15 Bài tập Tích của một số với một vectơ (có đáp án) - Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 10

Đáp án đúng là: B

Gọi M là trung điểm AC, ta suy ra $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$.

$\iff -\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}$

$\iff -\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CM}\right)=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}$

Ta có $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}=\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CM}\right)+2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}+2\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MB}$.

Vì M là trung điểm AC nên AM = $\frac{AC}{2}$ = 2.

Tam giác ABM vuông tại A: BM² = AB² + AM² (Định lý Pytago)

⇔ BM² = 3² + 2² = 13

$\Rightarrow BM=\sqrt{13}$

Ta suy ra $\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AB}\right)=\left(2\overrightarrow{MB}\right)=2.MB=2\sqrt{13}$.

Vậy ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: C

Đáp án đúng là: D

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$.

Tam giác ABC có D là trung điểm cạnh BC, suy ra $2\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.

Ta có E, F lần lượt là trung điểm AC, AB.

Suy ra $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AE}$ và $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AF}$.

Khi đó ta có $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{3}\left(2\overrightarrow{AF}+2\overrightarrow{AE}\right)=\frac{2}{3}\overrightarrow{AE}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AF}$.

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: D

Từ đẳng thức $\overrightarrow{AB}=-3\overrightarrow{AC}$, ta suy ra ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Vì k = – 3 < 0 nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ ngược hướng. Do đó điểm A nằm giữa hai điểm B và C.

Ta có $\overrightarrow{AB}=-3\overrightarrow{AC}$, suy ra $\left(\overrightarrow{AB}\right)=\left(-3\overrightarrow{AC}\right)$, do đó AB = 3AC.

Suy ra BC = AB + AC = 3AC + AC = 4AC.

Mà $\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}$ cùng hướng.

Do đó ta suy ra $\overrightarrow{BC}=4\overrightarrow{AC}$.

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: C

Ta xét từng đáp án:

Đáp án A: Theo quy tắc hình bình hành, ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ ⇒ A đúng.

Đáp án B: Vì O là tâm của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm AC.

Ta suy ra $OA=\frac{1}{2}CA$.

Mà $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{CA}$ cùng hướng.

Do đó $\overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}\right)$ ⇒ B đúng.

Đáp án C: Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

Ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OI}$ và $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OJ}$.

Mà $\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OJ}$ là hai vectơ đối nhau.

Do đó $2\overrightarrow{OI}\ne 2\overrightarrow{OJ}$.

Suy ra $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\ne \overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$ ⇒ C sai.

Đáp án D: Ta có OI là đường trung bình của tam giác ABD.

Suy ra $\overrightarrow{OI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}$.

Ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OI}=2.\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DA}$ ⇒ D đúng.

Vậy ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\iff 2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\iff 2\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC}\right)=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$.

Do đó ta suy ra M là trung điểm IC.

Vậy ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: A

Theo quy tắc hình bình hành, ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$.

Ta có $4\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}$

$\iff 4\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AC}$

$\iff \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

Suy ra M là trung điểm AC.

Vậy ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: A

Gọi H là trung điểm BC. Ta suy ra BH = $\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$.

Vì H là trung điểm BC nên ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AH}$.

Do đó $\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\left(2\overrightarrow{AH}\right)=2AH$.

Tam giác ABC đều có AH là đường trung tuyến.

Suy ra AH cũng là đường cao của tam giác ABC.

Tam giác ABH vuông tại H: $A{H}^2=A{B}^2-B{H}^2$ (Định lý Pytago)

$\iff A{H}^2=a^2-\frac{a^2}{4}=\frac{3a^2}{4}$

$\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Suy ra $\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=2AH=2.\frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.

Vậy ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: C

Gọi I là trung điểm AB. Ta suy ra $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CI}$.

Ta có $\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-2\overrightarrow{OC}\right)=\left(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}\right)$

$\iff \left(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}\right)=\left(\overrightarrow{BA}\right)$

$\iff \left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)=BA$

$\iff \left(2\overrightarrow{CI}\right)=AB$

⇔ 2.CI = AB

$\iff CI=\frac{1}{2}AB$

Do đó tam giác ABC vuông tại C (đường trung tuyến trong tam giác vuông bằng một nửa cạnh huyền).

Vậy ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CI}$ (với I là trung điểm AB).

Do đó $\overrightarrow{v}$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

Khi đó $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{CI}$.

Suy ra I là trung điểm CD.

Vậy D là điểm thứ tư của hình bình hành ACBD.

Vậy ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: C

Kẻ MK // BP (K ∈ AC). Do M là trung điểm BC nên ta suy ra K là trung điểm CP (1).

Vì MK // NP, mà N là trung điểm AM nên ta suy ra P là trung điểm AK (2).

Từ (1), (2) ta suy ra AP = PK = KC.

Do đó AP = $\frac{1}{2}$CP.

Ta có AC = AP + CP.

Suy ra AC = $\frac{3}{2}$CP.

Vì $\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CP}$ ngược hướng với nhau.

Nên $\overrightarrow{AC}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{CP}$.

Do đó x = $-\frac{3}{2}$.

Vậy ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: D

Dựng điểm M, N sao cho $\overrightarrow{OM}=\frac{21}{4}\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{ON}=\frac{5}{2}\overrightarrow{OB}$. Khi đó ta có:

$\left(\overrightarrow{u}\right)=\left(\frac{21}{4}\overrightarrow{OA}-\frac{5}{2}\overrightarrow{OB}\right)=\left(\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}\right)=\left(\overrightarrow{NM}\right)=MN$.

Từ dữ kiện $\overrightarrow{OM}=\frac{21}{4}\overrightarrow{OA}$.

Ta suy ra $\overrightarrow{OM}$ cùng phương với $\overrightarrow{OA}$.

Vì $\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OA}$ có cùng điểm đầu là O.

Nên giá của $\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OA}$ trùng nhau.

Do đó ta có OM ≡ OA.

Tương tự ta có ON ≡ OB.

Mà OA ⊥ OB (tam giác OAB vuông cân tại O).

Do đó OM ⊥ ON.

Ta có $\overrightarrow{OM}=\frac{21}{4}\overrightarrow{OA}\iff \left(\overrightarrow{OM}\right)=\left(\frac{21}{4}\overrightarrow{OA}\right)\iff OM=\frac{21}{4}OA=\frac{21a}{4}$.

Tương tự, ta có $\overrightarrow{ON}=\frac{5}{2}\overrightarrow{OB}\iff \left(\overrightarrow{ON}\right)=\left(\frac{5}{2}\overrightarrow{OB}\right)\iff ON=\frac{5}{2}OB=\frac{5a}{2}$.

Tam giác OMN vuông tại O: MN² = OM² + ON² (Định lý Pytago)

$\iff M{N}^2=\frac{441a^2}{16}+\frac{25a^2}{4}=\frac{541a^2}{16}$

$\Rightarrow MN=\frac{a\sqrt{541}}{4}$.

Vậy ta chọn đáp án D.

Gọi I là trung điểm BC. Ta suy ra $2\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.

Ta có G là trọng tâm tam giác ABC nên $AG=\frac{2}{3}AI$.

Mà $\overrightarrow{AG},\overrightarrow{AI}$ cùng hướng.

Do đó $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AI}$.

Suy ra $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$.

Vậy ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: B

Vì M là trung điểm AB nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\iff -\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}\right)=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{0}$.

Vì N là trung điểm CD nên $\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{0}$.

Theo quy tắc ba điểm, ta có $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{ND}$

Suy ra $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}\right)+\left(\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}\right)+2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+2\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MN}$

Vậy ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: D

Vì O là tâm của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.

Vì O là trung điểm AC và M là điểm tùy ý nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MO}$ (1).

Vì O là trung điểm BD và M là điểm tùy ý nên $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MO}$ (2).

Lấy (1) + (2) vế theo vế, ta được: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$.

Vậy ta chọn đáp án D.