào phương trình (2) ta có:
<=> 4 = 4 (đúng)
Do đó x = 1 là nghiệm của phương trình (2).
• Với x = thay vào phương trình (2) ta có:
<=> (vô lí)
Do đó x = không là nghiệm của phương trình (2).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1.
c)
(3)
Bình phương hai vế phương trình (3) ta có:
(x – 1)(2x – 1) = (2x + 1)2
=> 2x2 – x – 2x + 1 = 4x2 + 4x + 1
=> –2x2 – 7x = 0
• Với x = 0 thay vào phương trình (3) ta có:
<=> 1 = 1 (đúng)
Do đó x = 0 là nghiệm của phương trình (3).
• Với x = thay vào phương trình (3) ta có:
<=> 6 = –6 (vô lí)
Do đó x = không là nghiệm của phương trình (3).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 0.
d)
(4)
Bình phương hai vế phương trình (4) ta có:
3x2 – 9x + 1 = (x – 2)2
=> 3x2 – 9x + 1 = x2 – 4x + 4
=> 2x2 – 5x – 3 = 0
• Với x = 3 thay vào phương trình (4) ta có:
<=> 1 = 1 (đúng)
Do đó x = 3 là nghiệm của phương trình (4).
• Với x = thay vào phương trình (4) ta có:
<=> (vô lí)
Do đó x = không là nghiệm của phương trình (4).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 3.
Bài 3. Tam giác ABC vuông tại A, có cạnh AC ngắn hơn cạnh BC là 9 cm. Tính độ dài ba cạnh của tam giác ABC biết chu vi của tam giác bằng 70 cm.
Hướng dẫn giải
Gọi AC = x (cm) (x > 0).
Cạnh AC ngắn hơn cạnh BC là 9 cm nên BC = x + 9 (cm).
Tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore ta có:
BC2 = AB2 + AC2
=> AB2 = BC2 – AC2
=> AB2 = (x + 9)2 – x2
=> AB2 = x2 + 18x + 81 – x2 = 18x + 81
(cm)
Ta có chu vi của tam giác ABC là:
AB + BC + CA
= + x + 9 + x
= + 2x + 9 (cm)
Mà theo bài chu vi tam giác ABC bằng 70 cm.
Do đó ta có: + 2x + 9 = 70
<=> = 61 – 2x (*)
Bình phương hai vế của phương trình trên ta có:
18x + 81 = (61 – 2x)2
=> 18x + 81 = 3721 – 244x + 4x2
=> 4x2 – 262x + 3640 = 0
• Với x = 20 thay vào phương trình (*) ta có:
= 61 – 2.20
<=> 21 = 21 (đúng)
Do đó x = 20 là nghiệm của phương trình (*).
• Với x = 45,5 thay vào phương trình (*) ta có:
= 61 – 2.45,5
<=> 30 = –30 (vô lí)
Do đó x = 45,5 không là nghiệm của phương trình (*).
Khi đó AC = 20 (cm), BC = 29 (cm) và AB = (cm).
Vậy AC = 20 cm, AB = 21 cm và BC = 29 cm.
Bài 4. Một đài quan sát O cách ba vị trí A, B, C như hình vẽ dưới đây.
Tính khoảng cách từ đài quan sát O tới B biết khoảng cách từ vị trí A đến vị trí C gấp đôi khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B và khoảng cách từ O đến B ngắn hơn khoảng cách từ O đến A.
Hướng dẫn giải
Vì OB là khoảng cách nên x > 0.
Vì khoảng cách từ O đến B ngắn hơn khoảng cách từ O đến A nên x < 2.
Áp dụng định lí côsin cho tam giác OAC ta có:
AC2 = OA2 + OC2 – 2.OA.OC.cos
=> AC2 = 22 + (x + 1)2 – 2.2.(x + 1).cos120°
=> AC2 = 4 + x2 + 2x + 1 + 2.(x +1) = x2 + 4x + 7.
=> AC = (km).
Áp dụng định lí côsin cho tam giác OAB ta có:
AB2 = OA2 + OB2 – 2.OA.OB.cos
=> AB2 = 22 + x2 – 2.2.x.cos(180° – 120°)
=> AB2 = 4 + x2 – 2x = x2 – 2x + 4.
(km).
Vì khoảng cách từ vị trí A đến vị trí C gấp đôi khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B nên AC = 2AB.
Do đó
Bình phương hai vế phương trình trên ta có:
x2 + 4x + 7 = 4.(x2 – 2x + 4)
=> x2 + 4x + 7 = 4x2 – 8x + 16
=> 3x2 – 12x + 9 = 0
Vậy khoảng cách từ đài quan sát O tới vị trí B là 1 km.
Học tốt Phương trình quy về phương trình bậc hai
Các bài học để học tốt Phương trình quy về phương trình bậc hai Toán lớp 10 hay khác:
Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
- Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 7
- Lý thuyết Toán 10 Bài 1: Quy tắc cộng và quy tắc nhân
- Lý thuyết Toán 10 Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
- Lý thuyết Toán 10 Bài 3: Nhị thức Newton
- Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 8
Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Soạn văn lớp 10 (hay nhất) - CTST
- Giải Toán lớp 10 - CTST
- Giải Tiếng Anh lớp 10 - CTST
- Giải Vật lí lớp 10 - CTST
- Giải Hóa học lớp 10 - CTST
- Giải Sinh học lớp 10 - CTST
- Giải Giáo dục Kinh tế và Pháp luật lớp 10 - CTST
- Giải Địa lí lớp 10 - CTST
- Giải Lịch sử lớp 10 - CTST
- Giải Hoạt động trải nghiệm lớp 10 - CTST