13 Bài tập Tích vô hướng của hai vectơ (có đáp án) - Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 10

Đáp án đúng là: C

Tam giác ACD vuông tại D: $\cos \widehat{CAD}=\frac{AD}{AC}$.

Tam giác ABC vuông tại B: $\cos \widehat{CAB}=\frac{AB}{AC}$.

Ta có $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}.\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$.

$=AC.AD.\cos \widehat{CAD}-AC.AB.\cos \widehat{CAB}$

$=AC.AD.\frac{AD}{AC}-AC.AB.\frac{AB}{AC}$

= AD² – AB² = 1 – 2 = –1.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên ta có CD = AB = $\sqrt{2}$ và AC = BD.

Tam giác ACD vuông tại D: AC² = AD² + CD² (Định lý Pytago)

$\iff A{C}^2=1^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2=3$

$\Rightarrow AC=\sqrt{3}$.

Do đó BD = AC = $\sqrt{3}$.

Lại có: $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=AC.BD.\cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}\right)$

$\iff -1=\sqrt{3}.\sqrt{3}.\cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}\right)$

$\iff \cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}\right)=\frac{-1}{3}$.

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}\right)\approx 109°{28}^{\text{'}}$.

Vậy ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: D

Vẽ $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BA}$.

Khi đó ta có $\left(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BA}\right)=\left(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{AE}\right)=\widehat{HAE}=\alpha$.

Tam giác ABC đều có AH là đường cao.

Suy ra AH cũng là đường phân giác của tam giác ABC.

Tam giác ABC đều, suy ra $\widehat{BAC}=60°$.

Do đó $\widehat{HAB}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=\frac{1}{2}.60°=30°$.

Ta có: $\widehat{HAE}+\widehat{HAB}=180°$ (hai góc kề bù)

$\iff \widehat{HAE}=180°-30°=150°$.

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left(\overrightarrow{a}\right).\left(\overrightarrow{b}\right).\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$.

Vì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ cùng hướng và đều khác $\overrightarrow{0}$ nên $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=0°$, suy ra $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=1$.

Ta suy ra $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left(\overrightarrow{a}\right).\left(\overrightarrow{b}\right)$

Vậy ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right).\overrightarrow{AB}=0\iff \left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right).\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right)=0$

$\iff {\overrightarrow{OB}}^2-{\overrightarrow{OA}}^2=0$

⇔ OB² – OA² = 0

⇔ OB = OA.

Do đó tam giác OAB cân tại O.

Vậy ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left(\overrightarrow{a}\right).\left(\overrightarrow{b}\right).\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$

$\iff \cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left(\overrightarrow{a}\right).\left(\overrightarrow{b}\right)}=\frac{-3}{3.2}=\frac{-1}{2}$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=120°$.

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: B

Đáp án A đúng theo tính chất phân phối của tích vô hướng.

Đáp án B sai. Sửa lại: $\overrightarrow{MP}.\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{MP}$.

Đáp án C đúng theo tính chất giao hoán của tích vô hướng.

Đáp án D đúng, ta sử dụng bình phương vô hướng và hằng đẳng thức.

Đáp án đúng là: B

Ta có 2 + 3 = 5 (cm). Ta suy ra AB + BC = AC.

Do đó ba điểm A, B, C thẳng hàng và điểm B nằm giữa hai điểm A và C.

(A, B, C không thể là ba đỉnh của tam giác vì không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác).

Suy ra $\widehat{ACB}=0°$. Do đó $\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)=\widehat{ACB}=0°$.

Khi đó $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=CA.CB.\cos \left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)=\mathrm{3.5.}\cos 0°=15$.

Vậy ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: C

Tam giác ABC vuông tại B: AC² = AB² + BC² (Định lý Pytago)

⇔ AC² = a² + a² = 2a²

$\Rightarrow AC=a\sqrt{2}$.

Vì ABCD là hình vuông có AC là đường chéo nên $\widehat{ACD}=45°$.

Ta có $P=\overrightarrow{AC}.\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CA}\right)=-\overrightarrow{CA}.\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CA}\right)=-\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CD}-{\overrightarrow{CA}}^2$

$=-CA.CD.\cos \left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CD}\right)-C{A}^2=-a\sqrt{2}.a.\cos 45°-2a^2=-3a^2$.

Vậy ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC}$ cùng hướng nên $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC}\right)=0°$.

Ta có $\overrightarrow{AD},\overrightarrow{CB}$ ngược hướng nên $\left(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{CB}\right)=180°$.

Vẽ $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{DC}$. Khi đó ta có $\left(\overrightarrow{CO},\overrightarrow{DC}\right)=\left(\overrightarrow{CO},\overrightarrow{CE}\right)=\widehat{OCE}$.

Vì ABCD là hình vuông có OC là đường chéo nên $\widehat{OCB}=45°$.

Ta có BC ⊥ CD (ABCD là hình vuông)

Suy ra BC ⊥ CE, do đó $\widehat{BCE}=90°$.

Ta có $\widehat{OCE}=\widehat{OCB}+\widehat{BCE}=45°+90°=135°$.

Vậy $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC}\right)+\left(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{CB}\right)+\left(\overrightarrow{CO},\overrightarrow{DC}\right)=0°+180°+135°=315°$.

Vậy ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\widehat{BAC}=\hat{A}$.

Tam giác ABC đều nên $\hat{A}=60°$.

Do đó $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\hat{A}=60°$.

Suy ra $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=a.a.\cos 60°=\frac{a^2}{2}$.

Vậy ta chọn đáp án D.

a) Sai. Ta có $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}$.

b) Sai. Vì $G$ là trọng tâm của tam giác A$ACM$ nên

$3\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BC}$$=\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$

$=\frac{3}{2}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$$\Rightarrow \overrightarrow{BG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}.$

c) Đúng. Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BA\perp BC$, suy ra $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BA}=0$.

d) Sai.Ta có

$\overrightarrow{BG}\cdot \overrightarrow{CM}$$=\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\right)\cdot \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}\right)$

$=\frac{1}{4}{\overrightarrow{BA}}^2-\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}-\frac{1}{3}{\overrightarrow{BC}}^2$

$=\frac{1}{4}\cdot {\left(4a\right)}^2-\frac{1}{3}\cdot 0-\frac{1}{3}\cdot {\left(3a\right)}^2=a^2.$ ($BC=AD=3a$).

Ta có

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot \left|\overrightarrow{b}\right|\cdot \cos \left|\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right|$$=3\cdot 2\cdot \cos 120°=-3$

${\left|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\right|}^2={\left(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\right)}^2$$={\overrightarrow{a}}^2-4\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+4{\overrightarrow{b}}^2$

$={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2-4\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+4{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2$$=3^2-4\cdot \left|-3\right|+4\cdot 2^2=37$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{37}\approx 6,1$.

Đáp án: 6,1.

Ta có $△ABC$ vuông tại $A$ có $AB=\frac{AC}{\tan B}=\frac{2}{\tan 30°}=2\sqrt{3}.$

Suy ra $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}$$=\sqrt{{\left(2\sqrt{3}\right)}^2+2^2}=4.$

$P=\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BM}$$=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\cdot \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$$=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}\right)$

$=\frac{1}{4}\left(-AB\cdot BC\cdot \cos B+AC\cdot BC\cdot \cos C\right)$

$=\frac{1}{4}\left(-2\sqrt{3}\cdot 4\cdot \cos 30°+2\cdot 4\cdot \cos 60°\right)$$=-2.$

Đáp án: −2.