13 Bài tập Phương trình quy về phương trình bậc hai (có đáp án) - Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 10

Đáp án đúng là: D

Điều kiện: $\left(\begin{array}{c}3-x+x^2\ge 0\\ 2+x-x^2\ge 0\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}3-x+x^2\ge 0\forall x\\ -1\le x\le 2\end{array}\right)\iff -1\le x\le 2$

Xét phương trình:$\sqrt{3-x+x^2}-\sqrt{2+x-x^2}=1$

$\iff \sqrt{3-x+x^2}=\sqrt{2+x-x^2}+1$

Bình phương hai vế ta được

$\Rightarrow 3-x+x^2=1+2+x-x^2+2\sqrt{2+x-x^2}$

$\Rightarrow 2+x-x^2+\sqrt{2+x-x^2}-2=0$ (*)

Đặt t = $\sqrt{2+x-x^2}$ (t ≥ 0)

(*) ⇔ t² + t – 2 = 0

⇔ $\left(\begin{array}{c}t=1\\ t=-2\end{array}\right)$

Vì t ≥ 0 nên t = 1 thỏa mãn)

$\Rightarrow \sqrt{2+x-x^2}=1$

⇒ x² – x – 1 = 0 $\Rightarrow \left(\begin{array}{c}x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right)$

Kết hợp với điều kiện phương trình có hai nghiệm $\left(\begin{array}{c}x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right)$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = $\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2};\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)$.

Đáp án đúng là: A

Điều kiện x ∈ ℝ, đặt t = x² + x + 1; t > 0

Phương trình đã cho trở thành $\sqrt{t+3}+\sqrt{t}=\sqrt{2t+7}$

⇔ 2t + 3 + 2$\sqrt{t(t+3)}$ = 2t + 7

⇔ $\sqrt{t\left(t+3\right)}=2$

⇔ t(t + 3) = 4 $\iff \left(\begin{array}{c}t=1\\ t=-4\end{array}\right)$

Kết hợp điều kiện ta có t = 1 thoả mãn

Với t = 1 ta có phương trình x² + x + 1 = 1 $\iff \left(\begin{array}{c}x=0\\ x=-1\end{array}\right)$

Vậy tích các nghiệm của phương trình là: 0.(–1) = 0

Đáp án đúng là: A

Bình phương hai về ta có:

– x² + 6x – 5 = (8 – 2x)²

⇒ – x² + 6x – 5 = 4x² – 32x + 64

⇒ – 5x² + 38x – 69 = 0

⇒ x = 3 hoặc x = $\frac{23}{5}$

Thay lần lượt các nghiệm trên vào phương trình đã cho, ta thấy x = 3 thoả mãn

Vậy phương trình có nghiệm x = 3

Đáp án đúng là: B

Bình phương hai vế ta được

x + 2 = (4 – x)²

⇒ x + 2 = x² – 8x + 16

⇒ x² – 9x + 14 = 0

⇒ x = 2 hoặc x = 7

Thay lần lượt các nghiệm trên vào phương trình đã cho, ta thấy x = 2 thoả mãn

Vậy phương trình có nghiệm x = 2

Đáp án đúng là: B

Bình phương hai vế ta có

8 – x² = x + 2

⇒ – x² – x + 6 = 0

⇒ x = 2 hoặc x = – 3

Thay lần lượt hai nghiệm trên vào phương trình đã cho, ta thấy x = 2 thoả mãn

Vậy phương trình có 1 nghiệm x = 2

Đáp án đúng là: D

Bình phương hai vế phương trình đã cho ta có

3x + 13 = (x + 3)²

⇒ 3x + 13 = x² + 6x + 9

⇒ x² + 3x – 4 = 0

⇒ x = 1 hoặc x = –4

Thay lần lượt hai nghiệm trên vào phương trình đã cho, ta thấy x = 1 thoả mãn

Vậy phương trình có nghiệm x = 1

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: –2 ≤ x ≤ 2

$x+\sqrt{4-x^2}=2+3x\sqrt{4-x^2}$

$\iff \sqrt{(2-x)(2+x)}=2-x+3x\sqrt{(2-x)(2+x)}$

$\iff \sqrt{2-x}\left(\sqrt{2-x}+\left(3x-1\right)\sqrt{2+x}\right)=0$

$\iff \left(\begin{array}{c}x=2\\ 2-x=\left(2+x\right){\left(1-3x\right)}^2(*)\end{array}\right)$

Giải phương trình (*)

2 – x = (2 + x)(1 – 6x + 9x²)

⇒ x(9x² + 12x – 10) = 0

⇒ x = 0; x = $\frac{-2+\sqrt{14}}{3}$ hoặc x = $\frac{-2-\sqrt{14}}{3}$

Kết hợp điều kiện được ba nghiệm thỏa mãn là: x = 0; x = 2 ; x = $\frac{-2-\sqrt{14}}{3}$.

Vậy phương trình có 2 nghiệm lớn hơn hoặc bằng 0.

Đáp án đúng là: B

Đặt $t=\sqrt{x+7}$, điều kiện t ≥ 0.

Ta có $\sqrt{t^2+1-2t}=2-\sqrt{t^2-6-t}$ $\iff \left(t-1\right)=2-\sqrt{t^2-t-6}$

Nếu t ≥ 1 thì ta có $3-t=\sqrt{t^2-t-6}$

⇒ 9 – 6t + t² = t² – t – 6

⇒ – 5t + 15 = 0

⇒ t = 3 (thỏa mãn)

Với t = 3 ta có $\sqrt{x+7}=3$

⇒ x + 7 = 9

⇒ x = 2

Nếu t < 1 thì ta có $1+t=\sqrt{t^2-t-6}$

t² + 2t + 1 = t² – t – 6

$\iff t=-\frac{7}{3}$ (loại)

Vậy phương trình có 1 nghiệm x = 2.

Đáp án đúng là: B

Bình phương hai vế của phương trình ta có

5x² – 6x – 4 = (2(x – 1))²

⇒ 5x² – 6x – 4 = 4x² – 8x + 4

⇒ x² + 2x – 8 = 0

⇒ x = 2 hoặc x = – 4

Thay lần lượt hai nghiệm trên vào phương trình đã cho, ta thấy x = 2 thoả mãn

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.

Đáp án đúng là: C

Bình phương hai vế của phương trình ta có

x² + 5 = (x² – 1)²

⇒ x² + 5 = x⁴ – 2x² + 1

⇒ x⁴ – 3x² – 4 = 0

⇒ x = 2 hoặc x = – 2

Thay lần lượt hai nghiệm trên vào phương trình đã cho, ta thấy x = 2, x = – 2 thoả mãn

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 hoặc x = – 2

a) Đúng. Ta có $x^2+2>0$ đúng $\forall x\in ℝ$.

b) Sai. Bình phương hai vế của phương trình (*) ta được $5x^2-8x+2=x^2+2$.

Rút gọn ta được $4x^2-8x=0$.

c) Đúng. Giải phương trình nhận được ở ý b) ta được $x=0,x=2$.

Thử lại ta thấy cả hai giá trị này đều là nghiệm của phương trình (*).

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left(0;2\right)$.

d) Sai. Tổng các nghiệm của phương trình (*) bằng 0 + 2 = 2.

Gọi thời gian chú thỏ chạy trên đoạn AD là $x\left(0<x<30\right)$ (giây), khi đó thời gian chú thỏ chạy trên đoạn BD là $30-x$ (giây). Do đó, quãng đường AD và BD lần lượt là $13x\text{(m)}$ và $15\left(30-x\right)\text{(m)}$.

Độ dài quãng đường BC là: $\sqrt{{370}^2-{120}^2}=350\text{(m)}$.

Tam giác ACD vuông tại C nên $CD=\sqrt{{\left(13x\right)}^2-{120}^2}\text{(m)}$.

Mặt khác, $CD=BC-BD=350-15\left(30-x\right)\text{(m)}$.

Do đó, ta có: $\sqrt{{\left(13x\right)}^2-{120}^2}=350-15\left(30-x\right)$.

Giải phương trình này và kết hợp với điều kiện $0<x<30$, ta nhận $x=10$ (giây).

Vậy khoảng cách giữa vị trí C và vị trí D là: $350-15\cdot \left(30-10\right)=50\text{(m)}$.

Đáp án: 50.

Đặt $AB=x>0$. Xét tam giác ABC vuông tại B có: $AC=\sqrt{x^2+4}$.

Theo tính chất định lí Thalès, ta có: $\frac{AC}{AB}=\frac{CE}{BD}\iff \frac{\sqrt{x^2+16}}{x}=\frac{5}{3}$

$\iff 3\sqrt{x^2+16}=5x$$\iff \left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}5x\ge 0\\ 9\left(x^2+16\right)=25x^2\end{array}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}x\ge 0\\ 16x^2=144\end{array}\end{array}\iff x=3.\right.$

Vậy hai vị trí A, B cách nhau 3m.

Đáp án: 3.