18 Bài tập Giải bất phương trình bậc hai một ẩn (có đáp án) - Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 10

Đáp án đúng là: C

Tam thức bậc hai f(x) = x² + 4x + 4 có ∆ = 0; nghiệm là x = – 2 và a = 1 > 0

Ta có bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta có x² + 4x + 4 > 0 với mọi x ∈ (– ∞; – 2)∪(– 2; + ∞).

Đáp án đúng là: D

Tam thức bậc hai f(x) = x² – 1 có ∆ = 4 > 0; hai nghiệm phân biệt là x = – 1; x = 1 và a = 1 > 0

Ta có bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta có x² – 1 > 0 với mọi x ∈ (–∞; –1)∪(1; +∞).

Đáp án đúng là: C

Tam thức bậc hai f(x) = x² – x – 6 có ∆ = 25 > 0; hai nghiệm phân biệt là x = – 2; x = 3 và a = 1 > 0

Ta có bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta có x² – x – 6 ≤ 0 với mọi x ∈ [– 2; 3].

Đáp án đúng là: A

Ta có: x(x + 5) ≤ 2(x² + 2) ⇔ x² – 5x + 4 ≥ 0.

Xét tam thức f(x) = x² – 5x + 4 có ∆ = 9 > 0, hai nghiệm phân biệt là x = 1; x = 4 và a = 1 > 0.

Ta có bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta có tập nghiệm của bất phương trình là (– ∞; 1]∪[4; + ∞).

Đáp án đúng là: A

Xét tam thức f(x) = 2x² – 7x – 15 có ∆ = 169 > 0, hai nghiệm phân biệt là x = 5; x = $-\frac{3}{2}$ và a = 2 > 0.

Ta có bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta có tập nghiệm của bất phương trình là $\left(–\infty ;-\frac{3}{2}\right)\cup [5;+\infty )$.

Đáp án đúng là: D

Đặt f(x) = mx² – x + m là tam thức bậc hai với a = m, b = – 1 và c = m

Với m = 0 thì f(x) = – x , f(x) ≥ 0 ⇔ – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0. Vậy m = 0 không thỏa mãn.

Với m ≠ 0 thì f(x) = mx² – x + m ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ

$\iff \left(\begin{array}{c}m>0\\ \Delta =1^2-4.m.m\le 0\end{array}\right)$

Xét f(m) = 1 – 4m² có ∆ = 16 > 0, hai nghiệm phân biệt là x = $-\frac{1}{2}$; x = $\frac{1}{2}$ và a = – 4 < 0. Ta có bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta có để 1 – 4m² ≤ 0 thì m ∈ $\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{2};+\infty \right)$

Vậy để mx² – x + m ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ ⇔$\left(\begin{array}{c}m>0\\ \left(\begin{array}{c}m\le -\frac{1}{2}\\ m\ge \frac{1}{2}\end{array}\right)\end{array}\right)\iff m\ge \frac{1}{2}$

Đáp án đúng là: D

Bất phương trình x² – x + m ≤ 0 vô nghiệm ⇔ x² – x + m > 0 với mọi x ∈ ℝ

$\iff \left(\begin{array}{c}a=1>0\\ \Delta ={\left(-1\right)}^2-\mathrm{4.1.}m<0\end{array}\right)$$\iff m>\frac{1}{4}$

Đáp án đúng là: D

Xét tam thức f(x) = x² – 8x + 7 có ∆ = 36 > 0, hai nghiệm phân biệt là x = 1; x = 7 và a = 1 > 0

Ta có bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta có tập nghiệm của bất phương trình là S = (– ∞; 1]∪[7; + ∞);

Vậy tập không phải là con của tập S là [6; + ∞).

Đáp án đúng là: B

Để bất phương trình x² – (m + 2)x + 8m + 1 < 0 luôn có nghiệm khi và chỉ khi ∆ ≥ 0

⇔ (m + 2)² – 4(8m + 1) ≥ 0 ⇔ m² – 28m ≥ 0

Xét f(m) = m² – 28m có ∆ = 784 > 0 có hai nghiệm là m = 0; m = 28 và a = 1 > 0. Ta có bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta có để m² – 28m ≥ 0 thì m ≤ 0 hoặc m ≥ 28.

Vậy với m ≤ 0 hoặc m ≥ 28 thì phương trình đã cho có nghiệm.

Đáp án đúng là: D

Vì a = 1 > 0 nên để x² – 2(2m – 3)x + 4m – 3 > 0 với mọi x ∈ ℝ thì ∆’ < 0

Ta có ∆’ = (2m – 3)² – 1.(4m – 3) = 4m² – 16m + 12 < 0

Xét f(m) = 4m² – 16m + 12 có ∆ = 64 > 0, hai nghiệm phân biệt là m = 1; m = 3 và a = 4 > 0. Ta có bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta có để 4m² – 16m + 12 < 0 thi 1 < m < 3.

Vậy với 1 < m < 3 thì x² – 2(2m – 3)x + 4m – 3 > 0.

Đáp án đúng là: A

Để –2x² + (m + 2)x + m – 4 < 0 với mọi x ∈ ℝ $\iff \left(\begin{array}{c}\Delta <0\\ a<0\end{array}\right)$$\iff \left(\begin{array}{c}a=-2<0\\ {\left(m+2\right)}^2+8\left(m-4\right)<0\end{array}\right)$$\iff \left(\begin{array}{c}a=-2<0\\ m^2+12m-28<0\end{array}\right)$

Xét f(m) = m² + 12m – 28 có ∆ = 256 > 0, hai nghiệm phân biệt là m = 2; m = –14 và a = – 2 < 0

Ta có bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta có: Để m² + 12m – 28 < 0 thì – 14 < m < 2.

Vậy với – 14 < m < 2 thì – 2x² + (m + 2)x + m – 4 < 0 với mọi x ∈ ℝ.

Đáp án đúng là: B

Ta có (m² + 2)x² – 2(m – 2)x + 2 > 0 với mọi x ∈ ℝ $\iff \left(\begin{array}{c}a>0\\ \Delta <0\end{array}\right)$

$\iff \left(\begin{array}{c}{m}^2+2>0\\ -m^2-4m<0\end{array}\right)$

Xét f(m) = – m² – 4m có ∆ = 16 > 0, hai nghiệm phân biệt là m = 0; m = – 4 và a = – 1 < 0. Ta có bảng xét dấu:

Từ bản xét dấu ta có để – m² – 4m < 0 thì m < – 4 hoặc m > 0.

Vậy với m < – 4 hoặc m > 0 thì (m² + 2)x² – 2(m – 2)x + 2 > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Đáp án đúng là: C

Ta có: a = 1 > 0. Do đó, x² – (2m + 2)x + m² + 2m < 0 mọi x thuộc đoạn [0; 1]

$\iff \left(\begin{array}{c}\Delta \text{'}>0\\ x_1<0<1<x_2\end{array}\right)$$\iff \left(\begin{array}{c}{\left(-\left(m+1\right)\right)}^2-\left(m^2+2m\right)>0\\ af\left(0\right)<0\\ af\left(1\right)<0\end{array}\right)$$\iff \left(\begin{array}{c}1>0\\ m^2+2m<0\\ m^2-1<0\end{array}\right)$$\iff \left(\begin{array}{c}-2<m<0\\ -1<m<1\end{array}\right)$⇔ –1 < m < 0.

Vậy với –1 < m < 0 thì x² – (2m + 2)x + m² + 2m < 0 mọi x thuộc đoạn [0; 1].

Đáp án đúng là: C

Phương trình có hai nghiệm phân biệt ∆’ > 0 ⇔ (– 1)² + m > 0 ⇔ m > – 1.

Để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn x₁ < x₂ < 2.

$\iff \left(\begin{array}{c}{x}_1-2+x_2-2<0\\ \left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)>0\end{array}\right)$$\iff \left(\begin{array}{c}{x}_1+x_2-4<0\\ x_1{x}_2-2\left(x_1+x_2\right)+4>0\end{array}\right)$$\iff \left(\begin{array}{c}2-4<0\\ -m-2.2+4>0\end{array}\right)$

⇔ m < 0.

Kết hợp với điều kiện ta được: – 1 < m < 0.

Đáp án đúng là: A

Đặt f(x) = mx² – (2m – 1)x + m + 1.

Ta có f(x) < 0 vô nghiệm ⇔f(x) ≥ 0 ∀x ∈ ℝ ⇔ f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ

Xét m = 0 khi đó f(x) = x + 1nên m = 0 không thoả mãn.

Xét m ≠ 0 ⇔ f(x) ≥ 0với mọi x ∈ ℝ $\iff \left(\begin{array}{c}m>0\\ \Delta =-8m+1\le 0\end{array}\right)$$\iff m\ge \frac{1}{8}$.

a) Đúng. Ta có $2x^2-x-1=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$.

b) Đúng. $f\left(x\right)<0\iff 2x^2-x-1<0\iff -\frac{1}{2}<x<1$.

Vậy nên $f\left(x\right)<0$khi $x\in \left(-\frac{1}{2};1\right)$.

c) Đúng. $f\left(x\right)>0\iff 2x^2-x-1>0\iff \left[\begin{array}{l}x>1\\ x<-\frac{1}{2}\end{array}\right.$. Mà $\left(3;+\infty \right)\subset \left(1;+\infty \right)$.

Vậy nên $f\left(x\right)$ cũng nhận giá trị dương trên khoảng $\left(3;+\infty \right)$.

d) Sai. Ta có $f\left(2\right)=2\cdot 2^2-2-1=5>0$.

Giả sử vị trí ban đầu của chú thỏ đen là s = 0 (m) và thời điểm ban đầu là t = 0 (giây).

Quãng đường của chú thỏ trắng chạy được tại thời điểm t là $f\left(t\right)=100+3t\text{(m)}$.

Để chú thỏ đen chạy trước chú thỏ trắng thì $s\left(t\right)>f\left(t\right)$

hay $8t+5t^2>100+3t$$\Rightarrow 5t^2+5t-100>0\Rightarrow t>4$$\Rightarrow t\in \left(4;+\infty \right)$ (vì t >0).

Vậy tại những thời điểm $t\in \left(4;+\infty \right)$ thì chú thỏ đen chạy trước chú thỏ trắng.

Khi đó, a = 4.

Đáp án: 4.

Bất phương trình $x^2-\left(m+2\right)x+8m+1\le 0$ vô nghiệm

$\iff x^2-\left(m+2\right)x+8m+1>0,$$\forall x\in ℝ$.

Điều kiện: $\Delta <0\iff {\left(m+2\right)}^2-4\left(8m+1\right)>0$$\iff m^2-28m>0$$\iff \left[\begin{array}{l}m<0\\ m>28\end{array}\right.$.

Kết hợp điều kiện $m\in \left(0;30\right)\stackrel{m\in \mathbb{Z}}{\to }m=\left(29;30\right)$ nên có 2 giá trị thỏa mãn.

Đáp án: 2.